Correction des exercices de la deuxième série 1. Soit f(x)7x12
a) croissante car coef. de direction positif b) (0,-12) (12/7,0)
c) g(x)=-7x+12
2. A partir du graphique de f(x) = x³,
f1(x) = (x + 0,5)³ -1 : translaté de 0,5 vers la gauche //ment à OX et de 1 vers le bas //ment à OY ;
concavité vers le bas sur ];0,5[ et vers le haut sur ]0,5;[ PI (-0,5 ;-1) f2(x) = -2x³ : redresser vers OY puis prendre le symétrique par rapport à OX concavité vers le haut sur ];0[ et vers le bas sur ]0;[ PI (0,0) 3. f1(x) = -3x7 + 5x3 : fct impaire car f(-x) = - f(x) sym par rapport à (0,0)
f2(x) = (cos x)³ : fct paire car cos (-x) = cos x par les angles opposés ; fct sym. Par rapport à OY
4. d1 y = 0 : c’est l’axe OX ; d2 x = 6 : parallèle à OY 5. Soit la parabole P y = 2x² - x - 3
a) axe de symétrie
4
1
x , sommet )
8 , 25 4 (1
, concavité vers le haut (), croissance sur [
4 ]1
b)
1
3
² 2
x y
x x
y 0=2x² - 2 0=2(x² - 1) x = 1 ou x = -1 pts d’intersection : (1,-2) et (-1,0)
c) 6. Résoudre:
3 5
² 2
) 3 2
² 2 ( 3 2 1
3 3
3 2
x x
x x x
x x
x
C.E.
2
; 1
3
x
x
) 3 )(
1 2 (
9 6
² 6 2 1
3 3
3 2
x x
x x x x x
x
0 3 2
²
0 ) 9 6
² 6 ( ) 3 )(
3 ( ) 1 2 )(
3 2 (
x x
x x x
x x
x
2 4 2
x x = -3 (à rejeter vu C.E.) x = 1 S={1}
) 0 1
² 20
³(
) 12 3
² )(
1
(
x x x
x x x
-1/5 0 ¼ 1
1-x + + + + + + + 0 -
x²-3x+12 + + + + + + + + +
x³ - - - 0 + + + + +
20x²-x-1 + 0 - - - 0 + + +
---
- / + / - / + 0 -
[ , 1 [ 4[ ,1 0 ] 5[ , 1
]
S
7. cos 250° = - cos 70° , sin 300° = - sin 60° = 2
3, tg 5/9 = - tg 4/9 , sin 11/6 = - sin /6 = - 1/2
8. f(x) x12 (x1)2
on translate de 1 vers la droite //ment à OX ; on fait « partir » le graphique vers la gauche ; on fait une symétrie par rapport à OX ; on translate de 2 vers le bas //ment à OY
I = ],2] 9. racines de
7 2 6
) 5 (
; 2 ) ( 2 ;
) 1
( 2 4 3
1
x
x x f x x x f
x x
f
f1 (x) : x = -1 ; f2(x) : x = 0 ; f3(x) :
29 12
0 12 29
42 0 12 6 35
7 0 2 6
5
x x
x x x x
10.Soit l’équation ax² + bx + c = 0
a) Pour quels signes de a et c , l’équation admet-elle toujours au moins une solution ?
lorsque a et c sont de signes opposés car alors delta sera toujours positif
b) Quelle est la seule condition pour avoir deux solutions de signes opposés ? le produit des racines doit être négatif d’où 0
a
c d’où a et c de signes opposés 11.Si on augmente la dimension d’un côté d’un carré de 2 cm et l’autre de 3 cm, on
obtiendra un rectangle d’aire 56 cm². Quel est le côté du carré ? soit x : le côté du carré (x >0)
(x + 2) (x + 3) = 56 x² + 5x – 50 = 0
2 5 15 5
x (-10 est à rejeter)
12.Soient A(-6,2) B(9,-2) C(-8,-7) d1 y = 2x - 5 d2 y - 1 = 3 ( x + 5)
a) 5
2 15
4
y x
AB l
b) l’angle d’inclinaison de d2 est -15°
c) le coef dir.de d1 = 2 d’où coef.dir d’une perpendiculaire à d1 = -1/2 d’où )
1 , 2 ( ) 2 / 1 , 1
( ou
v
d) si les points A,B,C étaient alignés, les vecteurs ABet AC seraient multiples
e) la médiane du triangle ABC issue du sommet B est la droite BM avec M : milieu de [AC]
2 ) , 5 7 ( 2 )
) 7 ( ,2 2
) 8 (
(6 M
32 73 32 ) 1
9 32(
2 1
y x ou y x
BM
f) la hauteur issue du sommet C est la droite perpendiculaire à AB et passant par C )
8 (
7
y a x h
aAB = -4/15 d’où ah = 15/4 4 21
15
y x h
g) le point d'intersection des droites d1 et d2 (D) :
16 3
5 2
x y
x
y d’où 0 = -x-21 D (-21,-47)
13.Donner les conditions d'existence et le domaine de
f x x
x
f x x
x
1
2
2 3
3
16 9
( )
( ) ²
²
où
x d E x C
f 0 '
3 : 2 . .
1:
après un tableau de signes, on obtient D = ]-,0]U]3,+ [ f2 : C.E. : 16x² - 9 0 d’où D =
4 ,3 4 / 3
14.Donner les conditions d'existence et le domaine où
d x
x E C
f1: . .: ²4 50 ' après un tableau de signes, on obtient D = ]-,-5[U]1,+ [
7 4 2 '
0 7
0 4
0 2 : . .
1:
x x x où d x x x E C
f après « la ligne », on obtient D = [2,4[U]4,7[
où x d
E x C
f 0 '
9
² 8 : 1 . .
1:
après un tableau de signes, on obtient D = [1/8,+∞[
15.f(x) = √(3 - x) décroissante à concavité vers le bas f(x)= √(x - 3) croissante à concavité vers le bas f(x) = - √(x - 3) décroissante à concavité vers le haut
