Un probl` eme qui ne trouvait pas d’explication dans le cadre de la physique classique (m´ ecanique newtonienne ou einsteinienne et ´ electromagn´ etisme) est l’origine de la stabilit´ e des atomes.

L3 - Physique-Chimie 15 octobre 2015 M´ ecanique quantique

TD n ^o 3 :

1 In´ egalit´ e de Heisenberg et stabilit´ e des atomes

Un probl` eme qui ne trouvait pas d’explication dans le cadre de la physique classique (m´ ecanique newtonienne ou einsteinienne et ´ electromagn´ etisme) est l’origine de la stabilit´ e des atomes.

Prenons le cas de l’atome d’hydrog` ene (´ etat li´ e ´ electron-proton) : tournant autour du pro- ton, l’´ electron acc´ el´ er´ e devrait ´ emettre du rayonnement ´ electromagn´ etique et l’atome perdre de l’´ energie. Une estimation du temps de vie classique de l’atome est τ class ∼ 10 ⁻¹¹ s, ce qui est (heureusement) d´ ementi par l’exp´ erience. Nous allons voir que la description ondulatoire schr¨ odingerienne rend compte de la stabilit´ e des atomes.

Pour simplifier nous nous pla¸ cons en une dimension.

1/ On consid` ere un ´ etat quantique d´ ecrit par la fonction d’onde ψ(x). Justifier que l’´ energie cin´ etique moyenne est donn´ ee par

hE _c i _ψ = Z

dx ~ ² 2m

dψ(x) dx

2

. (1)

Comment minimiser l’´ energie cin´ etique ? Que vaut-elle si la particule est confin´ ee dans une boˆıte de taille a ?

2/ Consid´ erons un potentiel E p (x) avec un minimum en x 0 . Donner l’expression de hE _p i _ψ . Quel type de fonction d’onde permet de minimiser l’´ energie potentielle ? Comparer avec la condition pr´ ec´ edente.

3/ Oscillateur harmonique – Existence d’une ´ energie minimale E 0 > 0.– On consid` ere le cas d’un potentiel quadratique E p (x) = (1/2)κ x ² . La particule a une ´ energie E. Quel est le domaine [−x _E , +x _E ] accessible classiquement ? Que peut-on alors dire sur les fluctuations de l’impulsion ∆p ? D´ eduire une estimation de E c en fonction de x E . Quelle est la valeur optimale de x E qui permet de minimiser E c + E p ? Pr´ eciser la valeur de l’´ energie minimale E 0 associ´ ee (en fonction de la pulsation propre de l’oscillateur ω = p

κ/m).

4/ Comment la stabilit´ e de l’atome est-elle justifi´ ee dans le cadre du formalisme quantique ?

, Pour en savoir plus :

C. Texier,

M´ ecanique quantique

, Dunod, 2nde ´ edition, 2015. (chapitres 1 et 15).

1

2 Spectre discret versus continuum

A. ´ Equation de Schr¨ odinger stationnaire – Conditions de raccordement

La dynamique quantique d’une particule d’´ energie E soumise ` a un potentiel V (x) est d´ ecrite par l’´ equation de Schr¨ odinger stationnaire

E ϕ(x) = − ~ ² 2m

d ² ϕ(x)

dx ² + V (x) ϕ(x) (2)

Nous discutons les propri´ et´ es de continuit´ e de la solution ϕ(x) de cette ´ equation diff´ erentielle dans trois situations que nous rencontrerons.

1/ V (x) born´ e.– Si V (x) est born´ e (mais pas forc´ ement continu), justifier que ϕ(x) et ϕ ⁰ (x) sont continues en tout point.

2/ V (x) infini dans un domaine.– Quelle est la condition de raccordement au bord d’un domaine o` u V (x) est infini ? On pourra s’appuyer sur l’exemple V (x) = V ₀ θ _H (x) et faire V ₀ →

∞.

3/ V (x) infini en un point.– On discute le raccordement autour d’un point o` u V (x) est infini, i.e. V (x) = ^~ _2m

^λ δ(x). Justifier que ϕ(x) est continue en x = 0. En int´ egrant l’´ equation de Schr¨ odinger autour de x = 0, R +

− dx · · · puis en faisant → 0 ⁺ , d´ eduire la condition de raccordement.

Nous ´ etudions la dynamique d’une particule soumise ` a un potentiel avec une partie attractive sur [0, a] et r´ epulsive ` a l’origine :

V (x) =



 

 

+∞ pour x < 0

−V ₀ pour 0 < x < a 0 pour x > a

o` u V ₀ > 0 . (3)

0000 0000 0000 0000 0000

1111 1111 1111 1111 1111

x V(x)

a

−V 0

Figure 1 – Puits de potentiel.

B. Dynamique classique

D´ ecrire la dynamique classique d’une particule soumise ` a ce potentiel en fonction de son

´

energie E.

C. ´ Etat(s) li´ e(s)

Nous d´ ecrivons la dynamique quantique lorsque l’´ energie est E < 0.

1/ Ecrire l’´ ´ equation de Schr¨ odinger stationnaire dans les diff´ erentes r´ egions de l’espace et la

2

r´ esoudre. On introduira les notations E = − ~ ² q ²

2m = ~ ²

2m −k ₀ ² + K ²

avec V 0 = ~ ² k ² ₀

2m (4)

2/ ´ Equation de quantification.– Imposer les conditions de raccordement en x = 0 et x = a.

D´ eduire l’´ equation de quantification.

Indication : Remarquons que si ϕ et ϕ ⁰ sont continues, il est toujours plus efficace d’imposer la continuit´ e de ln |ϕ(x)| 0

(pourquoi ?).

3/ Analyser graphiquement la r´ esolution de l’´ equation de quantification (en prenant K comme inconnue). En particulier on discutera le nombre d’´ etats li´ es en fonction de k 0 et a. Discuter

´

egalement la limite k 0 → ∞.

D. ´ Etats de diffusion

Nous nous int´ eressons maintenant ` a la situation physique o` u la particule a une ´ energie E > 0.

1/ Dans la r´ egion x > a, on ´ ecrira la fonction d’onde sous la forme ϕ(x) = A

e ^−ik(x−a) + r e ^+ik(x−a)

(5) Relier k et E. Interpr´ eter les diff´ erents termes. Calculer le courant de probabilit´ e

J _ϕ = ~ m Im

ϕ ^∗ (x) dϕ(x) dx

(6) Quel est le sens physique du coefficient r ?

2/ R´ esoudre l’´ equation de Schr¨ odinger dans l’intervalle [0, a]. On ´ ecrira ϕ(x) de fa¸ con ` a respecter la condition de bord en x = 0.

3/ Raccorder les deux expressions de la fonction d’onde en x = a. Comparer les situations ` a E < 0 (partie C.) et E > 0 (pourquoi l’´ energie n’est pas quantifi´ ee dans ce dernier cas ?).

D´ eduire l’expression du coefficient r.

, Pour en savoir plus :

C. Texier,

M´ ecanique quantique

, Dunod, 2nde ´ edition, 2015. (chapitre 2 ; pour des d´ etails sur les ´ etats de diffusion, cf. chapitre 10, qui est plus difficile).

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