6. Poursuite de trajectoire
6.2. Exemple de Simulation
= Φ2 Avec 0p p1
z
U (IV.65) Le principe de la commande par mode glissant pour la résolution du problème de poursuite de trajectoire d’état est résumé dans la figure IV.24.
6.2. Exemple de Simulation
Le pendule inversé représenté par la figure IV.7 dont le mouvement peut être décrit par l’équation (IV.47), avec les paramètres suivants :
m
p =0.1kg
,m
c =1kg
,m
t =1.1kg
,L
=0.5m
,g
=9.81m
/s
2Les résultats de simulation sont donnés sur les figures suivantes pour une condition initiale x(0)=
[
−1.0,0,−1.5,0]
T , pour un régulateur par mode glissant flou dont les paramètres sont :c1 =5,c2 =0.5,K1 =15,Φ1 =5,Φz =8.5812,zU =0.9425
CMG
:Contrôleur par Mode GlissantCMGF
: Contrôleur par Mode Glissant Flou.x2d
x1d
x3d
x4d
CMG
S 2 e3
e4
x4
Z
CMG
S1
CMGF Procédé
x1
x2
u x3
-
-
- -
-
+ + +
+
Figure IV.24. Schéma de principe de la commande par mode glissant flou pour la poursuite de trajectoire d’état
e1
e2
+
Les résultats obtenus pour la poursuite du vecteur d’état désiré ( 0
) (t =
θd , θ&d(t)=0, xd(t)=1 et x&d(t)=0) sont données sur les figures IV.25 - IV.26. on
observe de l’erreur de poursuite vers zéro. Les deux surfaces de glissement S1 et S2 tendre aussi vers zéro.
On remarque que la variable z et la commande appliquée convergent vers zéro comme le montre la figure IV.27. La représentation des plans de phase e2 = f(e1) et e4 = f(e3) est à l’origine dans le régime permanant (figure IV.28).
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
la variation erreur angle du pendule
temps (sec)
erreur de angle du pendule [degré]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-50 0 50 100 150 200
la variation erreur de la vitesse angulaire
temps (sec)
erreur de vitesse angulaire [degré/s]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
la variation erreur de la position du chariot
temps (sec)
erreur de position du chariot [m]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
la variation erreur de vitesse du chariot
temps (sec)
erreur de vitesse du chariot [m/s]
Figure IV.25. Variation des erreurs eθ
( )
t ,eθ&( ) ( )
t ,ex t et ex&( )
t0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
la variation de la surface S1(t)
temps (sec)
la variation de la surface S2(t)
temps (sec)
la variation de la variable z
temps (sec)
la variation de la commande
temps (sec)
la commande u [N]
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
plan de phase et droite de glissement s2
e(3)
plan de phase et droite de glissement s1
e(1)
La figure suivante (figure IV.29) montre que la position réelle du chariot suite la position désirée.
Les résultats obtenus pour la poursuite du vecteur d’état désiré ( 0
) (t =
θd , θ&d(t)=0,
= 0 ) 1 (t
xd
Si Si
ailleurs s t
s 20
10 ≤ ≤
et x&d(t)=0) sont données sur les figures
IV.30 - IV.31. on observe de l’erreur de poursuite vers zéro. Les deux surfaces de glissement S1 et S2 tendre aussi vers zéro.
On remarque que la variable z et la commande appliquée convergent vers zéro comme le montre la figure IV.32. La représentation des plans de phase e2 = f(e1) et e4 = f(e3) est à l’origine dans le régime permanant (figure IV.33).
0 5 10 15 20 25 30
-60 -40 -20 0 20 40 60
la variation erreur angle du pendule
temps (sec)
erreur de angle du pendule [degré]
0 5 10 15 20 25 30
-50 0 50 100 150 200
la variation erreur de la vitesse angulaire
temps (sec)
erreur de vitesse angulaire [degré/s]
Figure IV.29. Les variables d’état x (position du chariot) et xd(position du chariot désiré)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-2 -1 0 1 2 3 4 5
variation de la position et la position désirée du chariot
temps (sec)
la position et la position désirée du chariot [m]
position du chariot position du chariot désiré
0 5 10 15 20 25 30 -2
-1 0 1 2 3 4 5
la variation erreur de la position du chariot
temps (sec)
erreur de position du chariot [m]
0 5 10 15 20 25 30
-4 -2 0 2 4 6 8
la variation erreur de vitesse du chariot
temps (sec)
erreur de vitesse du chariot [m/s]
0 5 10 15 20 25 30
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
la variation de la surface S1(t)
temps (sec)
surface S1
0 5 10 15 20 25 30
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
la variation de la surface S2(t)
temps (sec)
surface S2
0 5 10 15 20 25 30
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
la variation de la variable z
temps (sec)
la variable z
0 5 10 15 20 25 30
-15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30
la variation de la commande
temps (sec)
la commande u [N]
Figure IV.30. Variation des erreurs eθ
( )
t ,eθ&( ) ( )
t ,ex t et ex&( )
tFigure IV.31. Variation de la surface de glissement 1S et la surface 2S
Figure IV.32. Variation de la variable z et la commande u
-2 -1 0 1 2 3 4 5
variation de la position et la position désiré du chariot
temps (sec)
la position et la position désiré du chariot [m]
position du chariot position du chariot désiré
Les résultats obtenus pour la poursuite du vecteur d’état désiré ( l’origine dans le régime permanant (figure IV.38).
Figure IV.33. Plan de phase (e(1),e(2)) et la droite de glissement 1S , Plan de phase (e(3),e(4)) et la droite de glissement 2S
Figure IV.34. Les variables d’état x (position du chariot) et xd (position du chariot désiré)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 -60
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
la variation erreur angle du pendule
temps (sec)
erreur de angle du pendule [degré]
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-50 0 50 100 150 200
la variation erreur de la vitesse angulaire
temps (sec)
erreur de vitesse angulaire [degré/s]
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-2 -1 0 1 2 3 4 5
la variation erreur de la position du chariot
temps (sec)
erreur de position du chariot [m]
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-4 -2 0 2 4 6 8
la variation erreur de vitesse du chariot
temps (sec)
erreur de vitesse du chariot [m/s]
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
la variation de la surface S1(t)
temps (sec)
surface S1
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
la variation de la surface S2(t)
temps (sec)
surface S2
Figure IV.35. Variation des erreurs eθ
( )
t ,eθ&( ) ( )
t ,ex t et ex&( )
tFigure IV.36. Variation de la surface de glissement 1S et la surface 2S
0 5 10 15 20 25 30 35 40 -15
-10 -5 0 5 10 15 20 25
temps (sec)
la commande u [N]
-2 -1 0 1 2 3 4 5
-4 -2 0 2 4 6 8
plan de phase et droite de glissement s2
e(3)
e(4)
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
plan de phase et droite de glissement s1
e(1)
e(2)
La figure suivante (figure IV.39) montre que la position réelle du chariot suite la position désirée.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-2 -1 0 1 2 3 4 5
variation de la position et la position désiré du chariot
temps (sec)
la position et la position désiré du chariot [m]
position du chariot position du chariot désiré
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
temps (sec)
la variable z
Figure IV.37. Variation de la variableZet la commande U
Figure IV.38. Plan de phase (e(1),e(2)) et la droite de glissement 1S , Plan de phase (e(3),e(4)) et la droite de glissement 2S
Figure IV.39. Les variables d’état x (position du chariot) et xd(position du chariot désiré)
Les résultats obtenus pour la poursuite du vecteur d’état désiré ( 0
) (t =
θd ,θ&d(t)=0,xd(t)=2t et x&d(t)=2) sont données sur les figures IV.40 - IV.41. on
observe de l’erreur de poursuite vers zéro. Les deux surfaces de glissement S1 et S2 tendre aussi vers zéro.
On remarque que la variable z et la commande appliquée convergent vers zéro comme le montre la figure IV.42. La représentation des plans de phase e2 = f(e1) et e4 = f(e3) est à l’origine dans le régime permanant (figure IV.43).
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30
la variation erreur angle du pendule
temps (sec)
erreur de angle du pendule [degré]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-40 -20 0 20 40 60 80 100 120 140
la variation erreur de la vitesse angulaire
temps (sec)
erreur de vitesse angulaire [degré/s]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-2 -1 0 1 2 3 4
la variation erreur de la position du chariot
temps (sec)
erreur de position du chariot [m]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
la variation erreur de vitesse du chariot
temps (sec)
erreur de vitesse du chariot [m/s]
Figure IV.40. Variation des erreurs eθ
( )
t ,eθ&( ) ( )
t ,ex t et ex&( )
t0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -5
-4 -3 -2 -1 0
temps (sec)
surface S1
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
temps (sec)
surface S2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
la variation de la variable z
temps (sec)
la variable z
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-10 -5 0 5 10 15 20 25
la variation de la commande
temps (sec)
la commande u [N]
-2 -1 0 1 2 3 4
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
plan de phase et droite de glissement s2
e(3)
e(4)
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
plan de phase et droite de glissement s1
e(1)
e(2)
Figure IV.41. Variation de la surface de glissement 1S et la surface 2S
Figure IV.42. Variation de la variable z et la commande u
Figure IV.43. Plan de phase (e(1),e(2)) et la droite de glissement 1S , Plan de phase (e(3),e(4)) et la droite de glissement 2S
La figure suivante (figure IV.44) montre que la position réelle du chariot suite la position désirée.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
variation de la position et la position désiré du chariot
temps (sec)
la position et la position désiré du chariot [m]
position du chariot position du chariot désiré