AntillesGuyane 2015. Enseignement spécifique
EXERCICE 3 (4 points) (commun à tous les candidats) Partie A
On appelleCl’ensemble des nombres complexes.
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé(O,−→u ,−→v), on a placé un pointM d’affixez appartenant à C, puis le pointR intersection du cercle de centreO passant parM et du demi-axe[0,−→u).
b b
b
M
R O −→u
−
→v
1)Exprimer l’affixe du pointRen fonction de z.
2)Soit le pointM′ d’affixez′ définie par
z′=1 2
z+|z| 2
. Reproduire la figure sur la copie et construire le pointM′.
Partie B
On définit la suite de nombres complexes(zn)par un premier termez0 appartenant àCet, pour tout entier naturel n, par la relation de récurrence :
zn+1=zn+|zn|
4 .
Le but de cette partie est d’étudier si le comportement à l’infini de la suite(|zn|)dépend du choix dez0.
1)Que peut-on dire du comportement à l’infini de la suite(|zn|)quandz0est un nombre réel négatif ? 2)Que peut-on dire du comportement à l’infini de la suite(|zn|)quandz0 est un nombre réel positif ? 3)On suppose désormais quez0 n’est pas un nombre réel.
a)Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement à l’infini de la suite(|zn|)? b)Démontrer cette conjecture, puis conclure.
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