Les équations de la superconductivité

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Submitted on 1 Jan 1963

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Les équations de la superconductivité

J. Högaasen-Feldman

To cite this version:

J. Högaasen-Feldman. Les équations de la superconductivité. Journal de Physique, 1963, 24 (5),

pp.293-296. �10.1051/jphys:01963002405029300�. �jpa-00205469�

293.

LES ÉQUATIONS ^{DE LA} SUPERCONDUCTIVITÉ

Par Mme J. HÖGAASEN-FELDMAN,

Laboratoire Joliot-Curie de Physique nucléaire, Orsay.

Résumé.

On étudie les équations définissant la transformation de Bogoliubov-Valatin, qui présentent ^une analogie intéressante avec un problème d’électrostatique classique. L’existence et l’unicité des solutions sont assurées dans le cas d’une force d’Appariement séparable. ^{Dans le cas}

des couches complètes, pour ^une constante de couplage inférieure, ^{en valeur} absolue, ^{à une valeur} critique, la solution se confond toutefois avec la solution triviale, ^{et il} n’est pas possible ^{de définir}

un système ^de quasi-particules.

Abstract.

The equations defining ^the Bogoliubov-Valatin transformation are studied. They present ^an interesting analogy ^{with a} problem in classical electrostatics. The existence and uni- queness of solutions are assured for the case of a separable pairing ^{force. In the case of closed} shells, ^{and with a} coupling constant whose absolute value is less than a certain critical value, ^the solution coïncides with the trivial solution, and therefore it is not possible ^{to define a} system ^of quasi-particles.

PHYSIQUE 24, 1963,

Introduction.

La transformation de Bogoliu-

bov-Valatin [1], introduite dans l’étude de la

superconductivité ^{[2], substitue à} l’étude d’un

système ^de particules celui d’un système ^de quasi- particules. ^Une quasi-particule ^{est une} combinaison linéaire d’une particule ^{et d’un trou. Dans le lan-}

gage de la 2e quantification, a tm ^{et aim} désignant respectivement l’opérateur de création et de des- truction d’un fermion dans l’étatljm >, l’opérateur

de création d’une quasi particule ^{s’écrit :}

avec

vi ^{est la} probabilité ^de présence ^d’une particule

dans la couche j, ui ^la probabilité ^{de son absence.}

Les coefficients U; et vi ^ne dépendent que des couches. La transformation (1) ^ne conservant pas le nombre de particules, il s’introduit une condition

supplémentaire concernant la moyenne de l’opé-

rateur nombre de particules ^{N dont on tient} compte

en introduisant ^un potentiel chimique ^{1, et en}

minimisant la valeur moyenne de l’Hamiltonien H - aN. Pour la force d’Appariement, ^l’Hamil-

tonien est :

où _c, est l’énergie ^{de la couche} j.

On note 1 (Do > le vide des quasi-particules, ^et

on pose :

où f2i ^{est la} dégénérescence ^de paires ^{de la couche} j.

En minimisant, ^{comme dans la méthode} d’Hartree-Fock, 1>0 IH - ^ÀNI 1>0 > par rap-

port ^{aux ui et VI, et en} ajoutant la conditions _sup-

plémentaire : 1>0 INI (Do > ⁼ n, si n est le nombre de particules ^du système que l’on veut

décrire, ^{on est} conduit à deux équations ^{en If et} x,

qui ^{sont les} équations ^{de la} superconductivité [3]

(cc gap équations »), que ^{nous nous} proposons d’étu- dier dans cet article :

où

Les termes GV; ^{sont des termes de renormali-}

sation qui ^sont inversement proportionnels ^{à la} dégénérescence totale du système. Nous allons supposer celle-ci grande, ^{et donc} négliger ^{les effets}

de renormalisation, ^{dans une} première approche.

Nous sommes ramenés à l’étude de l’intersection,

dans le plan (X, A) ^{des courbes}

et

1

Les courbes /(X, A) ^et go,, A) constituent deux familles de courbes orthogonales. ^{En effet :}

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01963002405029300

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d’où la relation d’orthogonalité ^{des courbes :}

Il existe en fait ^une analogie classique ^très simple, qui ^fut suggérée ^{par B.} Bayman [4]. ^{Si l’on}

fixe sur l’axe À, ^aux points ^{Ei, des} charges ^élec- triques + Qi, f ^et g représentent respectivement

les équipotentielles ^{et les} lignes ^{de force de ce} système électrostatique ^bien classique [5].

Il sera souvent pratique ^{d’étudier les courbes en}

coordonnées polaires. ^Si l’on pose

ri ⁼ V(À - ^{E,)2 + â2, cos ai = (À}

^Ei)!r"

ri représente la distance du point (À, A) ^{à la} charge placée ^au point Fi ^{et Oi} représente l’angle ^{du vec-}

teur partant ^{de Ei et} aboutissant à (x, A) ^avec

l’axe À. Les équations (4) s’écrivent alors :

Étude des courbes.

f(Ã, A) ⁼ 2 jj Gi.

Lorsque 1 Gi ^{tend vers} l’infini, f(Ã, A) ^{tend vers}

un grand cercle ; lorsque 1 Gi ^est petit, f( Ã, A) ^se décompose ^en plusieurs petits cercles centrés aux

points ^Et. Pour passer de l’une à l’autre forme, lorsque 1 Gr décroit, ^{il se creuse dans les courbes}

des minima, pour des valeurs de X entre les _si,

jusqu’à ^ce que ^ces minima atteignent ^{l’axe x.}

Alors, pour des valeurs bien déterminées de 1 GI,

les courbes se croisent ^« en huit _», sur l’axe x,

puis ^{se divisent} (fig. 1).

FIG. 1.

Pour étudier l’intersection des courbes i ^avec

l’axe X, ^{il faut étudier} l’équation :

obtenue à partir ^de (4a) ^en égalant A à zéro. La courbe f (a, 0) ^{est montrée sur la} figure ^2.

Pour À extérieur aux et, l’équation (7) ^{a tou-} jours ^{une solution. Pour À situé entre e, et} Fi+,, il n’existe de solutions que si [ G[ ^est suffisamment

petit. La valeur limite de [Gj correspond ^{à la}

courbe critique ^{« en} huit o ; ; elle est donnée, ^ainsi

que l’abscisse x du point ^de croisement, par les deux équations :

FIG. 2.

L’équation (8) indique que la courbe f(x, 0) passe par ^un minimum pour la valeur de X correspon- dante.

Pour étudier les angles d’intersections, ^{il suffit}

de se placer ^en coordonnées polaires, ^{en choisis-}

sant pour pôle ^le point d’intersection, ^{et de déve-} lopper l’équation (6a) par rapport ^aux puissances

du rayon ^r qui ^{tend vers 0.}

On a:

d’où on tire la relation approchée :

Pour que ^{r =} 0 soit solution, il faut que la relation :

1 ûil Gi 2 Il Gil

soit satisfaite. Cette relation n’est autre que l’équa-

tion (7).

Les termes du premier ordre donnent cos 0 ⁼ 0 si S 1 e, Q, i ei ¥= ^{0. L’angle} d’intersection est donc

n ^ci

77/2, ^{sauf pour les} points critiques où £ 1 Ei Q, i ei = ^0,

ce qui ^{n’est autre} que l’équation (8). ^{Dans ce cas}

il faut aller jusqu’aux ^{termes du 2e ordre, et on}

trouve cos2 0 ⁼ 1/3, ^ce qui correspond ^{à un} angle

de 54°44’.

295

Étude des courbes

Chaque ^{courbe g a une} asymptote ^{obtenue aisément}

en développant ^{cos Oi en} puissances ^de r, le pôle

étant le pied ^de l’asymptote ^sur l’axe a, ^d’abscisse xo.

On ^a

et, pour ^r grand, l’équation (6b) ^{s’écrit :}

La direction de l’asymptote ^{est donnée} par

cos e = n -

1. Elle décroît de 7C à 0 quand n soi

i

croît de 0 à 2 E £2i, qui ^{est sa} valeur maximum.

i

xo ^{est donnée à l’ordre suivant} par 1 £li ^{e, ===} 0 ;

i

c’est donc le barycentre ^des points ^{si :}

L’étude de l’intersection des courbes _g avec

l’axe À introduit une différence notable entre le

cas des systèmes ^{à couches} remplies ^{et celui des}

autres systèmes, ^{à couches} incomplètes. Dévelop- pant l’équation (6b) pour ^r petit, ^le pôle ^{étant le} point d’intersection étudiée xo, ^{il vient :}

Supposons Ào entre Fi ^et si+,.

Au premier ordre il vient :

...,

Les i premières ^{couches sont donc} remplies.

L’abscisse du point d’intersection s’obtient à l’ordre 2, ^{si sin} 0 e 0, par l’équation

qui ^est l’équation (8), ^et qui définit le point ^{de croi-}

sement des courbes’g critiques. L’angle d’intersec- tion s’obtient à l’ordre 3 ; puisque ^{sin 0 a} été sup-

posé ^non nul, ^{l’on a cos 0 =} 0, ^{soit 0} = Tu/2.

Il reste la solution sin 8 = 0, qui consiste dans le segment (Ei, e.¡+1).

Dans le cas des couches incomplètes,

et les développements précédents ^{sont inexacts}

à ^{doit donc} être confondu ^{avec un’des si.}

On a alors :

et, pour l’angle d’interaction, ^{une valeur cos 01}

définie au Zer ordre par

Il vient :

Lorsque n ^{varie de 2} l’angles ^Oi varie de à 0.

’

En résumé, lorsqu’on augmente ^{le nombre de} particules ^du système ^en le faisant varier de 0 à

1 £2i, ^{l’allure des courbes} g ^se modifie de la façon

i

suivante (fig. 3) : ^{Pour n =} 0, ^{la courbe} g ^est le

FIG. 3.

segment à ⁼ 0, 03BB E1. Quand ⁿ croît de 0 à 2 £11,

la courbe tourne autour du point ^cl, l’angle qu’elle

fait avec l’axe À variant de 7r à 0. Pour n ⁼ 2Qi,

la première ^{couche est} remplie. ^{La courbe} g consiste

en un segment ^{de l’axe x allant de s, à} E2, et d’une courbe touchant à angle droit l’axe X, ^au point ^cri- tique donné par l’équation (8). Lorsqu’on remplit

la deuxième couche, ^{la courbe} tourne autour du

point E2, et ainsi de suite, jusqu’au segment à ⁼ 0,

À > cp ,qui correspond ^au nombre maximum de

particules.

Conclusion.

Il y ^a donc toujours ^{une et une}

peule solution des équations (4). ^{Elle est triviale si}

A ⁼ 0, ^{car alors les} équations (1) ^ne définissent _que des particules ^{ou des trous} [6]. Cette solution ne

s’obtient que dans le ^cas des couches complètes,

pour 1 GI ^{inférieur à une valeur} critique 1 GCI. ^Cette valseur 1 GCI correspond ^au point d’instabilité des solutions de Hartree-Fock classiques [7].

Pour illustrer cette étude nous avons choisi le cas

de deux couches de même dégénérescence (fig. 4).

L’origine ^des énergies ^est prise ^à mi-distance des

296

FIG. 4.

couches. Les courbes f ^et g ^sont alors symétriques

par rapport ^{à l’axe} A, ^le pied ^des asymptotes ^{est à} l’origine ^des axes, qui ^{est le seul} point critique ^et correspond ^{à la valeur G = -} 0,5. ^La première

couche remplie correspond ^{à la courbe} g(À, A) ^{= 0.}

Celle-ci se ec mpose du segment ^{de l’axe} À, - + 2 ^{et de l’axe 0. La} valeur de la distance

2 2

entre les couches et celle de la dégénérescence ^com-

mune de ces couches ne jouent ^{en fait aucun rôle}

dans ce problème. ^Seuls interviennent les para-

mères G) QI e et n /20..

Les termes de renormalisation n’introduisent _pas de différences fondamentales, ^{rendant seulement} plus malaisée la résolution des équations (7) ^et (8) qui définissent les valeurs critiques ^{de À et G.}

Ces équations s’écrivent dans ^{ce cas :}

On peut voir que l’effet de renormalisation se

traduit _par une augmentation ^{de la valeur cri-} tique 1 Gct, ^autrement dit, pour les couches ^com-

plètes, la renormalisation retarde le début de la solution non triviale des équations ^{de la} super- conductivité. En effet, ^{G étant} négatif, ^la première

sommation dans (9) ^{donne un résultat} global ^infé-

rieur donc une valeur pour Gc plus grande.

L’étude précédente ^{nous a} permis ^{de conclure à}

l’existence et l’unicité des solutions superconduc-

tives. Ce n’est toutefois que dans le cas simple, ^{où la}

force choisie est séparable que nous avons pu arri-

ver à ces conclusions. Si la constante de couplage

est de la forme G(i, j), dépendant ^{de 2} couches, l’équation (3) ^{introduit un} paramètre ^Ai par couche.

On ne peut ^alors çtre ^{sûr ni de} l’existence, ^{ni sur-}

tout de l’unicité des solutions, ^des contre-exemples pouvant ^{être obtenus} [8].

Manuscrit reçu le 5 décembre 1962.

BIBLIOGRAPHIE [1] BOGOLIUBOV (N. N.), ^Nuovo Cimento, 1958, 7, ^794.

VALATIN (J. V.), ^Nuovo Cimento, 1958, 7, ^843.

[2] ^BARDEEN (J.), ^COOPER (L. N.), ^SCHIEFFER (J. R.), Phys. Rev., 1957, ^1175.

[3] ^BELYAEV (S. T.), ^Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk., 1959, 31, ^{n° 11.}

[4] Communication privée.

[5] ^DURAND (E.), Électrostatique ^et Magnétostatique,

Masson et Cie, 1953, ^31.

[6] HÖGAASEN-FELDMAN (J.), ^Nuclear Physics, 1961, 28,

258.

[7] ^THOULESS (D. J.), ^Nuclear Physics, 1960, 21, ^225.

[8] ^ARVIEU (R.), Communication privée.