M1CP200 Maths proba 2015-2016
TD3 - Variables al´ eatoires - Correction
Correction de l’exercice 5
On tire, avec remise, 5 boules d’une urne contenant dix boules num´erot´ees de 1 `a 10. On note X la variable al´eatoire ´egale au maximum des 5 num´eros obtenus, et Y la variable ´egale au minimum des 5 num´eros.
1. Le r´esultat de l’exp´erience est la donn´ee de 5 boules disctinctes num´erot´ees de 1 `a 10. On est donc amen´e `a introduire comme univers
Ω ={1, . . . ,10}5.
Cet ensemble est muni d’une loi de probabilit´e uniforme, de sorte que
∀A∈ P(Ω), P(A) = card(A)
card(Ω) = card(A) 105 .
Les variables X et Y donnent respectivement le plus grand et le plus petit ´el´ement d’un ´el´ement de Ω (c’est-`a-dire d’un 5-uplet). Elles peuvent prendre toutes les valeurs entre 1 et 10 :
X(Ω) ={1, . . . ,10}=Y(Ω).
2. L’´ev`enementX ≤kcorrespond aux 5-uplets compos´e d’entiers naturels tous inf´erieurs ou ´egaux `ak. Lorsque k= 1, il n’y a qu’un seul ´el´ement de Ω qui v´erifie cette con- dition : (1,1,1,1,1) (on a tir´e 5 fois la boule 1). Donc
P(X ≤1) = 1 105.
Puis l’´ev`enement X ≤ k est form´e de tous les 5-uplets dont les composantes sont comprises entre 1 etk. On peut ´ecrire
X ≤k={1, . . . , k}5 et donc
card(X ≤k) = card({1, . . . , k}5) = k5, ce qui traduit qu’on ak choix pour chaque composante, et donc
P(X ≤k) = k5 100000. 1
Nous sommes rassur´es de voir que
P(X ≤10) = 1,
puisque X ≤10 est un ´ev`enement certain. Un raisonnement similaire montre que P(Y ≥k) = (card({k, . . . ,10}5)
100000 = (11−k)5 100000 .
3. Trouver la loi de X, c’est donner les valeurs de P(X = k) pour k ∈ X(Ω). On a pour tout entierk entre 1 et 10 :
{ω ∈Ω, X(w) = k}={ω∈Ω, X(w)≤k} \ {ω ∈Ω, X(w)≤k−1}, ce qui s’´ecrit aussi
(X =k) = (X ≤k)\(X≤k−1).
On a donc
∀k ∈X(Ω), P(X =k) =P(X ≤k)−P(X ≤k−1) = k5−(k−1)5 100000 . Attention,X = 10 n’est cette fois-ci pas un ´ev`enement certain!
De mˆeme,
∀k ∈Y(Ω), P(Y =k) =P(Y ≥k)−P(Y ≥k+ 1) = (11−k)5−(10−k)5
100000 .
Pour trouver la loin conjointe du couple (X, Y), il faut donner les valeurs desP(X = k, Y = p) (c’est-`a-dire de P((X = k)∩(Y =p)) pour (k, p) ∈ X(Ω)×Y(Ω). Les variables X et Y n’ont aucune raison d’ˆetre ind´ependantes (et on pressent mˆeme qu’elles ne le sont pas), donc on ne peut affirmer que P(X =k, Y = p) =P(Y = k)P(Y = p). Il est plus commode d’adapter la m´etode ci-dessus, en raisonnant sur des encadrements de X et Y : on va calculer P(X ≤ k, Y ≥ p). L’´ev`enement (X ≤k)∩(Y ≥p) rassemble les 5-uplets compos´es de nombre inf´erieurs ou ´egaux
`
ak mais strictement sup´erieurs `a p. On les d´enombre de la mani`ere suivante:
• Si k < p, cette situation est impossible, et (X ≤ k)∩(Y ≥ p) = ∅, donc P(X ≤k, Y ≥p) = 0.
• Si k =p, alors seul le 5-uplet (k, k, k, k, k) convient, doncP(X ≤k, Y ≥p) =
1 100000.
• Sik > p, alors on doit fabriquer un 5-uplet de nombres entrepetk. On a donc k−p+ 1 choix pour chaque composante, donc (k−p+ 1)5 possibilit´es. Cela se traduit math´ematiquement par
(X ≤k)∩(Y ≥p) = {p, . . . , k}5, qui est bien un ensemble de cardinal (k−p+ 1)5. On a donc
P(X ≤k, Y ≥p) = (k−p+ 1)5 100000 . 2/3
Maintenant, notons que
(X =k)∩(Y =p) = (X =k)∩(Y ≥p)\((X =k)∩(Y ≥p+ 1)), or
(X=k)∩(Y ≥p) = (X≤k)∩(Y ≥p)\(X ≤k−1)∩(Y ≥p) et
(X =k)∩(Y ≥p+ 1) = (X ≤k)∩(Y ≥p+ 1)\(X ≤k−1)∩(Y ≥p+ 1), d’o`u
P((X =k)∩(Y =p)) = P((X ≤k)∩(Y ≥p))−P((X ≤k−1)∩(Y ≥p))
−(P((X ≤k)∩(Y ≥p+ 1)) +P((X ≤k−1)∩(Y ≥p+ 1))) donc
P(X =k, Y =p) =
0 si k < p 1
100000 sik =p
(k−p+ 1)5+ (k−p−1)5−2(k−p)5
100000 si k > p
4. Il est ´evident que ces deux variables ne sont pas ind´ependantes : ainsi pour le cas particulier k < p, on a
P(X =k, Y =p) = 0 alors que P(X =k)·P(Y =p)6= 0.
5. Notons que P(Y = 5) = 6510−555.On doit donnerP(X=k|Y = 5) pour chaque valeur dek∈X(Ω). Les cask < 5 etk= 5 se calculent facilement. Pourk > 5, on d´eduit de ce qui pr´ec`ede :
P(X =k|Y = 5) = P(X =k, Y = 5)
P(Y = 5) = (k−4)5 + (k−6)5−2(k−5)5
65−55 .
On peut d´evelopper l’expression ci-dessus, et noter que les termes en k5 et k4 se simplifient.
3/3
