M1CP200 Maths proba 2015-2016
TD1 - D´ enombrement
Exercice 1. Dans un lyc´ee de 1200 ´el`eves, 200 jouent d’un instrument et 900 pratiquent une activit´e sportive. 400 ne sont ni sportifs, ni musiciens. Combien y a-t-til d’´el`eves sportifs et musiciens?
Exercice 2. Une ´equipe de doubleurs est charg´ee de faire les voies du nouvel ´episode devotre s´erie. Chaque personnage ne peut ˆetre doubl´e que par une seule personne, mais une personne peux doubler plusieurs personnages. On demande de plus `a ce que tous les doubleurs ait au moins un rˆole. On note p le nombre de doubleurs et n le nombre de personnages, avecp≥1 et n ≥1, et on cherche le nombre de r´epartitions possibles.
1. Mod´eliser le probl`eme sous la forme d’une question du type d´eterminer le nombre de fonctions telles que . . ..
2. Traiter les cas p > net p=n.
3. Traiter le cas p= 2.
4. Traiter le cas p= 3.
5. Traiter le cas p=n−1.
Exercice 3.
1. Combien de nombres diff´erents peut-on former en utilisant une et une seule fois chacun des chiffres entre 1 et 6?
2. On range ces nombres par ordre croissant. Quelle est la position de 362145?
3. Que vaut la somme de tous ces nombres?
Exercice 4.
1. Quelle est la proportion d’applications injectives parmi toutes les fonctions d’un ensemble `a n ´el´ements dans un ensemble `a n2 ´el´ements?
1
2. Que devient cette proportion lorsque n est grand? On pourra utiliser la formule de Stirling : quand n tend vers +∞, on a
n!∼n e
n√ 2πn.
Exercice 5. Soit E un ensemble fini et (E1, E2) une partition deE:
E =E1∪E2 et E1∩E2 =∅.
1. Combien y a-t-il de telles partitions?
2. (a) Une telle partition ´etant fix´ee, combien y a-t-il de fonctions de E dans E qui stabilisent E1 etE2, c’est-`a-dire telles que f(E1)⊂E1 etf(E2)⊂E2?
(b) Parmi toutes ces fonctions, combien sont des permutations de E?
Exercice 6. Combien de carr´es sont pr´esents sur un quadrillage de n cases sur n cases?
Exercice 7. (*) Soient E1, . . . , En n ensembles finis. Montrer card(E1∪. . .∪En) =
n
X
k=1
(−1)k+1 X
1≤i1<...<ik≤n
card(Ei1 ∩. . .∩Ein).
Exercice 8. Soit n ∈ N∗ un entier, En = [|1, n|]. On appelle d´erangement une permu- tation de En qui n’a aucun point fixe, c’est-`a-dire une bijection f de En dans En telle que
∀i= 1, . . . , n, f(i)6=i.
On noteDn le nombre de d´erangements deEn. On fait de plus la convention queD0 = 1.
1. Montrer
n! =
n
X
k=0
n k
Dk
2. Soit 0 ≤k < p.
(a) Soit q aveck ≤q≤p. Montrer p
q q
k
= p
k
p−k q−k
.
(b) Montrer
p
X
q=k
(−1)q p
q q
k
= 0
2/3
3. En d´eduire que
Dn = (−1)n
n
X
k=0
(−1)k n
k
k!
Simplifier cette formule.
4. On admet que
n→+∞lim
n
X
k=0
xk k! =ex.
Th´eor`eme des chapeaux, version moderne : n personnes entrent dans une pi`ece et laissent leur t´el´ephone `a l’entr´ee. En sortant, ils en r´ecup`erent un au hasard.
Quelle est la probabilit´e que personne n’ait r´ecup´er´e son t´el´ephone? Estimer cette probabilit´e lorsque n est grand.
Exercice 9. On tire une main de 5 cartes parmi un jeux de 32 cartes (8 hauteurs (as, roi, . . . ) de 4 couleurs (carreau, pique, . . . )). On appelle paire un couple de cartes de mˆeme hauteur.
1. Combien de tirages diff´erents sont possibles?
2. Combien de tirages diff´erents poss´edant exactement une paire sont possibles?
3. Combien de tirages poss´edant au moins une paire sont possibles?
Exercice 10. Une grenouille monte un escalier de 11 marches. Elle peut faire des sauts de une marche ou deux marches. Combien de fa¸con a-t-elle de monter les escaliers?
Exercice 11. Quel est le terme maximal dans le d´eveloppement de (2 + 3)50? On pourra
´etudier le quotient de deux termes cons´ecutifs.
Exercice 12. Soit n ∈N∗ un entier. Calculer Cn:=
n
X
k=0
(k+ 1) n
k
.
On tentera le changement d’indice consistant `a compter dans l’autre sens.
3/3
