CORRECTION DU CONTROLE COMMUN.
Exercice 1
1. L ensemble de définition de f est [ 6 5].
2. f (3) 1.
3. L im age de 4 par la fonct ion f est 1.
4. 4 n a pas d ant écédent par f.
5. Les antécédents de 2 par f sont 3 et 2.
6. Les solutions de l équation f (x) 4 sont 2 et 1.
7. L ensemble des solutions de l inéquation f (x ) 1 est S ] 4 3[.
8. Les solutions de l équation f (x) g( x) sont 2 et 2.
9. L ensemble des solutions de l inéquation f (x ) g (x) est S [ 2 2].
10. L ensemble des solutions de l inéquation f (x ) g (x ) est S [ 6 2[ ]2 5].
11. Le maximum de f sur [2:5] est 3, pour x 4.
12. Le minimum de f sur [2:5] est 5, pour x 1.
13. 2,13 2,12 donc f ( 2,13) f ( 2,12) car f est décroissante sur [ 6 1].
14. Le tableau de variation de f est :
x 6 1 4 1 f( x) 2 3
5 1
1) Soit f une fonction affine telle que
: :
( 2) (3) 10 ( 5) 15
2 3 5 5
( ) 3 6 10
f est une fonction affine de la forme f x ax b
Calcul de a Calcul de b
f f
a f donc b
Donc f x x b b
− − − −
= = = = − − = − × − + =
− − − −
= − + + =
2) Soit g une fonction définie sur IR
( )
2 2 2( ) 3 ( 5)
g x = − x − x + = x
Donc g est une fonction affine 3) Soit h une fonction définie sur IR par
a) Donner le sens de variation de cette fonction
( ) 2 5 5 2
5 0
h x x x
a Donc h est strictement croissante sur IR
= − + = −
= >
b) Dresser le tableau de signes
2 5 0
5 2
2 5
x x x
− + =
=
=
4) a) Dans le repère ci-dessous, tracer les courbes représen
b) Déterminer graphiquement les expressions des fonctions respectivement les droites (d
1
( ) 3 5
2( ) 3
f x = − + x et f x = x − CORRECTION : Exercice 2
une fonction affine telle que : 2 10 3 5. Déterminer l’expression de ( )
: :
( 2) (3) 10 ( 5) 15
3 ( 2) 10 3 ( 2) 10
2 3 5 5
( ) 3 6 10
: ( ) 3 4
f est une fonction affine de la forme f x ax b
Calcul de a Calcul de b
a f donc b
Donc f x x b b
Conclusion f x x
= +
− − − −
= = = = − − = − × − + =
− − − −
= − + + =
= − +
une fonction définie sur IR par 3 +5). Montrer que g
2 2
( ) 3 ( 5)
g x = − x − x + = x − 6 x + − 9 x
25 6 x 4 Donc g est une fonction affine
− = − +
Soit h une fonction définie sur IR par 2 5 .
de cette fonction. Justifier la réponse.
( ) 2 5 5 2
5 0
h x x x
a Donc h est strictement croissante sur IR
= − + = −
de cette fonction h.
racer les courbes représentatives des fonctions k et l 7 et
Déterminer graphiquement les expressions des fonctions f
1et f
2dont les représentations graphiques sont respectivement les droites (d
1) et (d
2).
1 2
( ) 3 5 ( ) 3 3
f x = − + x et f x = 7 x −
Déterminer l’expression de f en fonction de x.
: :
3 ( 2) 10 3 ( 2) 10
( ) 3 6 10
10 6 4 f est une fonction affine de la forme f x ax b
Calcul de a Calcul de b
a f donc b
Donc f x x b b
b
= +
= = = = − − = − × − + =
= − + + =
= − =
g est une fonction affine.
a Donc h est strictement croissante sur IR
l définies par :
dont les représentations graphiques sont
Corrigé exercice 3
1.
2. Le repère est orthonormé. On a donc :
√( ) ( ) √( ( )) ( ) √ √ √ √( ) ( ) √( ( )) ( ) √( ) ( ) √ √
√( ) ( ) √( ( )) ( √ ) √( ) (√ ) √ √
3. On a : donc les points appartiennent au cercle de centre et de rayon Il s’agit en fait du cercle
4. On sait que et que De plus, on a car √ Il existe un unique point vérifiant ces conditions. C’est l’unique point d’intersection entre et la droite verticale passant par ( ) dont l’ordonnée est positive.
Remarque : Il est nécessaire de dire que pour
justifier que n’est pas le point du cercle d’abscisse
d’ordonnée négative.
5. Soit le milieu de [ ] On a :
( )et
( )Le point a donc les mêmes coordonnées que le point donc Ainsi, est le milieu de [ ]
On en déduit que le segment [ ] est un diamètre du cercle
Remarques : Quelques exemples de raisonnements incorrects trouvés dans les copies.
Raisonnement incorrect 1 : « On a On en déduit alors que est le milieu de [ ] » Ceci est incorrect. Par
exemple, dans la situation
suivante, on a mais n’est pas le milieu de [ ] Il faut en plus que les points
soient alignés.
Raisonnement incorrect 2 : « On a On en déduit alors que est le milieu de [ ] » Une nouvelle fois, c’est incorrect. La situation suivante le prouve. Il faut aussi que le points soient alignés.
Certains ont démontré que sont alignés en montrant que les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires, ce qui est juste. D’autres ont évoqué le cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire : on a donc sont alignés.
6. On a démontré à la question 3 que les points appartiennent au cercle . Le triangle est donc inscrit dans le cercle . De plus, [ ] est un diamètre de Le triangle est donc rectangle en
7. D’après la question 2, on a En particulier, donc est équidistant des points et
On en déduit que appartient à la médiatrice du segment [ ]
Exercice 4
Partie A. Etude du groupe 1.
1) Quantité (microgrammes
par litre) 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210
Effectifs 2 1 4 6 8 7 6 7 4 2 1 1
Effectifs cumulés
croissants 2 3 7 13 21 28 34 41 45 47 48 49
2) L effectif total est 49. x 100 2 110 1 120 4 … 200 1 210 1
49 151
La moyenne de cette série est 151 g par litre de sang.
3) D après le tableau, 28 patients ont 150 g par litre de sang.
L effectif total est 49.
Ainsi, la fréquence des patients ayant 150 g par litre de sang ou moins est 28
49 57,1%
4) L effectif total est 49.
49
2 24,5 donc la médiane est la 25
èmevaleur : M e 150.
5) 49
4 12,25 donc Q
1est la 13
ème valeur : Q
1130.
3 49
4 36,75 donc Q
3est la 37
èmevaleur : Q
3170.
Partie B. Etude du groupe 2.
1) Pierre a raison car la médiane est 173 g par litre de sang.
2) Les deux séries ont la même étendue (230 120 210 100 110).
L écart interquartile de la série 1 est 170 130 40 L écart interquartile de la série 2 est 203 150 53
La série 1 a un écart interquartile plus petit donc elle est plus homogène.
3) Le médicament a pour but de faire baisser le taux de substance dans le sang.
Tous les paramètres (min, Q
1, Me , Q
3et max) sont inférieurs pour le groupe 1. On peut
donc supposer que c est le groupe 1 qui a pris le médicament.
Exercice 5 : Correction (8 points + 1 point bonus)
On a représenté ci-dessous le plan d’une carte au trésor, sur lequel on a placé un repère
(O; ⃗ i ; ⃗ j) orthonormal. Le point C représente le camp des pirates, le point E l’épave du galion, le point P représente le palmier.
1. Donner les coordonnées des points O, C, E et P.
(1 point)
O(0 ; 0) ,C (7 ;4 ), E (5 ; 0) et P(3 ;−1)
2. Déterminer alors les coordonnées des vecteurs ⃗ OC et ⃗ EP . (2 points)
⃗ OC ( x y
CC− − x y
OO) or ( x yCC−x −y
OO) = ( 7−0 4−0 ) = ( 7 4 ) Donc ⃗ OC ( 7 4 )
⃗ EP ( x y
PP−x − y
EE) or ( x yPP− − x y
EE) = ( −1−0 3−5 ) = ( −2 −1 ) Donc ⃗ EP ( −2 −1 )
3. Montrer que ⃗ PC − ⃗ CO+⃗ EO +⃗ CP +⃗ EP=⃗ EC +⃗ EP . (1,5 point)
⃗ PC − ⃗ CO+⃗ EO+⃗ CP +⃗ EP=⃗ PC +⃗ CP− ⃗ CO +⃗ EO +⃗ EP
=⃗ 0+⃗ OC +⃗ EO+⃗ EP
=⃗ EO +⃗ OC +⃗ EP
=⃗ EC +⃗ EP
(Grâce à la relation de Chasles)
4. Placer le point M (la montagne), tel que ⃗ PM =⃗ PC − ⃗ CO+⃗ EO+⃗ CP +⃗ EP . (1 point)
Nous venons de montrer que ⃗ PC − ⃗ CO+⃗ EO +⃗ CP+⃗ EP=⃗ EC +⃗ EP . Ainsi, placer M tel que
⃗ PM =⃗ PC − ⃗ CO+⃗ EO+⃗ CP+⃗ EP revient à placer M tel que ⃗ PM =⃗ EC +⃗ EP . Voir le résultat sur la figure, et les justifications sur la figure ci-dessous.
On part du point point, on se déplace de vecteur ⃗ EP . Puis à partir de cet endroit, on de déplace de vecteur ⃗ EC .
5. Donner graphiquement les coordonnées de ce point M.
(0,5 point)
On peut lire les coordonnées de M : (3 ; 2).
6. Les pirates ont trouvé dans la montagne les coordonnées de la source : S(4; 11) qui ne pouvait pas apparaître sur leur carte. Déterminer par le calcul les coordonnées du point T, le trésor, qui est tel que OCST soit un parallélogramme. Compléter la carte des pirates avec la position du trésor.
(2 points)
On cherche les coordonnées de T tel que OCST soit un parallélogramme. Ainsi, nous voulons que ⃗ OC=⃗ TS .
Or, ⃗ OC ( 7 4 ) , et ⃗ TS ( x y
SS−x − y
TT) avec ( x ySS− − x y
TT) = ( 11− 4− x yTT) .
) .
Nous voulons donc que ( 7 4 ) = ( 11− 4−x y
TT)
C’est-à-dire, d’une part 7= 4−x
Tdonc 7−4=−x
Tdonc 3=−x
Tdonc x
T=−3 . D’autre part 4=11− y
Tdonc 4−11=−y
T, donc −7=− y
T, donc y
T=7
Ainsi, les coordonnées de T tel que OCST soit un parallélogramme sont : (-3 ; 7)
7. [Bonus] Les droites (OC) et (EP) sont-elles parallèles ? (1 point bonus)
Nous savons que ⃗ OC ( 7 4 ) et ⃗ EP ( −2 −1 ) .
Or, d’une part, x y ’=7×(−1)=−7 D’autre part, x ’ y =−2×4 =−8
x y ‘≠ x ’ y , donc les vecteurs ⃗ OC et ⃗ EP ne sont pas colinéaires, ce qui signifie que les
droites (OC) et (EP) ne sont pas parallèles.
Exercice 6
1. A l aide d un arbre : A l aide d un tableau : dé 2
dé 1
1 2 3 4
1 (1 ; 1) A (1 ; 2) A (1 ; 3) A (1 ; 4) ABC 2 (2 ; 1) A (2 ; 2) (2 ; 3) C (2 ; 4) BC 3 (3 ; 1) A (3 ; 2) C (3 ; 3) C (3 ; 4) BC 4 (4 ; 1) ABC (4 ; 2) BC (4 ; 3) C (4 ; 4) BC
L univers est composé de 16 issues équiprobables.
2.
a. Les issues qui réalisent l événement A sont (1 ; 1) ; (1 ; 2) ; (1 ; 3) ; (1 ; 4) ; (2 ; 1) ; (3 ; 1) et (4 ; 1).
A contient 7 issues donc la probabilité de A est 7 16 .
b. De même, B contient 7 issues donc la probabilité de B est 7 16 . c. C contient 10 issues donc la probabilité de C est 10
16 5 8 . 3.
a. A C : "on obtient au moins un 1 et la somme des deux dés est supérieure ou égale à 5".
A C { (1 4) (4 1) }
A C conti ent 2 is sues sont l a probabilit é de A C est 2 16
1 8 .
b. A C : "on obtient au moins un 1 ou la somme des deux dés est supérieure ou égale à 5".
La probabil ité de A C est :
P( A C ) P (A ) P (C ) P (A C) 7 16
10 16
2 16
15 16 .
c. B C : "on obtient au moins un 4 ou la somme des deux dés est supérieure ou égale à 5".
B est contenu dans C donc B C C . Alors la probabilité de B C est 5 8 .
1
1 2 3 4
2
1 2 3 4
3
1 2 3 4
4
1 2 3 4
