FORMULATION DU MODELE HEXADIMENSIONEL
2-1- INTRODUCTION
Dans ce chapitre nous allons développer la formulation mathématique du modèle choisi c'est à dire le modèle par matrice de transfert à six degrés de liberté. Ce modèle nous permettra de prendre en compte les six déplacements de la structure y compris donc la torsion. En se basant sur la théorie des groupes de Lie, une formulation a été développée. Nous nous proposons d’en donner ci-après les principaux fondements ainsi que quelques démonstrations de nature à expliciter la problématique et rendre compte de la complexité du problème.
2-2- PRESENTATION DU MODELE A MATRICE DE TRANSFERT [26]
Nous allons donner le formalisme de base de la théorie des matrices de transfert.
2-2-1- Hypothèse
Les deux seules hypothèses fondamentales utilisées dans le modèle proposé pour l’analyse du comportement dynamique des structures sont :
planchers infiniment rigides dans leurs plans.
les forces d’inerties des éléments de contreventement liées au plancher sont négligeables devant celles du plancher.
Le modèle illustré dans la figure 2.1, appelé modèle par matrice de transfert à six degrés de liberté, est constitué d’une succession de planchers assimilés à des solides
rigides et de liaisons élastiques de type poteau ou voile entre deux planchers consécutifs assimilé à une « poutre ».
2-3- MODELISATION HEXADIMENSIONNELLE [27]
Nous écrivons ici le principe fondamental de la dynamique pour un solide rigide à partir de n’importe quel point de l’espace. Nous donnerons une présentation plus formelle donc plus détaillée dans le paragraphe suivant (Méthode héxadimensionnelle d’étude sismique d’un bâtiment). Le but de celui-ci étant de donner les grandes lignes directrices.
Nous appliquons ce principe aux planchers de l’édifice puis nous expliciterons les matrices de masse et de raideur.
2-3-1- Modélisation du plancher
Les planchers seront modélisés par des solides infiniment rigides dans leurs plans.
Donc, la notion du distributeur est applicable pour la détermination des coordonnées de chaque point du plancher pendant le mouvement.
Un distributeur U des déplacements est caractérisé par le déplacement à l’origine U (O) et le vecteur des rotations autour d’un point . On écrit pour chaque point p :
U O Op p
U( ) ( )
Le champ des vitesses sera déterminé par la dérivée terme par terme par rapport au temps et grâce à l’hypothèse des petits déplacements HPD, le champ des vitesses dans un point p sera :
V O Op p
V( ) ( ) Figure 2.1 : Modèle MMT [26,27]
Plancher N
Plancher N+1
Elément de contreventement
(2.1)
(2.2)
Avec :
V(O): vitesse à l’origine
: invariant du champ des déplacements ou bien vecteur rotation autour d’un point.
Le champ des accélérations est la dérivée première du champ des vitesses par rapport au temps. Nous notons :
) (
) ( )
( ) (
) ( )
) ( (
Op O
V dt Op
O d p
dt Op Op d
dt d dt
O V d dt
p V p d
2-3-2- Modélisation du contreventement [27]
Nous supposons que les éléments de contreventement sont modélisés par des éléments poutres cylindriques soumises à un système de forces d’un côté et encastrées de l’autre coté. Il peut y en avoir un nombre quelconque entre deux étages, posé à n’importe quel endroit du plancher.
La formulation classique du comportement des poutres nous donne la relation linéaire entre le champ équiprojectifs des déformations et les champs des vecteurs des forces appliquées sur une section. Cette relation exprimée dans un repère lié à chaque section doit être écrite dans une base commune à toutes les sections de la poutre, en l’occurrence la base de la section finale, appelée base locale de la poutre. Cela permet de définir une matrice de rigidité Ki écrite dans cette base, pour plusieurs éléments de contreventement.
Il faut exprimer les différentes matrices de rigidité dans une base centrale liée au plancher à partir de la matrice de passage Pi entre la base de chaque section et la base finale à la cote Z ld’un élément poutre. La matrice de raideur d’un portique est alors définie:
(2.4) La compatibilité des déplacements horizontaux est assurée par les planchers supposés rigides et indéformables, donc la matrice de rigidité globale pour chaque niveau est la somme des matrices de rigidité des éléments de contreventement limités par le plancher de ce niveau et le plancher du dessous et s’exprime :
~i PiKiPi1
K
p
i
Ki
K
1
~
(2.3)
La matrice masse des éléments de contreventement et du plancher défini à l’aide d’un opérateur de moment M fait correspondre à chaque champ équiprojectif x le champ suivant :
M x p PM x M M dM
S
) ( ) ( )
)(
(
(2.5)
L’opérateur M représente dans notre modèle la matrice masse du solide, il contient la sous matrice masse m
I3 du solide (plancher ou élément de contreventement) et la sous matrice d’inertie IG du solide. Pour chaque plancher la matrice masse est la somme des moitiés inférieures et supérieures des éléments de contreventement liées au plancher et la matrice masse du plancher.2-4- METHODE HEXADIMENSIONNELLE D’ETUDE SISMIQUE D’UN BATIMENT
Le modèle utilisé, se base essentiellement sur la notion de distributeur. Ce distributeur est l’élément qui permet de présenter le déplacement avec ses six degrés de liberté appelé aussi champ équiprojectif. Pour un développement des équations de mouvement, le produit vectoriel dans l’espace des champs équiprojectifs ainsi que le changement de base, sont deux outils importants qu’il faut définir afin de permettre l’écriture de la relation héxadimensionnelle fondamentale de la dynamique d’une multi- structure.
2-4-1- Définition dans l’espace vectoriel des champs équiprojectifs
Nous donnons ci-après quelques définitions concernant la cinématique des solides rigides, mais nous n’évoquerons la théorie des groupes de Lie qui la sous tend que sommairement [27]. Notons qu’il s’agit simplement d’identifier un distributeur à un élément de R6 via ses éléments de réduction.
D l D lm m
D( ) ( ) t.
D
Dt
a) Espace vectoriel
On rappelle qu’un déplacement est une transformation affine bijective dont la partie linéaire est un élément du groupe spécial orthogonal SO3 (ΙR). Si m et l sont deux points de l’espace affine ε, on a alors :
avec SO3 (ΙR). (2.6) Un déplacement est, en fait, une application affine conservant les distances et l’orientation, donc c’est l’outil idéal pour repérer un solide rigide dans l’espace Eq (Dimension 6). Pour les opérations sur les vecteurs, il nous faut un espace vectoriel de dimension 6 notéE6.
b) Champ vectoriel
Soit E un espace vectoriel euclidien et U un ouvert de E. Un champ de vecteurs de classe de régularité Ck sur U est une application F de classe Ck , de U dans E , définie par ses n fonctions composantes :
n n
n
n xxF
xxF x
x F
,, ,, :
1 1 11
c) Distributeur
Si l’on fixe une configuration de référence r d’un solide, toute autre configuration s(t) se déduit de r par un déplacement D(t). L’ensemble des déplacements ΙD est un groupe pour la loi de composition des applications σ. Dans le cas du groupe ΙD, σ s’identifier à l’espace vectoriel des champs équiprojectifs muni du crochet de Lie.
d) Champs équiprojectifs
Soit u un champ de vecteurs sur l’espace affine R3, ayant des valeurs dans l’espace vectoriel R3, verifiant :
(2.7) est l’invariant vectoriel de u
e) Groupe de lie
Le mouvement d’un solide peut être décrit par : D(t) de ΙR dans ΙD
Cette application est au moins de classe C2 puisque ΙD est un Groupe de Lie, c'est-à-dire, un groupe G muni d’une structure différentielle compatible avec la loi de composition interne σ, telle que :
Soit de classe de G x G dans G de G dans G f) Algèbre de lie
Soit λ un corps. L’algèbre de lie sur λ est un espace vectoriel Eq sur λ muni d’une application bilinéaire de Eq x Eq dans Eq qui vérifie les propriétés suivantes : 1.
2. (Identité de Jacobi).
Le produit est appelé crochet de lie de x et y, puisque le crochet est une fonction bilinéaire alterné de x, y. On a aussi pour tous x, y dans Eq.
g) Crochet de lie
u R3 Tq M,L R3 u(M) u(L) u LM
u
x y x y
C ( , )
1
xx C
x,yx,y
, 0
,
x Eq x x
, ,
,
,
,
,
0 ,,
,
x y z Eq x y z y z x z x y
x,y
x,yy,x
Le produit vectoriel sur l’espace affine Eq de deux distributeurs x et y c’est le champ de vecteur z :
Z x,y (2.8)
x,y=
)() (
)(
)( ,
Ox OyOx Oy
y x y yx x
(2.9)h) Base et changement de base (Passage)
Soit un distributeur x exprimé dans une base B(
OM j OM k OM i
k j
i , , , , , )
d’un espace affine R3qui a un repère R= (O,i,j,k ), de composantes : l’invariant du champ équiprojectif x et U O le déplacement à l’origine. On peut écrire pour chaque point M du solide S et par rapport au repère R :
U M U O OM
R R S
R ( )
)
( (2.10)
) (
) (
) (
) ( )
( )
( )
(M U O iU O jU O k iOM jOM kOM
U R x y z x y z
Soit un repère R1= (O1,i1,j1,k1) d’une base B1(
OM j OM k OM
i k j
i1, 1, 1, 1 1 , 1 1 , 1 1 ), nous voulons déterminés la matrice de passage qui nous permet d’écrire les éléments
P
d’un distributeur x écrit dans la base déduite du repère R, dans la base déduite du repère R1. On écrit :
) (
(O))
(O) (O) ( )
(M U U U ij k t
U R x y z
t z
y
x )(i (OO OM) j (OO OM) k (OO OM))
( 1 1 1 1 1 1
U(M)R1 (Ux(O) Uy (O) Uz(O)) P1 (i1 j1k1)t + (2.11)
R
R
R tz y
x )(P i P OO P j P OO P k P OO )
( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
+
R
R
R tz y
x )( P i P OM P j P OM P k P OM )
( 1 1 1 1 / 1 1 1 1 1 / 1 1 1 1 1 / 1
La matrice de passage P dans notre modèle hexadimensionnel est une matrice unitaire
I3. Il résulte :
U(M)R1 (Ux(O1)Uy(O1)Uz(O1))
1 1 1
k j i
+
MO k
MO j
MO i
z y x
1 1
1 1
1 1
(2.12)Les éléments d’un distributeur sont classés dans cet ordre
)(
O U
RS
donc, on peut déduire
la matrice de passage entre deux bases hexadimensionnelles :
3 1
3
. 0 I O O
P I (2.13)
Où : matrice de passage de B1 à B(fig. 2.2).
i) L’opérateur de moment
Soit un solide S de masse M, de masse volumique ρ non uniforme et de barycentre G. L’opérateur de moment M est l’endomorphisme de Eq défini par :
(2.14) D’un point de vue physique, M synthétise, la masse, le tenseur d’inertie.
Donc la matrice masse déduite de l’opérateur linéaire M s’écrit dans une base B :
.
. 3
GA M I
I M GA
M M
A A
2-5- DYNAMIQUE DU SOLIDE RIGIDE
Le principe fondamental de la dynamique peut être appliqué en utilisant les expressions développées précédemment, au cas d’un solide rigide en nous limitant à six inconnues.
2-5-1- Cinématique du solide rigide en petits déplacements [26,27]
On rappelle qu’un déplacement est une transformation affine bijective dont la partie linéaire est l’élément du groupe spécial orthogonalSO3(R). Si m et p, sont deux points de l’espace affine Eq:
D p Amp m
D( ) ( ) . avec ASO3(R)
P
Figure 2.2. Changement de base B à la base B1 [27]
s
q P R x PM x M M dM
E
x , 3 , ( ) ( )( )
Un déplacement est, en fait, une application affine conservant les distances et l’orientation, donc c’est l’outil idéal pour repérer un solide rigide dans l’espace. Si l’on fixe une configuration de référence r d’un solide, toute autre configuration s (t) sera déduite de r par un déplacement D (t). L’ensemble des déplacements D est un groupe pour la loi de composition des applicationso.
Le mouvement d’un solide peut être décrit par une application tD(t) de R dans D.
cette application est au moins de classe C2puisque D est un groupe de lie, c'est-à-dire, un groupe muni d’une structure différentielle compatible avec la loi de composition interne o. Son algèbre de Lie qui dans le cas d’un groupe quelconque de Lie, est définie comme l’espace tangent au groupe en l’élément neutre muni du crochet de Lie. Dans le cas du groupe D, s’identifie à l’espace vectoriel des champs équiprojectif muni du crochet de Lie :
x,y(m)x y(m)yx(m)
xet y désignent les invariants vectoriels respectivement du champ x et du champ y.
Pour les petits déplacements, élément d’un « petit » voisinage de l’élément neutre 1ΙD ; on peut assimiler la partie voisins de 1ΙD à une portion de l’espace tangent en ce point, c’est- à-dire son algèbre de Lie λ qui est, à un isomorphisme prés, l’espace vectoriel des distributeurs.
On rappelle que toute matrice orthogonale Dl est l’exponentielle d’une matrice antisymétrique A :
0 !
exp
k l k
k A A
D Les éléments de A sont plus petits devant l’unité :
On sait que pour toute matrice A antisymétrique 3 x 3, il existe un vecteur tel que : A.mp mp
Il vient alors : Dl.mp mp mp Soit u le champ de vecteur déplacement : u(m)mD(m)
Alors on écrit :
u p mp m
u( ) ( ) (2.19)
) ( 2
3 A O A
I Dl
(2.15)
(2.16)
(2.17)
(2.18)
En (H.P.D) on montre que le champ des vitesses est la dérivée, composante par composante, du champ de position u :
bN
b b
2 1
Le dernier terme du second membre s’écrit : (mp ) A2mp 0
Il résulte :
V p mp
m
V( ) ( )
2-5-2- Calcul du torseur des forces extérieures [27]
Le principe fondamentale de la dynamique du solide s’écrit : f M. C’est le torseur dynamique des forces d’inertie définis par la résultante R des forces dynamiques et le moment dynamique M par rapport à O.
dM f R
S
S
dv R
On injecte la relation (2.3) dans (2.21) :
S
dv OM O
V dt OM
O d
R ( ) ( ) ( )
Il résulte après simplification :
( ) ( ) ( )
mOG m v O mOG
dt O d m
R
Pour le moment dynamique :
M =
S
dv OM
M = OM V O OM dv
dt O d OM
S
( ) ( ) ( ))
(
Et le moment dynamique s’écrit :
M ( ) ( ) ( ( )) ()
o mOG v O Io
dt I d O
mOG
(2.20)
(2.21)
(2.22)
(2.23)
m et G sont la masse et le barycentre du solide respectivement.
L’écriture du torseur dynamique sera simplifiée en :
) ( , )
( v M v
dt v M d Tf
Le crochet de lie v,Mv décrit les moments des forces de Coriolis et les couples gyroscopiques.
2-6- ETUDE DE LA LIAISON ENTRE DEUX PLANCHERS CONSECUTIFS
La liaison entre deux solides rigides est définie comme un dispositif permettant de transmettre des forces d’un solide à un autre sans imposer aucune restriction à priori au mouvement relatif de deux solides, par exemple un ressort, un amortissement, un poteau, un voile ou plus généralement un système déformable pratiquement sans inertie [26].
2-6-1- Matrice de rigidité
La théorie des poutres nous donne la relation (déformation – forces intérieurs), c’est le point de départ pour exprimer la rigidité de chaque élément de contreventement ainsi que la rigidité globale des éléments de contreventement. La loi de comportement donnée par la théorie des poutres s’exprime comme :
F(M)C(M)
0 0 0 0
0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
0 0
GJ EI EI
ES GS GS
C
y x
y x
La matrice C, inclut les caractéristiques géométriques et mécaniques d’un élément de contreventement limité par deux niveaux successifs. Sx et Sy sont respectivement les (2.24)
(2.25)
(2.26)
sections réduites selon x et selon y, EIx et EIy les modules de flexion, G le module de rigidité transversale, E le module de rigidité longitudinale (module de Young) et J le module de torsion qui a les dimensions d’un moment d’inertie.
L’élément de contreventement sera considéré encastré à la base, soumis à son sommet à un torseur des forces de six composantes Ffx fy fzmxmymz t . est le vecteur des déplacements unitaires et contient les dérivées d’un distributeur des déplacements
x y zuxuyuz
tu , F et sont écrits dans chaque point dans la base liée au centre de gravité de chaque section rigide d’un élément de contreventement.
L’élément de contreventement sera devisé en tranches selon l’intervention des ouvertures au plan vertical du refend. Chaque tranche sera partagée en éléments selon l’existence des ouvertures.
La relation de la loi de comportement est écrite dans une base orthonormée locale liée à la section finale Sz de côte z (fig. 2.3).
À partir de la relation (déformations - forces intérieures) la matrice de souplesse de chaque élément dans chaque tranche sera définie par :
j
j
l
l
dz u
1
=
dz P C
P vj
l
l vj
j
j
1 1
1
fj
1 1
1
dz P C P
S vj
l
l vj ji
j
j
Figure 2.3. Modélisation des éléments poutre cylindrique
M l
L z
i
iM
jM
kM
k
bN b b
2 1
j
o
i : indique la tranche j : indique l’élément
(2.27)
L’équation (2.27) montre l’intégration de la matrice C-1 entre les deux bornes li1 et li d’un élément j de tranche i, on prend comme base fixe la projection de la base finale de l’élément j dans le plan inférieur du plancher, les bases locales de cette élément sont les translatés de celle-ci. Pvj est la matrice de passage entre une base locale de l’élément j et la base finale de cote z l.
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 ) (
0 0 1 0 ) ( 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
l z
z
Pvj l
L’équation (2.27) devient après intégration :
Avec :
Après avoir trouvé la matrice de souplesse Sji écrite dans la base située dans le plan supérieur du refend,
Sji 1 sera :1 2
1 2
2
3
2 1
3
2 1
2
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
j j
j j
j j
j j
j
i j
j j j j
j j j
j
j j
j j j
j j
EIx EIx
EIy EIy
S GJ
GSx EIy EIy
GSy EIx EIx
ES
2 1
2 3
3 3
3
1
( )(2 )
2
( )
(1 ) (1 )
3
j j j j j
j j j
j j j
j j
j j
l l l l l l
l
(2.28)
(2.29)
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
y
x
x x
y y
z
x j xj
y j yj
zj j
j y j
j x j
j
k k
k k
K k
k k
k k
k
Avec :
3 6
2
5 5 1
1
y
j j
x j
j j j
k K K
K K K
, 6
5 1
j xj
j j
k K
K K
, 42 8
7 7 2
1
x
j j
y j
j j j
k K K
K K K
, 8
7 2
j yj
j j
k K
K K
9
1
zj j
k K , 4
7 2
x
j j
j j
k K
K K
, 3
5 1
y
j j
j j
k K
K K
,
12
1
zj
j
k K
2
5 3 6
1
5
j j j
j
j
K K K
K K
,
2
7 4 8
2
7
j j j
j
j
K K K
K K
, 3j ( 2j 3j )
j j
K GSx EIy
3
4 ( 2 )
j j
j
j j
K GSy EIx
, 5j 1j
j
K EIy
, 6j 2j
j
K EIy
, 7j 1j
j
K EIx
2 8
j j
j
K EIx
, 9j 2j
j
K ES
Ensuite, La matrice de rigidité de chaque élément j de tranche i est écrite dans la base finale liée au centre de gravité de la section du refend plein et à l’aide de la matrice de passagePj :
Kjl Pj1KjPj
Sji 1 (2.30)
1 0 0 0
0 1 0 0
0
0 0 1 0
0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
j j
j j j
x y
x
P y
xjet yj sont les coordonnées du centre de gravité d’un élément j par rapport à la base liée au centre de gravité de la section du refend plein.
0 0
0
0 0
0
0 0
0
0 0
0
2 2 2
2
yj j xj j yj j x j zj yj
x j xj
y j
zj j yj
x yj
x j zj
j yj zj j j
zj j xj y xj
y j zj
j j zj
j xj
zj zj
zj j
yj yj
j xj
y
xj xj
j yj
x
jl
k x k y k
x k y k k
y k
x
k x k
k y k
x k k x y
k y k
k x k
x y k
y k
k xjk
k y
k k
x k
k k
y k
K
La liaison rigide entre les éléments de la même tranche nous donne la possibilité de faire la somme des matrices rigidités des éléments de la même tranche qui sont écrits dans la même base.
j jl
il K
K
La matrice de rigidité pour chaque tranche sera de cette forme :
(2.31)
(2.32)
(2.33)
