Fiches exercices 1 /4

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Fiches exercices 1 /4

► Une expression littérale est une expression dans laquelle un ou plusieurs nombres sont désignés par des lettres.

Exemple

On note P le périmètre d’un rectangle de longueur a et de largueur b.

Ecrire trois expressions littérales de P.

Réponse P = a ×2 + b×2 ou

P = (a +b) × 2 ou

P = a + b + a + b

► On peut supprimer le signe × de la multiplication :

▪ devant une lettre

▪ devant une parenthèse.

Exemple

Supprimer le signe × dans les expressions suivantes :

5 × a 7 × (a + b) 5× 2 × a

5× a + 7× b 5 × a ×7× b

Réponse 5 × a = 5a

7 × (a + b) = 7(a+b) 5× 2 × a = 10a

5 × a + 7 × b = 5a + 7b

5 × a × 7 × b = 5 × 7 × a× b = 35ab

► Attention on ne peut pas supprimer le signe de la multiplication devant un nombre

Exemple

Supprimer le single de la multiplication dans :

a×5 7×5 (a+b)×5

Réponse

a×5 = 5 a [on écrit a × 5 = 5× a = 5a]

7×5 = 35

(a+b) ×5 = 5(a+b)

► Le cas de 1 et de 0 : 1 × a = a et 0 × a = 0

Exemple

Supprimer le signe × 2× a + 1×b + 0×c 3×c - 1×d - 0×e

Réponse

2× a + 1× b + 0×c = 2a + b 3×c - 1×d - 0×e = 3c - d

►Le carré et le cube

a × a se note a² et se lit a au carré a × a × a se note a³ et se lit a au cube.

Exemple

Ecrire sans le signe × 5 × a × 2 × a

a×a + b×b

Réponse

5 × a × 2 × a = 5 × 2× a × a = 10a² a×a + b×b = a² + b²

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Fiches exercices 2 /4

► Les égalités suivantes sont vraies quel que soient les nombres a, b et c

a×(b + c) = a×b + a×c a×(b - c) = a×b - a×c

(b + c)×a = b×a + c×a (b - c)×a = b×a - c×a

On dit que la multiplication est distributive par rapport à l’addition et à la soustraction.

Exemple

Recopier et compléter

5× (a + b) = … × … + … × … (m - p) ×7 = … × … - … × … 8×a – 8×b = …. × ( …. + …) 2×a + 7×a = (… + …) × …

Exemple Exemple

Recopier et compléter

5× (a + b) = … × … + … × … (m - p) ×7 = … × … - … × … 8×a – 8×b = …. × ( …. + …) 2×a + 7×a = (… + …) × …

► Développer un produit a × (b + c) c’est le transformer en une somme a × b + a × c

produit somme a × (b + c) = a × b + a × c

Exemple

Développer les produits suivants

13× (7 + 6) 5× (12 – 7) (7- 3) × 32 5× (a + 4) 2 × (x-1) (b + 3) × 7

Réponse

13× (7 + 6) = 13×7 + 13× 6 5× (12 – 7) = 5×12 - 5× 7 (7- 3) × 32 = 7 × 32 - 3 × 32 5 × (a + 4) = 5×a + 5× 4 2× (x -1) = 2×x -2×1 (b + 3)×7 = b×7 + 3×7

► Factoriser une somme a × b + a × c c’est la transformer en un produit a × (b + c)

somme produit a × b + a × c = a × (b + c)

a est le facteur commun aux deux termes a × b et a × c Exemple

Souligner le facteur commun puis factoriser.

17× 5 + 17 × 8 19×12 - 19 × 2 3×15 + 4×15 7×b + 7×c 10×x - 10×3

2×a + 3×a 7×b - 3× b

Réponse :

17× 5 + 17 × 8 = 17 × (5+8) 19×12 - 19 × 2 = 19 × (12 - 2) 3×15 + 4 × 15 = (3 + 4) ×15 7× b +7×c = 7 × (b + c) 10×x - 10×3 = 10 × (x -3) 2×a + 3×a = (2 + 3) × a 7×b - 3× b = (7 – 3) × b

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Fiches exercices 3 /4

► Pour tester une égalité entre deux expressions littérales on calcule séparément chacune des deux expressions en remplaçant les lettres par des nombres, on compare et on conclue.

Exemple A = 3x + 4 B = 10 + 2x

Tester l’égalité A = B pour x = 5 ? pour x = 6 ?

Réponse Pour x = 5

D’une part : 3x + 4 = 3×5 + 4 = 15 + 4 = 19 D’autre part : 10 + 2x = 10+ 2×5 = 10+10 = 20 On n’a pas l’égalité A = B pour x = 5.

Pour x = 6

D’une part : 3x + 4 = 3×6 + 4 = 18 + 4 = 22 D’autre part : 10 + 2x = 10+ 2×6 = 10+12 = 22 On a l’égalité A = B pour x = 6.

► On peut avoir une égalité entre deux expressions littérales quelle que soient les valeurs des lettres.

Exemple

A = 8(x +1) + 2x + 12 B = 10(x + 2)

A-t- on l’égalité A = B quelle que soient les valeurs du nombre x ?

Réponse D’une part

A = 8(x +1) + 2x + 12 A = 8×x + 8×1 + 2x +12 A = 8×x + 2×x + 8+12 A = (8+2) ×x + 20 A = 10x + 20

D’autre part B = 10(x + 2) B = 10×x +10×2 B = 10x +20

A = 10x +20 et B = 10x + 20

Donc, A = B quelle que soient les valeurs du nombre x

► Attention à la rédaction : pour comparer deux expressions numériques il faut calculer séparément chacune des expressions.

Exemple

A-t-on l’égalité a² + b² = c² pour a = 3, b = 4 et c= 5 ? Voici la réponse sur la copie d’un élève et le

commentaire du professeur.

Pour a = 3, b = 4 et c = 5 a² + b² = c² 3×3 + 4×4 = 5×5 9 + 16 = 25 25 = 25

Très mal rédigé

Donc, a² + b² = c² pour a = 3, b = 4 et c = 5.

Rédiger convenablement la réponse à la question posée.

Réponse

Pour a = 3, b = 4 et c = 5 D’une part :

A = a² + b² A = 3×3+ 4×4 A = 9+16 A = 25

D’autre part B = c² B = 5×5 B = 25

Donc, a² + b² = c² pour a = 3, b = 4 et c = 5 Ou encore :

D’une part,

a² + b² = 3×3+ 4×4 = 9+16 = 25 D’autre part,

c² = 5×5 = 25

Donc, a² + b² = c² pour a = 3, b = 4 et c = 5.

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Fiches exercices 4 /4

► Certains calculs sont parfois plus faciles à trouver à l’aide de la distributivité.

Exemple

A = 31,4 × 75 + 31,4×25 B = 13 × 99

Calculer A et B astucieusement sans poser les opérations

Réponse

A = 31,4 × 75 + 31,4×25 A = 31,4 × (75+ 25) A = 31,4 × 100 A = 3140 B = 13 × 99 B = 13× (100 – 1) B = 13×100 - 13×1 B = 1300 -13 B = 1287

► La distributivité peut résoudre certains problèmes.

Exemple

Le tubes ci-dessous ont la même hauteur h et ont une base carré de côté respectivement 3 cm, 4 cm et 5 cm.

Le volume du grand tube est-il égal à la somme des deux autres volumes ?

Réponse

Le volume d’un parallélépipède rectangle de dimensions a cm, b cm et c cm est V = a × b × c

D’une part

Le volume du grand tube est V1 = 5×5× h = 25h

D’autre part

La somme des volumes des deux autres tubes est V2 = 3×3×h + 4×4× h

V2 = 9 ×h + 16×h V2 = (9+16) × h V2 = 25h

Donc, le volume du grand tube est égal à la somme des deux autres volumes.

Exemple

La figure ci-dessus est formée de deux cercles de rayon 3 cm et 4 cm.

Calculer le périmètre et l’aire de cette figure en fonction de π

Réponse

Le périmètre d’un cercle de rayon R est 2×π×R ou 2πR L’aire d’un cercle de rayon R est π×R×R ou πR² Le périmètre de la figure est

P = 2×π×3 + 2×π×4 P = 6×π + 8×π P = (6+8) ×π P = 14π

L’aire de la figure est A = π×3×3 + π×4×4 A= 9×π + 16×π A = (6+16) ×π A = 25π