AntillesGuyane 2015. Enseignement spécifique

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Texte intégral

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AntillesGuyane 2015. Enseignement spécifique

EXERCICE 3 (4 points) (commun à tous les candidats) Partie A

On appelleCl’ensemble des nombres complexes.

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé(O,−→u ,−→v), on a placé un pointM d’affixez appartenant à C, puis le pointR intersection du cercle de centreO passant parM et du demi-axe[0,−→u).

b b

b

M

R O −→u

→v

1)Exprimer l’affixe du pointRen fonction de z.

2)Soit le pointM d’affixez définie par

z=1 2

z+|z| 2

. Reproduire la figure sur la copie et construire le pointM.

Partie B

On définit la suite de nombres complexes(zn)par un premier termez0 appartenant àCet, pour tout entier naturel n, par la relation de récurrence :

zn+1=zn+|zn|

4 .

Le but de cette partie est d’étudier si le comportement à l’infini de la suite(|zn|)dépend du choix dez0.

1)Que peut-on dire du comportement à l’infini de la suite(|zn|)quandz0est un nombre réel négatif ? 2)Que peut-on dire du comportement à l’infini de la suite(|zn|)quandz0 est un nombre réel positif ? 3)On suppose désormais quez0 n’est pas un nombre réel.

a)Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement à l’infini de la suite(|zn|)? b)Démontrer cette conjecture, puis conclure.

http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés.

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