7. Commande par mode glissant flou avec gain adaptatif
7.3. Exemple de simulation
Soit le pendule inversé, représenté par la figure IV.7, le mouvement peut être décrit par l’équation (IV.47), avec les paramètres suivants :
m
p =0.1kg
,m
c =1kg
,m
t =1.1kg
,L
=0.5m
,g
=9.81m
/s
2La simulation est faite avec une condition initiale x(0)=
[
−1.0,0,−1.0;0]
T avec un régulateur par mode glissant flou à gain adaptatif dont les paramètres sont :c1=5,c2 =0.5,K
( )
0 =15,Φ1 =5,Φz =8.5812,n=0.1,zU =0.9425 IV.45 - IV.46. on observe de l’erreur de poursuite vers zéro. Les deux surfaces de glissement S1 et S tendre aussi vers zéro.montre la figure IV.47. La représentation des plans de phase e2 = f(e1) et e4 = f(e3) est à l’origine dans le régime permanant (figure IV.48).
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-60 -40 -20 0 20 40 60
la variation angle du pendule
temps (sec)
angle du pendule [degré]
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-100 -50 0 50 100 150 200
la variation de la vitesse angulaire
temps (sec)
vitesse angulaire [degré/s]
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
la variation erreur de la position du chariot
temps (sec)
erreur de position du chariot [m]
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-4 -2 0 2 4 6 8
la variation erreur de vitesse du chariot
temps (sec)
erreur de vitesse du chariot [m/s]
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
la variation de la surface S1(t)
temps (sec)
surface S1
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-2 0 2 4 6 8 10
la variation de la surface S2(t)
temps (sec)
surface S2
Figure IV.45. Variation des erreurs eθ
( )
t ,eθ&( ) ( )
t ,ex t et ex&( )
tFigure IV.46. Variation de la surface de glissement 1S et la surface 2S
0 5 10 15 20 25 30 35 40
la variation de la variable z
temps (sec)
la variation de la commande
temps (sec)
la commande u [N]
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
plan de phase et droite de glissement s2
e(3)
plan de phase et droite de glissement s1
e(1)
e(2)
La figure suivante (figure IV.49) montre que la position réelle du chariot suite la position désirée et la variation de gain adaptatif K.
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500
15
la variation de gain adaptatif K
itérations (i)
variation de la position et la position désiré du chariot
temps (sec)
la position et la position désire du chariot [m]
position du chariot position du chariot désiré
Figure IV.47. Variation de la variable zet la commande u
Figure IV.48. Plan de phase (e(1),e(2)) et la droite de glissement 1S , Plan de phase (e(3),e(4)) et la droite de glissement 2S
Figure IV.49. La variation de gain adaptatif K et les variables d’état x (position du chariot) et (position du chariot désiré)
Les résultats obtenus pour la poursuite du vecteur d’état désiré ( l’origine dans le régime permanant (figure IV.53).
0 5 10 15 20 25 30 35 40
la variation de la vitesse angulaire
temps (sec)
la variation erreur de la position du chariot
temps (sec)
erreur de position du chariot [m]
la variation erreur de vitesse du chariot
temps (sec)
erreur de vitesse du chariot [m/s]
la variation angle du pendule
temps (sec)
angle du pendule [degré]
Figure IV.50. Variation des erreurs eθ
( )
t ,eθ&( ) ( )
t ,ex t et ex&( )
t0 5 10 15 20 25 30 35 40
la variation de la surface S1(t)
temps (sec)
la variation de la surface S2(t)
temps (sec)
la variation de la variable z
temps (sec)
la variation de la commande
temps (sec)
la commande u [N]
-2 -1 0 1 2 3 4 5
plan de phase et droite de glissement s2
e(3)
plan de phase et droite de glissement s1
e(1)
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 15
15.05 15.1 15.15 15.2 15.25 15.3 15.35 15.4
itérations (i)
gain adaptatif k(i)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-1 0 1 2 3 4
temps (sec)
la position et la position désire du chariot [m]
position du chariot position du chariot désiré
Les résultats obtenus pour la poursuite du vecteur d’état désiré ( 0
) (t =
θd ,θ&d(t)=0,xd t t
= 2 ) 1
( et
2 ) 1 (t =
x&d ) sont données sur les figures IV.55 - IV.56. on
observe de l’erreur de poursuite vers zéro. Les deux surfaces de glissement S1 et S2 tendre aussi vers zéro.
On remarque que la variable z et la commande appliquée convergent vers zéro comme le montre la figure IV.57. La représentation des plans de phase e2 = f(e1) et e4 = f(e3) est à l’origine dans le régime permanant (figure IV.58).
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
la variation angle du pendule
temps (sec)
angle du pendule [degré]
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-50 0 50 100 150 200
la variation de la vitesse angulaire
temps (sec)
vitesse angulaire [degré/s]
Figure IV.54. La variation de gain adaptatif K et les variables d’état x (position du chariot) et xd(position du chariot désiré)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 -2
-1 0 1 2 3 4 5
la variation erreur de la position du chariot
temps (sec)
erreur de position du chariot [m]
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-4 -2 0 2 4 6 8
la variation erreur de vitesse du chariot
temps (sec)
erreur de vitesse du chariot [m/s]
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
la variation de la surface S1(t)
temps (sec)
surface S1
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
la variation de la surface S2(t)
temps (sec)
surface S2
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
la variation de la variable z
temps (sec)
la variable z
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30
la variation de la commande
temps (sec)
la commande u [N]
Figure IV.55. Variation des erreurs eθ
( )
t ,eθ&( ) ( )
t ,ex t et ex&( )
tFigure IV.56. Variation de la surface de glissement 1S et la surface 2S
Figure IV.57. Variation de la variable zet la commande u
-2 -1 0 1 2 3 4 5 -4
-2 0 2 4 6 8
plan de phase et droite de glissement s2
e(3)
e(4)
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
plan de phase et droite de glissement s1
e(1)
e(2)
La figure suivante (figure IV.59) montre que la position réelle du chariot suite la position désirée et la variation de gain adaptatif K.
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500
15 15.05 15.1 15.15 15.2 15.25 15.3 15.35 15.4 15.45
la variation de gain adaptatif K
itérations (i)
gain adaptatif k(i)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-5 0 5 10 15 20 25
variation de la position et la position désiré du chariot
temps (sec)
la position et la position désire du chariot [m]
position du chariot position du chariot désiré
On constate que la commande par mode de glissement force le système à suivre le signal de référence. Cette poursuite s’effectue en minimisant l’erreur de poursuite d’une part et en assurant la stabilité du système d’une autre part.
Les résultats de simulation montrent l’efficacité et les performances de la commande par mode de glissant flou. On constate que cette commande a éliminé le chattring et assuré le lissage de la commande, la stabilisation de système et la poursuite de trajectoire.
Figure IV.58. Plan de phase (e(1),e(2)) et la droite de glissement 1S , Plan de phase (e(3),e(4)) et la droite de glissement 2S
Figure IV.59. La variation de gain adaptatif K et les variables d’état x (position du chariot) et xd(position du chariot désiré)
8. Conclusion :
Dans ce chapitre, on a étudié une approche de la commande par mode de glissant flou qui peut être utilisée pour une large classe des systèmes non linéaires, elle combine les avantages des deux techniques considérés robustes et qui sont la commande par mode glissant et la commande floue.
L’objectif de cette commande hybride est d’établir une passerelle entre la commande floue dont les performances incontestables la rendent de plus en plus convoitée par les chercheurs et la commande par mode glissant qui prouve des propriétés de stabilité et de robustesse par rapport aux perturbations externes.
L’application de cette commande sur deux exemples de simulation (le pendule inversé et le système ball-beam) a donné des résultats très satisfaisants pour la stabilisation et la poursuite de trajectoire tout en s’affranchissant des problèmes de broutement de la commande par mode glissant et le déficit en outils d’analyse de la commande à la logique floue.
Dans cette partie, on a supposée que les systèmes non linéaires peuvent être décrits par des fonctions connues, malheureusement pour la plupart des systèmes réels ces fonctions sont soit incertaines ou inconnues. Pour remédier à ce problème, on va utiliser dans la partie suivante des systèmes d'inférence floue pour l'estimation en ligne des valeurs de ces fonctions.