Polynésie 2015. Enseignement spécifique
EXERCICE 2 : corrigé
1)SoitM un point du plan d’affixez.
M invariant⇔z′=z⇔z2+ 4z+ 3 =z
⇔z2+ 3z+ 3 = 0.
Le discriminant de l’équationz2+ 3z+ 3 = 0est∆ = 32−4×1×3 =−3<0. Donc l’équationz2+ 3z+ 3 = 0admet deux solutions complexes non réelles conjuguéesz1= −3 +i√
3
2 et z2= −3−i√ 3
2 .
Donc, il existe exactement deux points invariants, le pointM1 d’affixez1=−3 2+i
√3
2 etz2=−3 2 −i
√3 2 . Déterminons la forme trigonométrique dez1 etz2.
|z1|= v u u t
−3 2
2
+
√3 2
!2
= r9
4+3 4 =√
3puis
z1=−3 2+i
√3 2 =√
3 −
√3 2 +1
2i
!
=√ 3
cos
5π 6
+isin
5π 6
=√ 3e5iπ6 . D’autre part,z2=z1=√
3e−5iπ6 .
z1=√
3e5iπ6 etz2=√ 3e−5iπ6 .
2)On sait déjà queOA=|zA|=|z2|=√
3 etOB=|zB|=|z1|=√
3. Enfin, AB=|zB−zA|=
−3 2+i
√3 2 +3
2 +i
√3 2
= i√
3 =√
3|i|=√ 3.
En résumé,OA=OB=AB=√
3et donc le triangleOAB est équilatéral.
3)Soientxety deux réels puisz=x+iy.
z′=z2+ 4z+ 3 = (x+iy)2+ 4(x+iy) + 3 =x2+ 2ixy−y2+ 4x+ 4iy+ 3
=x2−y2+ 4x+ 3 + 2iy(x+ 2).
Par suite,
M′∈(Ox)⇔z′∈R⇔Im(z′) = 0⇔y(x+ 2) = 0⇔x=−2ouy= 0.
E est la réunion des droites d’équation respectivesx=−2et y= 0.
4) Graphique.
1 2
−1
−2
1 2
−1
−2
bb
B
O
A E
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