Fiche PanaMaths (CPGE) La parabole

Fiche PanaMaths (CPGE) La parabole

Ce que vous devez connaître ou savoir-faire pour aborder ce cours

Æ Les généralités sur les coniques ;

Æ Le cours relatif aux courbes paramétrées ;

Æ Quelques notions élémentaires de géométrie plane.

Ce que vous devez retenir

1. Une parabole est une conique dont l’excentricité e est égale à 1.

2. La définition à l’aide du foyer et de la directrice.

La parabole P de foyer F et de directrice D ^{( F ∉} D ) est l’ensemble des points du plan situés à égale distance du point F et de la droite D ^:

( )

{ ^{M / MF d M,} }

= =

P D

F H_M M

P H_P

D

P

3. L’équation dans un repère orthonormal d’origine le foyer et d’axe des abscisses

perpendiculaire à la directrice, l’équation de celle-ci étant de la forme x = − p ( p > 0 ), où p est le paramètre de la parabole (i.e. la distance du foyer à la directrice).

2 2

2 y = px + p

x y

F

4. Dans le repère précédent, l’équation polaire de la parabole est :

1 cos r p

= θ

−

5. L’équation réduite obtenue en considérant un nouveau repère orthonormal déduit du précédent par la translation de vecteur OS JJJG

où S est le sommet de la parabole (de coordonnées ; 0

2

⎛ − p ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ dans le repère précédent. Voir la figure page suivante).

2

2

Y = pX Avec :

2 X x p

Y y

⎧ = +

⎪ ⎨

⎪ = ⎩

D

P

Remarque. On a alors un paramétrage « naturel » de la parabole :

( ) ( )

2

2 X t t

p t

Y t t

⎧ =

⎪ ∈

⎨ ⎪ =

⎩

\

X Y

S F

6. La tangente en un point M de la parabole est la médiatrice du segment [ FH

M

] .

F

M HM

D

P

D

Dans le repère orthonormal de sommet S où la parabole est représentée par son équation réduite Y

²

= 2 pX , une équation de la tangente au point ^M ( ^{α β ;} ) ^{est :}

( )

Y p X

β = + α

Ce que vous devez savoir faire

Il est fondamental de savoir se ramener à l’équation réduite de la parabole et la caractériser (foyer et directrice).

1. Cas où l’équation proposée ne comporte pas de terme croisé.

Supposons, par exemple, que l’on cherche à identifier et caractériser la courbe d’équation 2 t

2

+ + = t 1 y dans un repère orthonormal.

On a :

2 2

2 2

1 1 1 1 1

2 2 2 2

2 4 16 4 8

t + = t ⎛ ⎜ ⎝ t + t ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎝ t + ⎞ ⎟ ⎠ − ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ t + ⎞ ⎟ ⎠ −

D’où :

2 2 2

2

1 1 1 7 1 7

2 1 2 1 2 2

4 8 4 8 4 8

t + + = ⇔ t y ⎛ ⎜ t + ⎞ ⎟ − + = ⇔ y ⎛ ⎜ t + ⎞ ⎟ + = ⇔ y ⎛ ⎜ t + ⎞ ⎟ = − y

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

En posant : 1

T = + t 4 et 7

Y = − y 8 (on effectue donc une translation amenant l’origine du repère au point 1 7

4 8 ;

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ , correspondant au sommet de la parabole), l’équation de la courbe se récrit simplement : Y = 2 T

²

, soit :

²

1

T = 2 Y Il vient alors immédiatement : 1 1 1

2 2 4

p = × = et une équation de la directrice : 1

2 8

Y = − = − p , soit, dans le repère d’origine : 1 7 6 3

8 8 8 4

y = − + = = .

t

-1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y 2

1.8

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 S

F

O y =³₄

La parabole d’équation : 2 t

²

+ + = t 1 y .

2. Cas où l’équation proposée comporte un terme croisé.

Supposons, par exemple, que l’on cherche à identifier et caractériser la courbe d’équation

( ) ( )

2 2

2 3 3 2 3 1 2 3 0

x + xy + y + − x + + y = dans un repère orthonormal.

On effectue classiquement un changement de variable correspondant à une rotation des axes du repère initial de centre l’origine et d’angle θ . L’objectif de cette première étape étant, via un choix judicieux de θ , de débarrasser du terme croisé « xy ».

Matriciellement, ce changement de variable s’écrit :

cos sin cos . sin .

sin cos sin . cos .

x X X Y

y Y X Y

θ θ θ θ

θ θ θ θ

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ + ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Il vient alors :

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ^{( )} ( ) ^{( )}

2 2

2 2

2 3 3 2 3 1 2 3 0

cos . sin . 2 3 cos . sin . sin . cos . 3 sin . cos .

2 3 cos . sin . 1 2 3 sin . cos . 0

x xy y x y

X Y X Y X Y X Y

X Y X Y

θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

+ + + − + + =

⇔ − + − + + +

+ − − + + + =

Le coefficient du terme croisé « XY » s’écrit :

( )

On souhaite que ce coefficient soit nul :

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 sin 2 2 3 cos 2 0 sin 2 3 cos 2 0

tan 2 3 2 ,

3 6 2 ,

k k

k k

θ θ θ θ

θ θ π π

π π

θ

+ = ⇔ + =

⇔ = − ⇔ = − + ∈

⇔ = − + ∈

] ]

On peut choisir :

6

θ = − π , qui donne : 3

cos cos

6 2

θ = ^⎛ ⎜ − π ^⎞ ⎟ =

⎝ ⎠ et 1

sin sin

6 2

θ = ^⎛ ⎜ − π ^⎞ ⎟ = −

⎝ ⎠ .

On a alors :

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ^{( )} ( ) ^{( )}

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2

2 3 3 2 3 1 2 3 0

cos . sin . 2 3 cos . sin . sin . cos . 3 sin . cos . 2 3 cos . sin . 1 2 3 sin . cos . 0

2 3 3 2 3 1 2 3 0

3 1 3 1 1 3

2 3 3

2 2 2 2 2 2

x xy y x y

X Y X Y X Y X Y

X Y X Y

x xy y x y

X Y X Y X Y

θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

+ + + − + + =

⇔ − + − + + +

+ − − + + + =

⇔ + + + − + + =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞

⇔ ⎜ ⎜ ⎝ + ⎟ ⎟ ⎠ + ⎜ ⎜ ⎝ + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎠⎝ − + ⎟ ⎟ ⎠ + −

( ) ( )

2

2

2

1 3

2 2

3 1 1 3

2 3 1 2 3 0

2 2 2 2

4 2 4 0

2 2

X Y

X Y X Y

Y X Y

X Y Y

⎛ ⎞

⎜ + ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ − ⎜ ⎜ ⎝ + ⎟ ⎟ ⎠ + + ⎜ ⎜ ⎝ − + ⎟ ⎟ ⎠ =

⇔ − + =

⇔ = +

On est ainsi ramené à la situation précédente : nous avons affaire à une parabole.

On a alors :

2 2 2

2

1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

X = Y + Y ⇔ X = ⎛ ⎜ ⎝ Y + ⎞ ⎟ ⎠ − ⇔ X + = ⎛ ⎜ ⎝ Y + ⎞ ⎟ ⎠ ⇔ ⎛ ⎜ ⎝ Y + ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ X + ⎞ ⎟ ⎠ Dans le nouveau repère, le sommet de la parabole a pour coordonnées ( ^; ) ^{1 ; 1}

2 2

S S

X Y = − ⎛ ⎜ ⎝ − ⎞ ⎟ ⎠ . Soit, dans le repère initial :

3 1 1 1

3 1 1 3

2 2 2 2

2 2 4

1 3 1 1 3 1 1 3

2 2 2 2 2 2 4

S S

S S

S S

X Y

x y

X Y

⎛ ⎞

⎛ + ⎞ ⎜ × − ⎛ ⎜ ⎞ ⎟ + × − ⎛ ⎜ ⎞ ⎟ ⎟ ⎛ − − ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎟ = ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎝ − + ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ − × − ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ + × − ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠

L’équation

1

2

1 1

2 2 2

Y X

⎛ + ⎞ = ⎛ + ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ nous permet également de calculer le paramètre de la parabole : 1 1 1

2 2 4

p = × = .

On pose alors 1

' 2

X = X + et 1

' 2

Y = + Y (on effectue donc un deuxième changement de variable correspondant en fait à la translation de vecteur OS JJJG

) et dans ce troisième repère, la directrice admet pour équation : 1

' 2 4

X = − = − p .

Comme :

3 1 3 1

2 2 2 2

1 3 1 3

2 2 2 2

X Y x y

x X

y Y

X Y x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ −

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⇔ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ − + ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ + ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, l’équation de la directrice dans le

repère initial s’écrit : 3 1 1 1

2 x − 2 y + = − 2 4 , soit : 3

3 0

x − + = y 2 .

x

-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

y 1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1

-1.2

-1.4

-1.6 S

O

F

La parabole d’équation : ^x

²

^{+ 2 3 xy + 3 y}

²

^{+ −} ( ^{2 3} ) ( ^{x + + 1 2 3} ) ^{y = 0 .}