Correction du devoir commun n

(1)

Correction du devoir commun n

^o

2 - Sujet 1

Exercice n^o1:

1. (a) On aK_{−8 + (−4)}

2 ;^{10 + 10}

2

. Donc K(−6; 10).

(b) On aL_{−8 + 4}

2 ;^{2 + 2}

2

. Donc K(−2; 2).

2. La droite (M N) a pour équation y= 2x+ 18.

3. On calcule le coefficient directeur : a= ¹⁰⁻²

−8−4 =−²

3. On obtient donc (AC) :y=−²

3x+b.

Comme C ∈(AC), on a : 2 = −²

3 ×4 +b ⇔2 =−⁸

3 + 8

⇔2 + ⁸

3 =b

⇔ ¹⁴

3 =b Donc (AC) :y=−²

3x+ ¹⁴

3

4. On a :2×x_I+ 18 = 2×(−5) + 18 = 8 =y_I. Donc I ∈(M N).

De plus, −²

3 ×xI +¹⁴

3 =−²

3 ×(−5) + ¹⁴

3 = 8 =yI. Donc I ∈(AC).

Ainsi, I(−5; 8) est bien le point d’intersection de (M N) et (AC).

5. Le coefficient directeur de (KL)est : aKL= ²⁻¹⁰

−2 + 6 =−2.

Le coefficient directeur de (KI)est : a_KI = ⁸⁻¹⁰

−5 + 6 =−2.

Les deux droites ont le même coefficient directeur et un point en commun, elles sont donc confondues.

Les points K, I et L sont donc alignés.

Exercice n^o2:

PARTIE A

1. (a) p= ⁶³⁰

2000 = 0,315

La probabilité qu’il pratique les raquettes ou le ski de fond est de 0,315.

(b) p= ^{1000 + 400}

2000 = 0,7

La probabilité qu’il ait au moins 30 ans est de 0,7.

(c) p= ²⁰

2000 = 0,01

La probabilité qu’il ait plus de 50 ans et pratique le snowboard est de 0,01.

2. p= ^{250 + 30}

600 = ⁷

15 '0,47

La probabilité qu’il ne pratique ni les raquettes, ni le ski de fond est d’environ 0,47.

PARTIE B

1.

(2)

R

0,6 H 0,4 H 0,315

S

3 H

4 1 H 0,185 4

A

0,5 H 0,5 H

0,5

2. (a) A∩H : "le vacancier pratique le ski alpin en hors-piste"

(b) p(A∩H) = 0,5×0,3 = 0,15.

3. p(H) = 0,15 + 0,185×0,5 + 0,315× ¹₃ = 0.3475

La probabilité qu’un vacancier pratique le hors piste est de 0,3475.

Exercice n^o3:

PARTIE A

1. x²−4x=x(x−4) 2.

x x x−4 x²−4x

−∞ 0 4 +∞

− 0 + +

− − 0 +

+ 0 − 0 +

PARTIE B

1. x∈[0; 8]

2. A_gris=A_carre+A_triangle

=x×x+⁸^×⁽⁸⁻^x)

2

=x²−4x+ 32

A_totale= 8×8 = 64d’où ¹₂A_totale = 32 A_gris> 1

2A_totale ⇔x²−4x+ 32>32

⇔x²−4x >0

D’après le tableau de signes de la partie A, les solutions de cette équation sont : S =]− ∞; 0[∪]4; +∞[.

Or x∈[0; 8] donc la longueur AM doit être comprise entre 4 et 8 mètres.

PARTIE C

Il a écrit :=A2^2-4*A2+32

(3)

QUESTION BONUS

1. (x−2)²+ 28 =x²−2×x×2 + 2² + 28

=x²−4x+ 4 + 28

=x²−4x+ 32 2. Agris=x²−4x+ 32

=x²−2×x×2 + 2² + 28

Donc A_gris est minimale pourx= 2. En effet, le sommet de la parabole est(2; 28).

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