b) Cas α < 0. On ´etudie l’influence des termes en M 0 et M 00 sur l’´energie libre.

Statistical Physics 3 6 November 2009 Corrig´e 8

a) Dans le cas o`u α > 0, le fluctuations de M(x) donnent un contribution positive `a l’´energie libre et donc M(x) = M ∀x est la configuration optimale. Si A > 0 le minimum de F est donn´e par M = 0 et nous nous trouvons dans la phase paramagn´etique. Si A < 0, il existe deux minima M = ±

q −A

B . Il s’agit de la phase ferromagn´etique. Comme vu pr´ec´edemment, la transition est du deuxi`eme ordre.

b) Cas α < 0. On ´etudie l’influence des termes en M ⁰ et M ⁰⁰ sur l’´energie libre.

(i) Rappelons que:

δ (x) = ∑

k

e ^ikx and δ _kk

= Z

dxe ^ix(k−k

⁾ D’autre part M(x) est r´eelle, donc M _−k = M _k ^∗ .

On calcule les diff´erents termes:

Z

dxM(x) ² = ∑

k,k

Z

dxe ^ix(k+k

⁾ M _k M _k

= ∑

k

|M _k | ²

Z

dxM(x) ⁴ = ∑

k

,k

,k

,k

Z

dxe ^ix(k

^+k

^+k

^+k

⁾ M _k

M _k

M _k

M _k

= ∑

k

+k

+k

+k

=0

M _k

M _k

M _k

M _k

Z

dx(M(x) ⁰ ) ² = ∑

k

k ² |M _k | ² Z

dx(M(x) ⁰⁰ ) ² = ∑

k

k ⁴ |M _k | ² Ce qui donne pour finir:

F [M] = 1 2 ∑

k

µ

A + α k ² + 1 2 σ k ⁴

¶

|M _k | ² + B

4 ∑

k

+k

+k

+k

=0

M _k

M _k

M _k

M _k

(1)

(ii) Etudions le cas A > 0. Etant donn´e que α < 0, le polynome A _k = A + α k ² + ¹ ₂ σ k ⁴ admet deux minimas en ±k ₀ avec k ₀ =

q −α

σ (pour ˆetre vraiment rigoureux, k ₀ = n ₀ 2 π tel qu’il soit le plus proche possible de

q −α σ ).

Si A k > 0 ∀k, alors la configuration telle que M k = 0 ∀k minimise l’´energie libre. Si par contre il existe des k tels que A _k < 0, certains termes M _k sont favorables pour le premier membre de l’´energie libre.

De fac¸on plus rigoureuse, nous allons ´etudier la stabilit´e de la solution paramagn´etique valide pour α > 0.

La solution paramagn´etique est donn´ee par M _k ^p = 0 ∀k.

1

Soit M = M ^p + δ M. On introduit ce d´eveloppement limit´e dans (1). La transition de phase est donn´ee par l’´etude du signe des termes en ( δ M) ² . On a:

F (M ^p + δ M) − F (M ^p ) = 1 2 ∑

k

A _k (M _k ^p δ M _k ^∗ + M _k ^{p ∗} δ M _k ) + 1 2 ∑

k

A _k | δ M _k | ² + B

4 ∑

k

+k

+k

+k

=0

M _k ^p

1

M _k ^p

2

M _k ^p

3

δ M _k

+ . . . + B

4 ∑

k

+k

+k

+k

=0

M _k ^p

1

M _k ^p

2

δ M _k

δ M _k

+ . . . (2)

o`u (. . .) signifie toutes les permutations non-triviales entre les k i . En remplac¸ant les M _k ^p par leur valeur, nous voyons d’une part que les termes en δ M _k s’annulent car M _k ^p = 0 (ceci

´etait pr´evisible car le cas paramagn´etique correspond `a un extremum de F ).

Pour ce qui est des termes en ( δ M _k ) ² , il ne nous reste que:

F(M ^p + δ M) − F(M ^p ) = 1 2 ∑

k

A _k | δ M _k | ²

La solution paramagn´etique perd donc sa stabilit´e si A _k

< 0, comme nous l’avions d´ej`a imagin´e ci-dessus. Donc:

A + α ⁻ α σ ⁺

1 2 σ α ²

σ ^{2 < 0 ⇔ A <}

1 2

α ² σ

Dans le cas o`u A est l´eg´erement inf´erieur `a ¹ ₂ ^α _σ

, seuls quelques M _k avec |k − k 0 | < ε peuvent contribuer avantageusement au premier membre de F.

Faisons l’approximation de ne prendre en compte que les termes en M _±k

(c’est-`a-dire que l’on se place tout pr`es de la transition).

Dans ce cas ¹ ₂ ∑ _k A _k |M _k | ² = A _k

|M _k

| ² et ∑ _k

_+k

_+k

_+k

₌₀ M _k

M _k

M _k

M _k

= 6|M _k

| ⁴ . On trouve donc pour F :

F = A _k

|M _k

| ² + 6B 4 |M _k

| ⁴ On d´erive par rapport `a |M _k

|:

dF

d|M k

| = 2A _k

|M _k

| + 6B|M _k

| ³ = 0

⇔ |M _k

| = ±

r −A _k

3B = ±

s 1 3B

µ

−A + 1 2

α ² σ

¶

On voit que dans ce cas |M _k

| 6= 0 est un minimum, donc la transition de phase est effec- tivement donn´ee par:

A = 1 2

α ² σ et la magn´etisation vaut:

M(x) = 2|M _k

| cos(k ₀ x + φ ) avec un φ arbitraire.

2

(iii) Etudions le cas o`u A < 0 et α < 0. Il existe toujours de k tels que A <sub>k</sub> < 0. Nous nous attendons donc `a ce qu’il y ait une transition de phase.

La solution ferromagn´etique est donn´ee par M ₀ ^f = q −A

B et M _k ^f = 0 pour k 6= 0.

Soit M = M ^f + δ M. On introduit `a nouveau ce d´eveloppement limit´e dans (1). La transi- tion de phase est donn´ee par l’´etude du signe des termes en ( δ M _k ) ² . On a:

F (M ^f + δ M) − F (M ^f ) = 1 2 ∑

k

A _k (M _k ^f δ M _k ^∗ + M _k ^{f ∗} δ M _k ) + 1 2 ∑

k

A _k | δ M _k | ² + B

4 ∑

k

+k

+k

+k

=0

M _k ^f

1

M _k ^f

2

M _k ^f

3

δ M _k

+ . . . + B

4 ∑

k

+k

+k

+k

=0

M _k ^f

1

M _k ^f

2

δ M _k

δ M _k

+ . . . (3)

o`u (. . .) signifie toutes les permutations non-triviales entre les k i . En remplac¸ant les M _k ^f par leur valeur, nous voyons d’une part que les termes en δ M _k s’annulent car M ₀ ^f =

q −A B

(ceci ´etait pr´evisible car le cas ferromagn´etique correspond `a un extremum de F).

Pour ce qui est des termes en ( δ M _k ) ² , nous avons que:

B

4 ∑

k

+k

+k

+k

=0

M _k ^f

1

M _k ^f

2

δ M _k

δ M _k

+ . . . = C ₂ ⁴ B

4 ∑

k

+k

=0

M ₀ ^f M ₀ ^f δ M _k

δ M _k

= 3B

2 ∑

k

M ₀ ^f M ₀ ^f | δ M _k | ² (4) Il reste donc:

F(M ^f + δ M) − F(M ^f ) = 1 2 ∑

k

(A _k − 3A)| δ M _k | ² (5) La transition de phase est donc caract´eris´ee par le fait que:

A _k

− 3A < 0 ⇔ A < −1 4

α ² σ c) On obtien finalement le diagrame de phase suivant:

phase paramagnetique

phase modulee phase ferromagnetique

point de Lifshitz

A α

α∼−(2σΑ)^0.5 α∼−(−4Ασ)0.5

Figure 1: Diagramme de phase

3