EQUATIONS ET PROBLEMES
I. Equations.
1. Définition.
Une équation est une égalité entre deux expressions mathématiques, appelées membres de l’équation.
2. But d’une équation.
Résoudre une équation revient à trouver l’inconnue.
3. Propriété.
Lorsqu’on additionne (ou soustrait) un même nombre aux deux membres d’une équation on obtient une équation équivalente.
Lorsqu’on multiplie (ou divise) par un même nombre non nul les deux membres d’une équation on obtient une équation équivalente.
4. Méthode.
Pour cela on transforme cette équation en une succession d’équations ayant les mêmes solutions que l’équation
initiale de façon à isoler le ou les inconnues
Exemples
1. Résoudre l’équation (E) : x 3 5
3 3 2
3 5
5 3 x
x x
La seule solution de l’équation (E) est x 2. 2. Résoudre l’équation (E1) :2x 7 15
2 7 15
2 7 7 15 7
2 8
2 8
2 2
4 x x x x x
La solution de l’équation (E1) est x 4. II. Equations de 1er degré.
1. Définition.
C’est une équation présentant une seule inconnue (qui peut apparaître plusieurs fois) qui n’est pas élevée à une puissance supérieure à un.
Exemples :
Résoudre l’équation
d’inconnue x : -2x + 3 = 0
Résoudre l’équation
d’inconnue x : 3x + 1 = -5
2 3 0
2 3 3 3
2 3
2 3
2 2
1,5 x x x x x
L’équation admet une seule solution : le nombre 1,5
3 1 5
3 1 1 5 1
3 6
3 6
3 3
2 x x x x x
L’équation admet une seule solution : le nombre -2
2. Equation du type ax + b = cx + d (a c)
On développe les éventuels produits.
On regroupe tous les termes en x d’un même côté de l’égalité et
en réduisant ces termes en x, on est ramené au cas précédent.
Exemples :
Résoudre l’équation (E) :
2 3 6 5
3 6 5 2 3 4 5 3 5 4 8 4
8 4 2
x x
x x
x x x x x
L’équation (E) admet une seule solution x 2
Résoudre l’équation (E1) :
5 (3 2) 5 2(7 6) 5 3 2 5 14 12 2 2 7 14
2 14 2 7 16 2 7
16 7 2 9
16
x x x
x x x
x x
x x
x x x
L’équation (E1) admet une seule solution : 9
x 16
II. Equations comportant des nombres en écriture fractionnaire 1. méthode
Après avoir développé les éventuels produits, on réduit tous les termes des deux membres de l’équation au même dénominateur, puis on multiplie par ce dénominateur commun, ce qui revient à supprimer le dénominateur commun.
Attention, un trait de fraction a valeur de parenthèse.
Exemples :
Résoudre l’équation :
3 2 2 5 3 1
15 3 6 2 10 1 30
30 30 30 30
15 18 20 30 30 30 30 30 15 18 20 30
15 18 15 20 30 15 18 (20 15) 30
18 5 30
18 30 5 30 30 48 5
48 5
5 5
48 5
x x
x x
x x
x x
x x x x
x x
x x
x
x
Résoudre l’équation :
III. EQUATION A UNE INCONNUE DE DEGRE SUPERIEUR OU EGAL A DEUX
C’est une équation présentant une seule inconnue (qui peut apparaître plusieurs fois) qui est élevée au moins une fois à une puissance supérieure ou égale à deux
1. Equation produit nul
On appelle équation produit nul, une équation dont un membre est un produit de facteurs et dont l’autre membre est nul.
Propriété :
Lorsque l’un des facteurs d’un produit est nul, alors le produit est nul.
Réciproquement, si un produit de facteurs est nul, alors un de ses facteurs est nul.
Exemples :
Résoudre l’équation : (2x + 3)(5 – x) = 0.
On reconnait une équation produit nul
Si un produit de facteurs est nul, alors un de ses facteurs est nul
Donc ,2x + 3 = 0 ou 5 – x= 0 Donc, x = - 3
2 ou x = 5 Donc l’équation a deux
solutions : -1,5 et 5.
Résoudre l’équation : -2x(x + 4) = 0
On reconnait une équation produit nul
Si un produit de facteurs est nul, alors un de ses facteurs est nul
Donc, -2x = 0 ou x + 4 = 0 Donc, x = 0 ou x = -4 Donc l’équation a deux solutions : -4 et 0.
