MPSIA 2012/2013 Programme de colles de math´ematiques, semaine 18 (du lundi 25 f´evrier au vendredi 1 mars) lyc´ee Chaptal
Espaces vectoriels de dimension finie
I. Rappels
Revoir le cours sur les espaces vectoriels quelconque.
II. Bases
Rappels sur les familles libres, li´ees, g´en´eratrices. Exemples dans Rn et dans les polynˆomes. D´efinition d’une base ; d´ecomposition d’un vecteur dans une base. Une application lin´eaire est enti`erement d´efinie par son action sur une base de E; construction d’applications lin´eaires `a partir d’une base de E. Application : pro- pri´et´es de f en fonction de celles de l’image d’une base deE.
III. Dimension d’un espace vectoriel
D´efinition d’un e.v. de dimension finie ; existence de bases ; th´eor`eme de la base incompl`ete. Lien cardinal d’une famille de vecteurs / famille libre, li´ee, g´en´eratrice.
Dimension d’un K-e.v. de dimension finie. C.N.S pour qu’une famille libre (resp.
g´en´eratrice) soit une base. Deux e.v. surKde dimension finie sont isomorphes si et seulement si ils sont de mˆeme dimension. Dimension d’un espace produit.
Exemples : suites lin´eaires r´ecurrentes d’ordre 2, ´equations diff´erentielles lin´eaires (`a revoir), ´etude locale d’une courbe : notion de point de rebroussement .
IV. Sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel de dimen- sion finie
Dimension d’un sous-espace, droites, hyperplans. Tout s.e.v. admet un suppl´e- mentaire. Dimension d’une somme directe. Formule dimK(U +V) = dimK(U) + dimK(V)−dimK(U∩V). Caract´erisation du suppl´ementaire par les dimensions.
Rang d’une famille finie de vecteurs.
V. Applications lin´ eaires sur une espace vectoriel de dimen- sion finie
Rang d’une application lin´eaire ; Formule du rang. Exemples d’utilisation. Ap- plication au cas d’un endomorphisme : ´equivalence injection/surjection/bijection.
Invariance du rang par composition par un isomorphisme, `a droite ou `a gauche.
Ensemble d’applications lin´eaires : dimension de L(E, F). ´Equations lin´eaires.
Formes lin´eaires, ´equation du noyau, formes lin´eaires de mˆeme noyau.
Questions de cours
Par d´efaut,E et F sont des K-e.v. de dimension finienet p,B= (−→x1, . . . ,−x→n) une base de E etf ∈ L(E, F).
Q1. Montrer que f est une surjection de E sur F si et seulement si (f(−→x1), . . . , f(−x→n)) engendreF.
Q2. Montrer que f est une injection de E dans F si et seulement si (f(−→x1), . . . , f(−x→n)) est libre.
Q3. [facultative] D´emontrer l’existence de bases dans un espace vectoriel de dimension finie.
Q4. [facultative] D´emontrer que si dimK(E) = n, toute famille de cardinal
> nest li´ee.
Q5. D´emontrer queE etF sont isomorphes si et seulement sin=p.
Q6. D´eterminer la dimension deE×F.
Q7. Donner le sch´ema de la d´emonstration donnant l’ensemble des suites r´eelles ou complexes satisfaisant `a une ´equation lin´eaireaun+2+bun+1+cun= 0.
Q8. D´eterminer l’ensembles des suites (un)n∈
N complexes d’abord, puis r´eelles telles que∀n∈N,un+2+un+1+un = 0.
Q9. D´eterminer les suites (un)n∈Ntelles que∀n∈N,un+2−un+1+ (i+ 1)un = 0 et u0= 0, u1= 1.
Q10. D´eterminer, siU et V sont deux sous-espaces vectoriels de E, la dimension deU+V.
Q11. D´emontrer que sia0, ..., an sont n+ 1 scalaires deux `a deux distincts, pour tout (b0, ..., bn)∈Kn+1, il existe un unique polynˆomeP de degr´e inf´erieur ou
´
egal `antel pour touti,P(ai) =bi.
Q12. D´emontrer que tout polynˆomeP tel que deg(P)6npeut s’´ecrireP(X) = Q(X+ 1)−Q(X), avec deg(Q)6n+ 1.
Q13. D´eterminer la dimension deL(E, F).
A venir : matrices.`
