M1CP200 Maths proba 2015-2016
TD2 - Probabilit´ e
Exercice 1.
Soient AetB des ´ev`enements d’un espace probabilis´e (Ω, P). On note C l’´ev`enement
“soitAest r´ealis´e, soit B est r´ealis´e, mais pas les deux”. Il s’agit donc d’un “ou” exclusif.
1. Traduire ensemblistement C en fonction de A etB.
2. Montrer que
P(C) =P(A) +P(B)−2P(A∩B).
Exercice 2. On consid`ere un jeu de 32 cartes et on en tire 5. Quelle est la probabilit´e d’avoir un carr´e? Quelle est la probabilit´e d’avoir au moins deux rois?
Exercice 3.
Une urne contient 1 boules num´erot´ees de 1 `a 10. On tire trois boules successivement, avec remise. Quelle est la probabilit´e d’obtenir trois nombres strictement croissants?
Quelle est la probabilit´e d’obtenir trois nombres croissants?
Exercice 4. Une urne contient a boules blanches et b boules noires. On effectue des tirages avec remises. Lorsqu’on tire une boule noire, on la remplace par une boule blanche.
Quelle est la probabilit´e de tirer n boules noires d’affil´e?
Exercice 5.
Trois urnes, not´ees (Ui)i=1,2,3, contiennent des boules blanches et noires. La premi`ere contient 4 blanches et 1 noire, la deuxi`eme 3 blanches et 2 noires, la troisi`eme 2 blanche et 3 noires.
1. On effectue trois tirages successifs selon le protocole suivant :
• On tire une boule de U1, on note sa couleur et on la place dansU2.
• On tire une boule de U2, on note sa couleur et on a place dansU3.
• On tire une boule de U3.
(a) On noteNil’´ev`enement “la boule tir´ee dans l’urneUiest noire”. Les ´ev`enements N1 et N2 sont-ils ind´ependants?
(b) Quelle est la probabilit´e d’avoir tirer trois boules de la mˆeme couleur?
1
2. On joue au jeu suivant : on choisit une urne et on y tire une boule au hasard.
Certaines urnes sont mieux mises en valeur que d’autres, ainsi la probilit´e de choisir l’urneUi est 6i.
(a) On note Ci l’´ev`enement “choisir l’urne Ui”. Montrer que (Ci)i=1,2,3 forment une famille compl`ete d’´ev`enements.
(b) Sur quelle couleur vaut-il mieux parier?
(c) Quelle est la probabilit´e de choisir une boule blanche qui vient de l’urneU1? (d) On tire un boule, elle est blanche. Quelle est la probabilit´e qu’elle vienne de
U1?
Exercice 6.
On s’int´eresse `a la survie d’une esp`ece pour laquelle un individu peut avoir 3 descen- dants avec probabilit´e 18, un ou deux descendants avec probabilit´e 38, ou aucun descendant.
Une fois qu’un individu a (peut-ˆetre) cr´ee des descendants, il meurt. Tous les individus se reproduisent `a un mˆeme instant, appel´e “g´en´eration”. Les cong´en`erent sont ind´ependants.
A l’instant initial, il y a exactement un individu. Pour n ≥1, on note xn la probabilit´e que l’esp`ece disparaisse `a la n-i`eme g´en´eration.
1. Calculer x1 etx2.
2. En raisonnant selon les effectifs de la deuxi`eme g´en´eration, montrer que xn+1 = 1
8x3n+ 3
8x2n+3
8xn+ 1 8. 3. Etudier la suite xn et donner sa limite. Interpr´eter.
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