Physique du solide

Physique du solide

10 cours (T.Klein) + 9TDs (S. Panayotis, P. Toulemonde, T.Klein) thierry.klein@neel.cnrs.fr

Ce cours est basé sur un des deux ouvrages suivants :

1

Il sera suivi d’une seconde partie consacrée à la physique des semiconducteurs (9C/8TDs)

1. Propriétés électromagnétiques des métaux : modèle de Drude (limite classique) A. Conductivité et propriétés optiques

B. Transport thermique

2. Le gaz électronique quantique : modèle de Sommerfeld A. Niveau de Fermi et densité d’états

B. Propriétés quantiques du gaz d’électrons libres

3. Réseau cristallin, phonons et structure de bandes A. Réseaux cristallins (rappel) & réseau réciproque, phonons

B. Notions de bandes dans les solides périodiques

et au semestre 2

Calcul de la structure électronique dans les systèmes périodiques (électrons presque libres et modèle des liaisons fortes)

Instabilités électroniques

(ondes de densité de charge, notions de supraconductivité) Cohésion des solides

(liaisons ioniques et moléculaires, solides covalents)

Les effets de corrélations (interactions e/e, liquide de Fermi) ne sont traités qu’en M2

= seconde quantification

3

Chap.1

Propriétés électromagnétiques des métaux : modèle de Drude (limite classique)

Interactions électron-électrons

(corrélations) seconde quantification

M2-MQ

C’est le terme qui est à l’origine de tous les effets « anormaux », à comprendre dans la physique du

solide moderne mais ne peut (généralement) pas être déterminé

analytiquement et de façon exacte, états quantiques critiques

supraconductivité non conventionnelles particules « exotiques »

+1 2 i=j

e²

|ri rj| A. Conductivité et propriétés optiques

Energie cinétique Electrons libres

H =

N

i=1

2⇥²i

2m

C’est le coeur de ce cours de semestre 1

Interactions electrons-ions

électrons INDEPENDANTS Nécessité de connaître la position exacte des ions

Ze²

R

1

|r_i R|

nous en verrons les notions qui seront donc développées au semestre 2 (Solide 2)

• Il néglige les interactions e/e et e/ions (en dehors des chocs)

• Les électrons subissent des collisions élastiques instantanées sur les ions, et sont à l’équilibre thermique avec le bain ambiant. La vitesse est

redistribuée aléatoirement après le choc et

• Le temps moyen entre deux choc est noté 
 s


et la probabilité de subir un choc (pendant dt) est alors . 
 et 
 Il est résulte une force de « frottements »

• En présence de champs E et B, à l’équilibre

v ∼ kT/m τ*

τ = l/v ∼ 10⁻⁹/ 10⁻²³.10²/10⁻³⁰ ∼ 10⁻¹³

dt/τ p(t + dt) = (p(t) + dp)(1 − dt/τ) = (p(t) + f.dt)(1 − dt/τ)

f_frot = − mv/τ

−eE ⃗− e v ⃗∧ B ⃗− m v ⃗/τ = 0

Coeurs (immobiles)

électrons de valence (localisés)

ELECTRONS

DE CONDUCTION

Au début du XX^e siècle Paul Drude (1863-1906) prend comme base de départ la théorie cinétique des gaz des gaz

La première difficulté réside dans le très grand nombre d’électrons dont il s’agit de déterminer le comportement n ∼ 10²³e/cm³

5

* le calcul microscopique de est loin d’être aisé…. voir cours de transport en M2-MQτ

et comme il apparaît une tension transverse (tension de Hall) ou d est l’épaisseur du matériaux

cette tension devrait être négative et indépendante de T mais elle peut être négative ou positive et même changer de signe en fonction de T (…ou B). Cette expression reste néanmoins aujourd’hui encore l’expression « de base » pour une évaluation du

nombre de porteurs mais elle montre les LIMITES DE L’APPROCHE CLASSIQUE v_y = 0

V_H = − B ned I_x

pour un champ ||Oz

devrait être indépendant de B, ce qui est contraire à l’expérience (magnétorésistance) σ₀

j = nev = ne²⇥E

m ⇥ ⁰ = ne²⇥ m

σ = ne²τ m OK

m ∼ 10²⁹.10⁻³⁸. e⁻¹³

10⁻³⁰ ∼ 10⁻⁸Ω

et lorsque T → 0 certains composés ont une résistivité NULLE (supraconducteurs) alors que les isolants (et semi-conducteurs) ont une résistivité INFINIE (diélectrique)

et pour les semiconducteur ρ ~ 10¹² 𝜇Ωcm

résistivité à 300K en 𝜇Ωcm

graphite ρ ~ 3000 𝜇Ωcm diamant ρ ~ 10²⁴ 𝜇Ωcm

mais peut néanmoins varier d’un facteur 1 à 100….σ₀

et même

7

et pour pour un champ AC

et :

−eE − mv/τ = mdv/dt = − iωmv (⇤) = ⁰ 1 i⇤⇥

UPd2Al3

« pic » de Drude de largeur 1/τ

: « inductance » cinétique σ(ω) → iσ_DC/ωτ

et les équations de Maxwell s’écrivent :

rot(rot(E)) = rot(−∂B/∂t) = − μ₀∂/∂t(J + ϵ₀∂E/∂t + ∂P/∂t) rot(rot(E)) = grad(div(E)) − ΔE = − ΔE

• à basses fréquences ( ) on a 


le champ ne peut pénétrer que sur une longueur (épaisseur de peau) : 
 pour du cuivre ( ) est de l’ordre de 1cm à 50Hz et 2 m à 1GHz

ω_p > > 1/τ > > ω k ∼ ω_p c

1 + i

2 ωτ

δ = c ω_p

2

ρ ∼ 1μΩcm δ μ ωτ

• Inversement : à hautes fréquences :


le champ électromagnétique se propage avec

et pour on a

(ω > > ω_p > > 1/τ) c′ = c/ ϵ_∞

ω_p ∼ ω > > 1/τ k ∼ ω

c ϵ_r − ω_p²/ω² ∼ ω

k ϵ(ω)

avec on a finalement :

et en cherchant on trouve

avec Hz : fréquence plasma

j = σ(ω)E ΔE = μ₀σ(ω)∂E/∂t + ϵ₀ϵ_rμ₀∂²E/∂t² E ∝ e^i(kx−ωt)

c²k² = ω²[ϵ_r − ω_p²τ²

1 + ω²τ²] + i ω_p²

ω² . ωτ

1 + ω²τ²] ω_p = ne²

mϵ₀ ∼ 10¹⁶

R = |¹₁₊ | o`u ⇥ = ⇥ pour

réflexion totale

et fréquences visibles couleur des métaux ϵ(ω) < 0 ω < ω_p

ω_p ∼

remarque : et l’équation de continuité

admet (également) une solution oscillante (longitudinale) de la densité de charge électronique (ρ) pour

ϵ(ω_p) = 0 div(J) = − ∂ρ

∂t = − iωρ = σ(ω)ρ

ϵ₀ = − i σ₀ρ ϵ₀ωτ ω = ω_p

11

Cas particulier 1 : Supraconducteurs

il faut ici bien tenir compte du terme de Lorentz

et tenir compte du fait que . En insérant cette équation dans les équations de Maxwell on peut montrer qu’il existe une solution particulière qui vérifie

(équation de London) à « mettre en parallèle » avec l’équation de Maxwell

On en déduit donc que

ou est une « épaisseur de peau » STATIQUE : qui indique que dans ce cas le champ magnétique (statique)

s’annule au coeur du matériau (au delà de ) = il y a expulsion du flux il s’agit là d’une propriété fondamentale des supraconducteurs.

τ → ∞ m

−ne d J ⃗

dt = − eE ⃗+ J ⃗∧ B ⃗

⃗ ne

J (r,⃗ t)

rot( J ) =⃗ − ne² m B ⃗

rot(B) =⃗ μ₀ J ⃗

ΔB ⃗− B ⃗

λ² = 0 ⃗ λ λ² = μ₀ne²

m λ

Cas particulier 1I : isolants (diélectriques ioniques)

Il existe un polarisation liée au mouvement des ions en supposant une force de rappel linéaire (voir phonons) :

où est cette fois la fréquence caractéristique de vibration des ions (voir phonons)

avec eV Hz

τ → 0 c²k² = ω²ϵ_r

md²r/dt² = − mω˜²r − ZeE_loc

˜ ω

ℏω˜ ∼ 10⁻¹ − 10⁻² ≡ 10¹³

α_dep = (Ze)²

ϵ M( ˜ω² − ω²)

Pour un champ E_loc = E₀e^iωt on trouve r = −ZeE₀ m( ˜ω² − ω²)

et il existe donc un moment dipolaire P = Zer = α_depϵ₀E_loc avec

De plus, en présence d’un champ électrique les barycentres des charges + (noyau) et - (nuage

électronique) ne sont plus confondus.

A partir du théorème de Gauss on peut alors montrer que que le champ lié à ce déplacement vaut Zer

4πR³ϵ₀

et l’équation du mouvement du nuage électronique s’écrit également mais avec ici

md²r/dt² = − mω₀²r − eE_loc ω₀² = Ze²/4πR³ϵ₀m

et α_at = (Ze)² avec eV Hz

ϵ₀m(ω₀² − ω²) = 4πR³ ω₀²

ω₀² − ω² = α₀ ω₀²

ω₀² − ω² ℏω₀ ∼ 1 − 10 ≡ 10¹⁵

soit P = 3Nαϵ₀ et

3 − Nα E = ϵ₀(ϵ_r − 1)E ϵ_r(ω) − 1

ϵ_r(ω) + 2 = Nα_tot 3ϵ₀ Finalement on peut montrer que

où N est la densité volumique d’atomes

E_loc = E + NP/3ϵ₀

et α_tot = α_at + α_dep ∼ α₀ + α_dep pour ω < < ω₀

Clausius-Mossotti

et on peut ré-écrire

avec pour ( )

et

et s’annule pour

relation de Lydane-Sachs-Teller ϵ_r(ω) = 3 + 2Nα_tot(ω)

3 − Nα_tot(ω) ϵ_r(ω) = ϵ_∞ + ϵ_∞ − ϵ_r(0) (ω/ω_T)² − 1 α_∞ = α₀ ω˜ < < ω < < ω₀

α(0) = α₀ + (Ze)² ϵ₀Mω˜² ω_T² = ˜ω² ϵ_∞ + 2

ϵ_r(0) + 2 ϵ_r ω_L² = ω_T² ϵ_r(0) ϵ_∞

et ϵ_∞ ∼ 1 dans les métaux

et il existe une bande interdite (reflexion totale). De part et d’autre de ce gap

15

B. Transport thermique

Théorie cinétique des gaz : l’énergie des électrons ne dépend que de T.

Par analogie au transport électrique (de charge) on peut calculer le flux d’énergie

thermique traversant la surface

J_x = n_chaudE_chaudv_chaud − n_froidE_froidv_froid ∼ nv_x

2 (E_chaud − E_froid)

J_q = v² C

3 ( ⇥T) = K( ⇥T)

théorie cinétique des gaz 1

d’où L = 3

2(k_B

e )² = 10 ⁸W K ²

L = K

T = v²⇥C 3

m

ne²⇥T = 3 2

mv²/2 3/2kBT

C 3/2nkB

(k_B e )²

loi de Wiedemann-Franz 1853

l’expérience donne L ~ 2 10^-8 en accord raisonnable avec la théorie (Drude avait fait une erreur d’un facteur 2 dans le calcul de la conductivité : accord parfait !)

L = 2 3

mv²/2 E₀

C

nk_B² T /E₀ (k_B

e )² 2

3 (k_B e )²

mais si le résultat est juste, la démarche en FAUSSE (Drude fait deux erreurs qui se compensent), et il faudrait écrire :

où E0 est une échelle d’énergie à définir, c’est C/T est constant et non pas v²/T !

17

est compensée par et il apparait donc un champ électrique

avec (ou c est la chaleur spécifique par unité de volume)

= pouvoir thermo-électrique : EFFET SEEBECK

v = qτ m E E = − m

qτ . Cτ

3m . dT

dx = Q∇T

Q = − c 3ne

La vitesse de dérive thermique

= Cτ

3m . dT dx

En mécanique classique et on aurait V/K

mais cette valeur est ~ 10-100 fois supérieure à la valeur mesurée et Q n’est PAS indépendant de T.

L’effet de « compensation » dans la loi de Friedemann-Franz n’intervient pas ici…

c = 3nk_B/2 Q = − k_B/2e ∼ 10⁻⁴

Chap.2

Le gaz électronique quantique : modèle de Sommerfeld

Théorie cinétique des gaz = approche statistique classique :

mais la densité des électrons est 1000x supérieure à celle d’un gaz et leur masse est

<< inférieure à celle des atomes d’un gaz Le principe d’Heisenberg impose que

pour le « gaz » électronique la théorie cinétique ne peut pas être appliqué si eV K !

modèle de Sommerfeld

ρ

E = ℏ²k²

2m > ℏ²Δk²

2m ∼ ℏ²

2mΔx² ∼ ℏ²ρ^2/3

2m ∼ 1eV

kT < < 1 ≡ 10000

2

2m⌅ = E ⇥ ^k = 1

⇤V e^ikx

pour des électrons libres de se déplacer dans le solide

A. Niveau de Fermi et densité d’états

Le premier élément est que le solide est de taille finie L

si on choisit des Condition aux Limites Périodiques (x) = (x + L)

et donc avec n un entier positif ou négatif* : la surface d’un état (dans l’espace des k) : (2π/L)^d (Heisenberg)

e^ikL = 1 k = n 2π

L (2π/l)^d

*si on impose au contraire Φ(0) = Φ(L) = 0, on trouve le même nombre de points k = nπ/L mais avec k>0

dans les deux cas : et on ne s’intéressera (ici) PAS aux détails de la fonction d’onde mais uniquement à l’énergie des particules.

On rempli les états en E croissant (2 par k en tenant compte du spin)

E = ℏ²k² 2m

Quelle est la valeur de E du dernier état occupé ?

remarque : car Δk << kmax

2 d³k

(²_L )³ = N = nL³ = Z(L/a)³ _{k d}³_k

A priori peut être très délicat à déterminer mais POUR DES ELECTRONS LIBRES, les surfaces d’énergie constante sont des sphères de rayon : donc

d³k

2mE/ℏ²

d³k = 4πk²dk

Pour a=3A,

>> distance interatomique

les ions n’agissent PAS comme des centres diffuseurs V_F ∼ c/100 > > Vequipartition

l ∼ 100Å Z=2, a=3A : EF=3ev

~ énergie d’un électron dans une boite de rayon a

(kmax = kFermi =) kF EF vF

3Z⇥^1/3

a

17,8 Z^2/3

a²[˚A] eV 3,57.10⁸ Z^1/3 a[A] cm/s

21

EF >> kT >> δE

Seuls les états près de EF seront

«UTILES», l’ensemble des états d’énergie EF dans l’espace des k est appelée

SURFACE DE FERMI

les niveaux peuvent être considérés comme CONTINUS, on peut définir une

DENSITE D’ETATS : g(E)

est-elle une GRANDE énergie ? E_F

il faut comparer EF à kBT ~ 25meV à 300K : EF ~ 30000K

et E = ²k k

m

2

m

⇤ a

2⇤

L 1µeV << kT

comme précédemment, la difficulté réside dans la détermination de pour des électrons libres : d^dk

dN = g(E)dE = 2 ₂^L ⇥d

d^dk

1D 2D 3D

d^dk 2dk 2πkdk 4πk²dk

g(E) ₄^{L 2m2 ⇥1/2 1}_E ^mL₂² ₂^L3₂ ^{2m2 ⇥3/2 E}

A les niveaux sont remplis jusqu’à EF

mais qu’en est-il à T = 0

T ≠ 0

En mécanique classique

1 état microscopique = 1 point (trajectoire) de l’espace des phases.

Cette approche suppose que l’on puisse identifier individuellement les particules. Cette notion est IMPOSSIBLE en mécanique quantique. On peut définir

la probabilité de trouver une particule dans un domaine de l’espace des phases (de taille h³) mais on

ne peut pas savoir laquelle fonction statistique

« propre » dite de Fermi-Dirac

en prenant en compte le principe d’exclusion de Pauli

(voir cours de physique statistique)

23

Fonction d’ondes <nk> <E>

Classique Equipartition :

1/2mv² = 3/2kT ~ 30meV (4K) Fermions ANTI-symétrique

(déterminant Slater) μ/2~qq eV : forte distribution

Bosons Symétrique ^~ 0 : condensation

⇥ = _{ki ki}(r_i) e ^{(Ek µ)}

1

e ^{(Ek µ)} 1 1

e ^{(Ek µ)} + 1

où est le potentiel chimique, μ E_F = μ(0)

••

• K ne diverge pas plus vite qu’une loi de puissance A = ∂K/∂E

K(0) = 0

Soit A(E) une fonction de E tel que

= 0

A¯ = Z ₁

0

A(E)f(E)dE = [Kf]¹₀

| {z }

Z ₁

0

K(E) df

dE dE

A T=0K tous les niveaux d’énergie < EF sont occupés,

et pour T > 0K on doit introduire le taux d’occupation moyen donné par la fonction de distribution

E¯ = ^EF

O

Eg(E)dE = N3E_F 5 [3D]

n[3D] = N

L³ = ⇤ EF

0

g(E)dE

L³ = 1

3 ^{2 2m2}

⇥3/2

E_F^3/2 = 2

3E_Fg(E_F)

E¯(T) =

O

Eg(E)f(E, T)dE

B. Propriétés quantiques du gaz d’électrons libres

or n’est non nul que pour E ~ μ C’est un résultat essentiel de la physique

des solides : seuls les électrons dont df/dE

25

donnera une contribution nulle par parité

⇥ K(E) = K(µ) + (E µ)K (µ)

⇤ ⇥ ⌅+(E µ)²

2 K”(µ) + ...

A¯ =

0

K(µ)( df

dE)dE +

0

K”(µ)(E µ)²

2 ( df

dE)dE

= K(µ) + K”(µ)(kT)^{2 ⇥}

µ/kT

x²

2 ( df dx)dx

et µ/kT ⇥ d’où A¯ = Z µ

0

A(E)dE + A⁰(µ)(kT)² ⇡²

6 + ...

en particulier pour on trouve

soit

A = g(E) N = ∫

μ

0 g(E)dE + g′(μ)(kT)²π²/6 = N + (μ − E_F)g(μ) + g′(μ)(kT)²π²/6 μ(T) ∼ E_F − π²g′(E_F)

6g(E_F) (kT)² et pour A = Eg(E) :

E(T¯ ) = ¯E(0) + (μ − E_F)μg(μ) + [g(μ) + μg′(μ)](kT)²π²/6 ∼ E(0) +¯ g(E_F)(kT)²π²/6

• 

Ce résultat très général ne suppose qu’un chose : g(E) ~ constant au voisinage de EF

• En écrivant 


Drude sur-estime C d’un facteur kBT/EF mais sous-estime v² du même facteur.


Attention pour le calcul (c’est notre énergie E0…) et NON PAS 
 car seuls les électrons à EF «comptent». 


On a donne donc


en accord avec l’expérience.

• et le pouvoir thermoélectrique

mv²/2 = E_F E(T¯ )

Q = − −c = − π²g(E_F)k_B²T = π²Q T ∼ Q /100 C = ²

3 k_B² g(E_F)T = 3

2k_B [2 ²

9 g(E_F)k_BT]

⇥ 3

2kB [g(E_F).2k_BT] = 3

2k_B”N_utile”

L = K

T = 3 2

mv²/2 3/2k_BT

C

3/2nk_B (k_B e )²

L = 2 3 ^keB

⇥2 mv²/2 E_F

C

nk_B² T /E_F = ² 3 ^keB

⇥2

• ^{soit :}

et d’où CA MARCHE (!) même si les

hypothèses de Drude étaient fausses... 


Le calcul exact consiste à écrire : 
 où est la fonction de distribution HORS EQUILIBRE car la surface de Fermi se

déplace sous l’action du champ Ex 


avec 


et 


et donc et avec 


on trouve bien , soit le résultat de Drude mais cette

coïncidence est accidentelle ! car seule une faible proportion des électrons contribuent réellement au transport ( autour de ) mais avec une vitesse

V_F² = 2E_F/m = 3n/g(E_F)m σ = ne²τ/m

j_x = − n∫g(E)f_HE(E)v_x(E)dE f_HE

ℏdk/dt = − eE f_HE = f + τ ∂f

∂E . ∂E

∂k . ∂k

∂t ≈ f − τδ(E − μ) .ℏv.eE/ℏ

j_x = − ne < v_x > + e²τv_F,x² g(E_F)E v_F,x² = v_F²/3 σ = e²g(E_F)v_F²τ/3 = ne²τ/m

δE E_F > > v_Drude

27

Ex

= [g(E_F) E]eV_x = g(E_F)(eE_xv_F⇥)eV_x J_x = g(E_F)e²v_x² .E_x = g(E_F)e²v_F²

3 .E_x i.e. = g(E_F)e²D Jx = neVx nutileeVx

Propriétés magnétiques

Les métaux ne possèdent pas de propriété magnétique à l’équilibre thermodynamique théorème de Bohr (1911) - van Leeuwen (1912)

Electrons de coeur (voir cour de magnétisme) Réponse orbitale : diamagnétique = loi de Lenz

à 1T ( = magnéton de Bohr) où est le rayon de Bohr (taille de l’orbite)

et le rayon « magnétique » m

Réponse « cinétique » : ^=> moment magnétique local : paramagnétique et en mécanique classique ces deux composantes se compensent exactement…

mais ceci ne tient ni compte de la quantification de ni de l’existence d’un spin et en mécanique quantique

à 1T, 100K ( = fonction de Brillouin, voir cours de magnétisme)

< μ_dia > ≈ − μ_B × (a₀²/a_B)² ∼ − μ_B/1000000 μ_B

a₀ ∼ 1Å

a_B h/qB ∼ 10⁻⁷

⃗J = ⃗L + ⃗S

L_z

< μ_Para > = + μ_B × B_J(μ_BB/kT) ∼ μ_B/100 > > < μ_dia >

B_J(x)

29

Quid du gaz électronique = électrons délocalisées

tout d’abord ces électrons possèdent un spin 1/2 et les densités d’états des deux types (up et down) se décalent de ±Δ = ± μ_BB

Il en résulte un moment, de Pauli

et on peut utiliser le développement de Sommerfeld avec A=g’(E)

< μ_Pauli > = μ_B(n_↑ − n_↓) = (μ_B/2)[∫

∞

−Δg(E + Δ)f(E)dE − ∫

∞

Δ g(E − Δ)f(E)dE]

< μ_Pauli > ≈ μ_BΔ∫

∞

0 g′(E)f(E)dE

Nutile

< μ_Pauli > ∼ μ_B × μ_BBg(E_F)(1 + π²g′′(E_F)

6g(E_F) (kT)²]

∼ (π³/3)(T/T_F)² < < 1

et pour la réponse orbitale il faut se rappeler (voir cours de mécanique quantique) que l’Hamiltonien sous champ H = ( p ⃗ + eA)⃗ ²/2m

réponse orbitale = oscillateur harmonique niveaux de Landau (voir mécanique quantique)

et on peut montrer que pour

et on en déduit :

ℏω_c = ℏqB/m < < E_F

NE¯ = 3E_F/5 + g(E_F)(μ_BB)²/6 + . . .

< μ_Landau > = − ∂(NE)/∂B¯ = − < μ_Pauli > /3

Les interactions entre spins peuvent donner lieu à l’existence d’un moment même en l’absence de champ extérieur = champ interne =

(anti-)FERROmagnétisme de Curie-Weiss pour les états de coeur (voir magnétisme) de même pour les électrons délocalisés on a écrit

mais si on tient compte de la répulsion Coulombienne U entre les deux populations de spin

on doit écrire et

la susceptibilité diverge pour et une aimantation spontanée apparaît

= Ferromagnétisme de Stoner

< μ_Pauli > = μ_BΔn = μ_B × g(E_F)/2 × ΔE = μ_B × g(E_F)/2 × 2μ_BB Δn = g(E_F)/2 × (2μ_BB + UΔn) < μ_Pauli > = g(E_F)μ_B²B

1 − Ug(E_F)/2 Ug(E_F)/2 → 1

Electrons localisées (couches atomiques)

Electrons délocalisées

(métaux)

Diamagnétisme

LARMOR à 1T, indépendant de T

LANDAU

(sauf supraconducteurs)

Paramagnétisme (et Ferromagnétisme)

CURIE/Curie-Weiss

à 1T/100K ~1/T

PAULI/Stoner

à 1T, indépendant de T

μ_dia∼ − μ_B 1000000

μ_para ∼ μ_B 10000 μ_para ∼ μ_B

100

μ_dia ∼ −μ_para/3

….

toutes les propriétés physiques des solides (électroniques,

thermodynamiques, magnétiques,…) sont déterminées par : c’est la grandeur essentielle à déterminer et il faut pour cela (généralement)

aller au delà du modèle des électrons libres…

Néanmoins, les interactions e/ions (physique des solides 2) conduisent essentiellement à une renormalisation de la masse

= masse effective (voir aussi partie « semi-conducteurs ») et l’approche « électrons libres » est donc un point de départ essentiel.

σ₀ = e²D × g(E_F)

C = π²kB²T/3 × g(EF) χ_Pauli = μ_B² × g(E_F)

g(E_F)

m → m*

33

Chap.3

Réseau cristallin, structure de bandes et vibrations

L’ensemble des opérations de symétrie laissant invariant un réseau cristallin permet de définir

7 GROUPES PONCTUELS

A. Réseau cristallin, phonons, réseau réciproque

• CUBIQUE : a=b=c, α=β=γ=90° : axes de symétrie 3 (4) et 4 (3) (+ plans miroirs)

• TETRAGONALE : a=b≠c, α=β=γ=90° : 1 axe de symétrie 4 (+ plans miroirs)

• RHOMBOEDRIQUE : a=b=c, α=β=γ≠90°: 3 axes de symétrie 3 (+ plans miroirs)

• HEXAGONAL : a=b≠c, α=β=90°, γ=120° : 1 axe de symétrie 6 (+ plans miroirs)

• ORTHORHOMBIQUE : a≠b≠c, α=β=γ=90° : plans miroirs (3) uniquement

• MONOCLINIQUE : a≠b≠c α=γ=90°, β≠90° : un seul plan miroir

• TRICLINIQUE : a≠b≠c, α≠β≠γ : ni miroir, ni axe de rotation (point d’inversion)

TOTAL : 14 Réseaux de Bravais

réseau cristallin = répétition d'une maille élémentaire dans les trois directions de l'espace : un cristal est un objet périodique dont la

structure peut être déterminée par diffraction des rayons X

Structure hexagonale compacte

= 2 réseaux hexagonaux décalés, c= 0.74 en tenant compte des

symétries du motif : 230 groupes d’espace Structure

diamant

= cfc + motif à 2 points en (0,0,0) et a/

4(1,1,1), C=0.34, coordinence 4 (sp3)

axe de symétrie 5 ! Modification de la définition officielle d’un cristal : désormais selon l'Union internationale de

cristallographie, cristal = solide dont le spectre de diffraction est essentiellement discret axe de symétrie 4 axe de symétrie 6

Avionique : recherche de nouveaux alliages légers et résistants : Al + Mn symétrie d’ordre 5 (ou 10) INCOMPATIBLE avec une périodicité en translation

ces alliages «interdits» ont été baptisés quasicristaux

symétrie «interdite» mais pouvant être obtenue sous forme macroscopique. AlCuFe, AlPdMn,...

Pavage de Penrose

2 motifs élémentaires et non pas un seul

Dans la suite on ne s’intéressera qu’aux réseaux cristallins

maille primitive = volume de l’espace qui, translaté par tous les vecteurs du RB rempli totalement l’espace sans se recouvrir ni laisser de trous, elle contient 1 point du réseau

mais ce choix n’est PAS UNIQUE

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Maille conventionnelle

Cellule de Wigner-Seitz

= zone de l’espace qui est la plus proche de ce point, construite à partir des plans

medians de tous les voisins systèmes d’affichage, tissus, peintures,... propriétés mécaniques intéressantes (Kevlar)

Molécules de formes allongées (cholestérol,...) pouvant adopter une orientation préférentielle mais distribuées (quasi-)aléatoirement

Cristaux liquides