Processus ponctuels pour l’étude de l’apparition de fuites sur un réseau de distribution d’eau

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Submitted on 13 Aug 2019

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Processus ponctuels pour l’étude de l’apparition de fuites sur un réseau de distribution d’eau

Nicolas Dante, Bérengère Sixta-Dumoulin, Radu Stoica

To cite this version:

Nicolas Dante, Bérengère Sixta-Dumoulin, Radu Stoica. Processus ponctuels pour l’étude de

l’apparition de fuites sur un réseau de distribution d’eau. Journées de statistique 2019, Jun 2019,

Nancy, France. �hal-02187889v2�

Processus ponctuels pour l’´ etude de l’apparition de fuites sur un r´ eseau de distribution d’eau.

Nicolas DANTE ¹ & B´ ereng` ere SIXTA DUMOULIN ² & Radu S. STOICA ¹

1 Universit´ e de Lorraine, CNRS, IECL, F-54000 Nancy, France [nicolas.dante@univ-lorraine.fr,radu-stefan.stoica@univ-lorraine.fr]

2 SEDIF, 120 Bd Saint Germain - 75006 Paris, France [b.sixta-dumoulin@sedif.com]

R´ esum´ e. Cet article pr´ esente les processus ponctuels sur r´ eseaux lin´ eiques pour la mod´ elisation spatiale des fuites sur un r´ eseau de distribution d’eau. Cette mod´ elisation se fait sachant la position des capteurs de d´ etection de fuites sur le r´ eseau. Des statistiques exploratoires permettant la comparaison des observations avec la r´ ealisation d’un pro- cessus poissonien stationnaire sont pr´ esent´ ees. Ensuite un processus ponctuel de Poisson inhomog` ene est test´ e sur des donn´ ees r´ eelles. A la fin, des conclusions et des perspectives sont formul´ ees.

Mots-cl´ es. processus ponctuels sur r´ eseau, d´ etection de fuites, analyse exploratoire, inf´ erence bay´ esienne de type ABC.

Abstract. This paper presents point processes on linear networks for the spatial modeling of water leaks on a water distribution network. The water leaks modeling is done, conditionally to the position of water leaks detectors on the network. Summary statistics that allow the comparison with a stationary Poissonian reference are then presented.

Then, a non-homogeneous Poisson point process is tested on real data. Conclusions and perspectives are finally depicted.

Keywords. point processes on linear networks, water leaks detection, summary sta- tistics, ABC Bayesian inference.

1 Presentation des Donn´ ees

Les donn´ ees fournies par le Syndicat des Eaux d’ˆIle-de-France consistent en un r´ eseau de canalisations sur lequel sont localis´ ees des fuites et des capteurs. Chaque capteur et chaque fuite sont accompagn´ ees d’un grand nombre d’informations, respectivement : type de capteur, type de fuite, date de la fuite, date du d´ eclenchement du capteur, pression, par exemple.

La Figure 1 montre la r´ epartition spatiale des fuites et des capteurs sur un r´ eseau dans une petite ville en France. Voil` a quelques questions que l’on se pose :

— est-ce que les fuites sont r´ eparties uniform´ ement sur le r´ eseau ?

— est-ce que la distribution des fuites est compl` etement ind´ ependante de la position

des capteurs ?

— si un telle d´ ependance peut ˆ etre mise en ´ evidence, est-ce que l’on pourrait quantifier

`

a l’aide d’un mod` ele statistique ?

Figure 1 – Les Fuites (en noir) et capteurs (en rouge) sur les tron¸ cons du r´ eseau de canalisations

Cet article apporte des ´ el´ ements de r´ eponses ` a ces questions en utilisant les processus ponctuels sur res´ eaux [1, 2].

2 Processus Ponctuels sur un r´ eseau lin´ eique

Un segment lin´ eaire d’extr´ emit´ es u et v est donn´ e par : l = [u, v] = {tu + (1 − t)v : 0 ≤ t ≤ 1}

La longueur d’un segment est : |l| = kv − uk o` u k.k est la norme euclidienne.

Alors un r´ eseau lin´ eaire est d´ efini comme une union finie de segments lin´ eiques : L =

n

[

i=1

l i

La th´ eorie des processus ponctuels peut ˆ etre ´ etendue aux r´ eseaux lin´ eiques. Il faut pour cela introduire une nouvelle distance (”plus court chemin”) et une nouvelle int´ egrale sur r´ eseau. Cependant la d´ efinition d’un processus ponctuel sur un r´ eseau lin´ eique est analogue ` a celle sur R ^d .

Consid´ erons maintenant un processus ponctuel simple, donc qui ne contient pas deux

fois le mˆ eme point presque sˆ urement, sur un r´ eseau lin´ eique.

Soit X un processus de Poisson sur L. Le processus a une fonction d’intensit´ e λ(.) qui si pour chaque segment lin´ eique B ⊂ L :

E [n(X ∩ B)] = Z

B

λ(u) du o` u n(X ∩ B ) est le nombre de points dans X ∩ B .

Pour les moments de second ordre, le processus X a une intensit´ e λ ₂ si pour deux segments disjoints A et B on a :

E [n(X ∩ A)n(X ∩ B)] = Z

A

Z

B

λ ₂ (u, v) dudv.

La fonction K d’un processus ponctuel stationnaire sur R ^d est proportionnelle au nombre moyen de voisins d’un point du processus. Par analogie, on construit la fonction K pour un processus ponctuel sur r´ eseau. Dans ce cas, son estimateur corrig´ e qui utilise la distance du chemin le plus court sur le r´ eseau est :

K ˆ _net (r) = |L|

n(n − 1)

n

X

i=1

X

j6=i

1[d _L (x _i , x _j ) ≤ r]

m(x i , d L (x i , x j ))

o` u d L (., .) est la distance entre deux points sur le r´ eseau et m(x, d) est le nombre de points du r´ eseau exactement ` a distance d de x.

Il est tout ` a fait possible de construire la fonction de corr´ elation par paire de points, qui est proportionnelles ` a la deriv´ ee du premier ordre de la fonction K . Son estimateur se construit d’une mani` ere analogue au cas pr´ ec´ edent, en utilisant la distance du chemin le plus court, sur un r´ eseau. Pour un processus ponctuel homog` ene on a :

ˆ

g(r) = |L|

n(n − 1)

n

X

i=1

X

i6=j

k(d _L (x _i , x _j ) − r) m(x i , d L (x i , x j )) alors que pour le cas inhomog` ene, nous obtenons

ˆ

g(r) = 1 P

i 1 λ(x ˆ

)

n

X

i=1

X

i6=j

k(d _L (x _i , x _j ) − r) λ(x ˆ _i )ˆ λ(x _j )m(x _i , d _L (x _i , x _j )) , o` u k(.) est un noyau sur R .

3 Application

Sous l’hypoth` ese poissonienne, il est possible d’obtenir des expressions analytiques

simples pour K _net (r) et g(r), respectivement. Ainsi, il est possible de construire des outils

d’exploration bas´ es sur ces statistiques descriptives pour rejeter l’hypoth` ese nulle, ici le caract` ere poissonien des observations.

La Figure 3 montre, pour un fragment du r´ eseau de distribution d’eau dans la ville consid´ er´ ee, les valeurs obtenues pour les estimateurs de K et ρ, respectivement. Pour plus de robustesse, un test d’enveloppes a ´ et´ e ´ egalement effectu´ e. Le niveau du test pour chaque rayon r a ´ et´ e 0.02. Ainsi, les r´ esultats obtenus indiquent que les donn´ ees ne puissent provenir d’un processus de Poisson stationnaire est rejet´ ee. La r´ eponse ` a notre premi` ere question serait donc, que ces donn´ ees sugg` erent que la r´ epartition spatiale des fuites d’eau n’est pas uniforme sur le r´ eseau.

Figure 2 – Fonction K et de corr´ elation par paire des fuites sur un fragment de r´ eseau de distribution d’eau : estimation ponctuelle et tests d’enveloppes. En rouge : les valeurs des fonctions sur l’hypoth` ese d’un processus de Poisson stationnaire.

Il est possible de construire des fonctions K et g pour v´ erifier s’il y a une relation de d´ ependance entre deux configuration de points distinctes [1, 2]. Nous utilisons ces fonctions pour v´ erifier s’il y a une relation entre la r´ epartition spatiale des fuites et celle des capteurs. Les r´ esultats sont montr´ es dans la Figure 3. Les estimateurs ponctuels de K et ρ montrent des diff´ erences entre ceux-l` a, et leur valeurs th´ eoriques respectives.

Cependant, le test d’enveloppes ne rejette pas l’ind´ ependance entre ces deux distributions.

Le r´ esultat de ce dernier test n’est pas contradictoire, bien au contraire. Il indique qu’un

mod` ele spatial pour la r´ epartition de fuites sachant la position du capteur devrait prendre

en compte aussi toutes les informations disponibles relatives au temps d’apparition d’une

fuite et de sa d´ etection par un capteur.

Figure 3 – Fonction crois´ ees (fuites et capteurs) K et de corr´ elation par paire sur un fragment de r´ eseau de distribution d’eau.estimation ponctuelle et tests d’enveloppes. En rouge : les valeurs des fonctions sur l’hypoth` ese d’ind´ ependance entre fuites et capteurs.

Cette analyse exploratoire n’indique pas si la non-uniformit´ e spatiale observ´ ee pour les fuites sur le r´ eseau peut ˆ etre expliqu´ ee par certaines co-variables, par une interaction entre les fuites, ou bien les deux aspects pris ensemble. Un mod` ele statistique pour la r´ epartition spatiale des fuites devrait prendre en compte ses aspects. La construction d’un tel mod` ele est notre objectif mais ceci n’est pas une tˆ ache triviale [4].

Face ` a ce challenge, nous avons d´ ecid´ e proc´ eder par ´ etapes. D’autant plus, que l’esti- mation des param` etres des processus ponctuels avec interactions reste encore un probl` eme ouvert [3].

Dans ce contexte, nous proposons comme tout premier mod` ele, un processus ponctuel de Poisson inhomog` ene. Son int´ ensit´ e est donn´ ee par

λ(u) = exp(θ ₀ + θ ₁ ψ(u, c)) (1) avec θ ₀ et θ ₁ les param` etres du mod` ele ` a estimer, c l’ensemble des capteurs et leur infor- mations associ´ ees qui est connu et la fonction ψ qui est une fonction indicatrice qui vaut 1 si un capteur s’active au maximum 7 jours apr` es l’apparition d’une fuite situ´ ee ` a moins de 500m de distance.

En observant les fuites et les capteurs dans une r´ egion de la ville, une proc´ edure

d’inf´ erence bayesienne bas´ ee sur l’algorithme ABC Shadow [3] a ´ et´ e lanc´ ee. La Figure 3

montre l’estimation de la loi a posteriori du mod` ele (1). D’apr` es ces r´ esultats partiels,

les deux param` etres sont significativement non-nuls. Le Mean Posterior Mode du vecteur (θ <sub>0</sub> , θ <sub>1</sub> ) obtenu a ´ et´ e (−7.87, 5.5). A partir de ces valeurs nous avons estim´ e des erreurs asymptotiques de l’estimateur de maximum de vraisemblance Monte Carlo. La diff´ erence entre les vraies valeurs du mod` eles et celui du maximum de vraisemblance est donn´ ee par (1.29, 0.41). Alors que la diff´ erence entre le maximum de vraisemblance et son ´ equivalent Monte Carlo est donn´ ee par (0.12, 0.013).

Figure 4 – Trajet de l’algorithme ABC Shadow , histogramme de la baseline et du pa- ram` etre du mod` ele.

4 Conclusion et perspectives

Les r´ esultats obtenus sont encourageants. Le projet continue avec la construction d’un mod` ele permettant la prise en compte des diff´ erentes possibles interactions montr´ ees par l’analyse exploratoire des donn´ ees.

R´ ef´ erences

[1] Qi Wei Ang, Adrian Baddeley, and Gopalan Nair. Geometrically corrected second order analysis of events on a linear network, with applications to ecology and crimi- nology. Scandinavian Journal of Statistics vol. 39, pages 591–617, 2012.

[2] Adrian Baddeley, Ege Rubak, and Rolf Turner. Spatial Point Patterns Methodology and Applications with R. CRC Press, 2016.

[3] Radu S. Stoica, Anne Philippe, Pablo Gregori, and Jorge Mateu. Abc shadow algo- rithm : a tool for statistical analysis of spatial patterns. Statistics and Computing, 27(5) :1225–1238, 2017.

[4] Marie-Colette van Lieshout. Nearest-neighbour markov point processes on graphs with

euclidean edges. Advanced in Applied Probability, 50(4) :1275–1293, 2018.