Correction de la série

www.etude-generale.com 2 BAC PC–SM Matière : Mathématiques

Professeur : Yahya MATIOUI

Correction de la série

Exercice 1 Soit f la fonction numérique dé…nie sur ] 1;0] par: f(x) = x²+ 2

2x²+ 1 1. .

La fonction f est dérivable sur ] 1;0] car c’est la restriction d’une fonction ra- tionnelle.

Soit x2] 1;0]:

f⁰(x) = 2x(2x²+ 1) 4x(x²+ 2) (2x²+ 1)²

= 4x³+ 2x 4x³ 8x (2x²+ 1)²

= 6x

(2x²+ 1)²

comme (2x² + 1)² 0 pour tout x2] 1;0], donc le signe de f⁰(x) est celui de 6x: Donc

(8x2] 1;0]); f⁰(x) 0

Puisque f⁰ ne s’annule qu’en un nombre …ni de points alors la fonction f est strictement croissante sur] 1;0]:

La fonction f est continue sur ] 1;0].

Ceci signi…e que f admet une une fonction réciproque f ¹ dé…nie de J vers ] 1;0]

tel que :

J =f(] 1;0]) = lim

x ! 1f(x); f(0) = 1 2;2 2. Le tableau de variations def ¹:

La fonction f ¹ est strictement croissante sur ¹₂;2 :

3. Soit y2 ¹2;2 . Résolvons l’équation f(x) = y dans ] 1;0]: Soit x2] 1;0]:

f(x) = y () x²+ 2 2x²+ 1 =y () x²+ 2 =y 2x²+ 1 () x²(1 2y) = y 2 () x² = y 2

1 2y , 1 2y6= 0 () jxj=

r y 2 1 2y () x=

r y 2 1 2y () x=

r 2 y 2y 1 Comme : q

2 y

2y 1 2] 1;0]: Alors 8x2 1

2;2 ; f ¹(x) =

r 2 x 2x 1 Exercice 2 On considère la fonction numérique dé…nie par:

f(x) =p

x+ 1 p

x 1

1. L’ensemble de dé…nition de la fonction f:

D_f = fx2R= x+ 1 0 et x 1 0g

= fx2R= x 1 et x 1g

= fx2R= x 1g

= [1;+1[ 2. Calculons lim

x !+1f(x) :

x lim!+1f(x) = lim

x !+1

px+ 1 p

x 1

= lim

x !+1

p 2

x+ 1 +p

x 1

= 0 3. La continuité de la fonction f sur [1;+1[:

On pose : u:x7 !p

x+ 1 et v :x7 !p x 1:

w : x 7 ! x + 1 est une fonction polynôme dérivable sur R et surtout sur [1;+1[; et pour tout x2[1;+1[ : w(x) 0: Alors la fonction u =p

w est continue sur [1;+1[:

h : x 7 ! x 1 est une fonction polynôme dérivable sur R et surtout sur [1;+1[; et pour tout x 2 [1;+1[ : h(x) 0: Alors la fonction v =p

h est continue sur [1;+1[:

La fonction f est continue sur [1;+1[ comme la di¤érence de deux fonctions continues sur [1;+1[:

La fonctionf est dérivable sur ]1;+1[comme la di¤érence de deux fonctions dériv- ables sur ]1;+1[: x7 !p

x+ 1 et x7 !p

x 1 : Soit x2]1;+1[:

f⁰(x) = 1 2p

x+ 1

1 2p

x 1

=

px 1 p x+ 1 2p

x² 1

= 2

2p

x² 1 p

x 1 +p x+ 1

= 1

px² 1 p

x 1 +p

x+ 1 <0

Ceci signi…e que la fonctionf est strictement décroissante sur [1;+1[: Donc f admet une une fonction réciproque f ¹ dé…nie deJ vers [1;+1[ tel que :

J =f([1;+1[) = lim

x !+1f(x); f(1) =i 0;p

2i : 4. Soit y2 0;p

2 . Résolvons l’équation f(x) = y dans [1;+1[: Soit x2[1;+1[:

f(x) = y () p

x+ 1 p

x 1 =y () p

x+ 1 =y+p

x 1

() x+ 1 =y²+ 2yp

x 1 +x 1 () 2 y² = 2yp

x 1

() 2 y^{2 2}= 4y²(x 1) () 2 y^{2 2}= 4y²x 4y² () 4y²x= 2 y^{2 2}+ 4y² () x= (2 y²)²+ 4y²

4y² ; ( y6= 0): Comme : (^{2 y2})^2+4y2

4y² 2[1;+1[: Alors 8x2i

0;p 2i

; f ¹(x) = (2 x²)²+ 4x² 4x²

Exercice 3 On considère la fonction numérique dé…nie par: f(x) = x

px+ 2 1. Montrons que f est continue sur ] 2;+1[:

On pose : u:x7 !x et v :x7 !p x+ 2:

u est une fonction polynôme continue sur R et surtout sur ] 2;+1[:

w:x7 !x+ 2 est une fonction polynôme continue sur R et surtout sur ] 2;+1[ et ne s’annule pas sur ] 2;+1[, et pour tout x2] 2;+1[ :w(x) 0. Donc la fonctionv =p

w est continue sur ] 2;+1[:

Donc la fonction f est continue sur ] 2;+1[ comme le quotient de deux fonctions continues sur ] 2;+1[:

2. La fonctionf est dérivable sur] 2;+1[comme le quotient de deux fonction dérivables sur ] 2;+1[:

Soit x2 ] 2;+1[:

f⁰(x) =

px+ 2 x ₂p¹ x+2

x+ 2

= 2 (x+ 2) x 2 (x+ 2)p

x+ 2

= x+ 4

2 (x+ 2)p x+ 2 Donc

(8x2] 2;+1[); f⁰(x) = x+ 4 2 (x+ 2)p

x+ 2 3. Montrons que f est une bijection de] 2;+1[ sur un intervalle J:

La fonction f est continue sur ] 2;+1[: On a

(8x2] 2;+1[); f⁰(x) = x+ 4 2 (x+ 2)p

x+ 2 Comme 2 (x+ 2)p

x+ 2 0 pour tout x 2 ] 2;+1[; le signe de f⁰(x) sur ] 2;+1[ est celui de x+ 4:

Donc

(8x2] 2;+1[); f⁰(x) 0 Donc la fonctionf est strictement croissante sur ] 2;+1[:

La fonction f réalise une bijection de ] 2;+1[ sur un intervalle J; tel que J =f(] 2;+1[) = lim

x ! 2⁺f(x); lim

x !+1f(x) =R:

Exercice 4 1. f est dérivable sur [1;+1[ comme la somme de deux fonction dériv- ables sur [1;+1[: x7 !x et x7 ! ¹_x :

Soit x2[1;+1[:

f⁰(x) = 1 1 x²

= x² 1 x² Le signe de f⁰(x) sur [1;+1[ est celui de x² 1:

Donc

(8x2[1;+1[); f⁰(x) 0

Puisque f⁰ ne s’annule qu’en un nombre …ni de points alors la fonction f est strictement croissante sur[1;+1[:

La fonction f est continue sur [1;+1[:

Ceci signi…e que f admet une une fonction réciproque f ¹ dé…nie de J vers [1;+1[ tel que :

J =f([1;+1[) = f(1); lim

x !+1f(x) = [2;+1[: 2. Soit y2[2;+1[. Résolvons l’équation f(x) =y dans [1;+1[:

Soit x2[1;+1[:

f(x) = y () x+ 1 x =y () x²+ 1

x =y () x²+ 1 =yx () x² yx+ 1 = 0 et

=y² 4 0

L’équation admet deux solutions réelles distinctes ou confondues.

x₁ = y+p y² 4

2 et x₂ = y p

y² 4 2

On a exactement deux solutions cherchons celle qui est supérieure à 1:

x₁ 1 On a

() y+p y² 4

2 1

() p

y² 4 2 y ( )

comme 2 y 0; alors ceci signi…e que l’inégalité ( ) est vraie. Donc y+p

y² 4

2 2[1;+1[: x₂ 1

On a

() y p y² 4

2 1

() y p

y² 4 2 () p

y² 4 2 y () p

y² 4 y 2 () y² 4 y² 4y+ 4

() 8 + 4y 0

() y 2 Si y= 2; alors ^y

py² 4

2 = 1 et ^y+

py² 4

2 = 1:

Si y <2, alors ceci signi…e que : ^y

py² 4

2 2= [1;+1[: Donc

(8x2[2;+1[); f ¹(x) = x+p x² 4 2

FIN

Pr : Yahya MATIOUI

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