ANNÉE UNIVERSITAIRE 2019/2020

ANNÉE UNIVERSITAIRE 2019/2020

MP DS 1Corrigé

Date : 16/03/20 Heure : 13h30 Durée : 1h30 Documents non autorisés

Epreuve de M. Popo

Exercice 1

1. La fonction f est clairement C^∞ sur ]0,+∞[, de plus par un calcul standard de limites :

x→0limf(x) =−∞ et lim

x→+∞f(x) = +∞.

On déduit du théorème des valeurs intermédiaires que f(R^∗+) =]− ∞,+∞[. On calcule la dérivée de f :

f⁰(x) = 1 x + 2

x³,

ce qui permet de voir que ∀x > 0, on a f⁰(x) >0. On déduit du théorème d'inversion que f est une bijection, et que sa fonction réciproquef⁻¹ est C¹ surR.

2. Il sut de calculer les valeurs de f⁻¹ et de sa dérivée en 0. On remarque que f(1) = 0, ce qui montre quef⁻¹(0) = 1. Pour la dérivée, on dispose de la formule

(f⁻¹)⁰(x) = 1 f⁰◦f⁻¹(x). Ainsi, on a

(f⁻¹)⁰(0) = 1 f⁰(1) = 1

3.

Finalement, la tangente à la courbe def⁻¹ en0 est la droite associée à la fonction réelle x7→1 + x

3

Exercice 2

Puisque f(0) = 0 et que f est dérivable, on sait que

x→0lim f(x)

x =f⁰(0).

La limite demandée est donc une forme inderterminée. An de lever l'indetermination, on utilise une formule de Taylor pour f en 0, à l'ordre 2, ce qui est possible carf estC² :

f(x) =

0 xf⁰(0) + x²

2 f⁰⁰(0) +o(x²).

1

Similairement, puisque f⁰ est dérivable en 0, on a f⁰(x) =

0 f⁰(0) +xf⁰⁰(0) +o(x).

Ainsi, pour x6= 0, on a

f⁰(x)− f(x)

x =

0

x

2f⁰⁰(0) +o(x).

On conclut :

x→0lim

f⁰(x)− ^f(x)_x

x = f⁰⁰(0) 2 .

Exercice 3

1. Pour un entier n∈N^∗ xé, on dénit sur ]0,+∞[ la fonction f_n par

fn(t) = sin(_n^t) t³²(1 +t).

Cette fonction est clairement C^∞ sur ]0,+∞[. Nous allons montrer séparément que R1 0 f_n et R+∞

1 f_n sont des intégrales convergentes :

• Entre 0 et 1 : On a f_n(t)≥0, de plus on a l'équivalent suivant au voisinage de 0 : sin(t

n) ∼

t→0

t n, et donc

f_n(t) ∼

t→0

1 nt¹². PuisqueR1

0 t⁻¹²dtconverge, il en est de même deR1

0 f_n(t)dtpar le théorème de comparaison des fonctions positives.

• Entre 1 et +∞ : on a

0≤ |f_n(t)| ≤ 1

t³²(1 +t) ≤ 1 t³². Puisque R+∞

1 t⁻³²dt converge, il en est de même de R+∞

1 f_n(t)dt. En conclusion, on peut déduire que R+∞

0 f_n(t)dt est convergente.

2. On pose

g(x) = x−sinx.

On ag⁰(x) = 1−cosx≥0, doncg est croissante, de plusg(0) = 0. Cela garantit queg(x)≥0 sur[0,+∞[, ce qui est bien l'égalité demandée.

3. Il est clair que pour tout t >0, on a

n→+∞lim f_n(t) = sin(0) t³²(1 +t) = 0,

2

ce qui montre que la suite de fonctions (f_n)n≥0 converge simplement vers la fonction nulle.

On va donc chercher à montrer que limn→∞I_n= 0 en appliquant le théorème de convergence dominée. Pourn ≥1et 0< t≤1, en utilisant la question précédente, on a

0≤f_n(t)≤ 1

nt¹²(1 +t) ≤ 1 t¹², tandis que pour t >1, on a

|fn(t)| ≤ 1 t³². Ainsi, en posant

φ(t) =

(t⁻¹² si 0< t≤1, t⁻³² si t >1, on a bien la domination

∀t >0, |f_n(t)| ≤φ(t).

De plus, la fonction φ est clairement positive, continue et intégrable sur ]0,+∞[. On peut appliquer le théorème de convergence dominée, et passer à la limite sous l'intégrale :

n→+∞lim I_n= 0.

Remarques : On pouvait tenter d'utiliser froidement la question précédente pour toutt >0, mais c'est bien |f_n| qu'il faut majorer, et non f_n. Cette piste aboutissait à condition de justier que l'on a aussi

∀x≥0, |sinx| ≤x.

Cela se faisait simplement : si sinx≥ 0, c'est la question 2 qui le dit, tandis que si sinx≤ 0, alors on a x≥π nécessairement, et donc |sinx| ≤1< π ≤x.

3