Fonction exponentielle cours pdf

2éme Bac PC-SVT www.etude-generale.com www.etude-generale.com

Matière : Mathématiques Professeur : Yahya MATIOUI

Fonction exponentielle

1 Dé…nition et résultats

Dé…nition 1 La fonction réciproque de la fonction ln s’appelle la fonction exponentielle est notée exp; et

exp R ! ]0;+1[ x 7 ! expx avec exp(0) = 1:

Notation nouvelle :

expx= exp(x 1) = (exp(1))^x =e^x: On note pour tout x réel, on a expx=e^x

Résultats

La fonction exponentielle est dé…nie sur l’ensemble R:

La fonction exponentielle est continue et dérivable sur R;et on a : (e^x)⁰ = e^x:

La fonction exponentielle est strictement croissante sur R: (8x2R); e^x 0

2 Propriétés

Propriété 2 Pour tous les nombres réels x et y, et l’entier naturel n; on a: 1. e⁰ = 1 et e¹ w2;718

2. e^x+y =e^x e^y 3. e^{x y} = ^e_e^xy

4. e ^x = _e¹x

5. (e^x)ⁿ=e^nx 6. e^x 6= 0

Remarque 3 (Lien avec le logarithme népérien) 1. 8x2R; ln(e^x) =x:

2. 8x2]0;+1[; e^lnx =x:

Propriété 4 1. (8x2R)(8a 2]0;+1[); e^x =a () x= lna 2. 8x; y 2R; e^x =e^y () x=y

3. 8x; y 2R; e^x e^y () x y

Exemple 5 Résoudre dans l’ensembleR l’équation(E) : e^2x2+3 =e^7x: e^2x2+3 =e^7x () 2x²+ 3 = 7x () 2x² 7x+ 3 = 0 Calculons le discriminant de l’équation du second degré.

= 49 24 = 25 0 x1 = b+p

2a = 7 + 5

4 = 3 et x2 = b p

2a = 7 5

4 = 1 2 donc

S = 1 2;3

Résoudre dans l’ensemble R l’inéquation (I) : e^3x e^x+6: e^3x e^x+6 () 3x x+ 6 () x 3 donc

S = ] 1;3[

3 Limites de références

Propriété 6 Soit n2N: 1. lim_{x !+1}e^x = +1:

2. lim_{x !+1}^e_x^x = +1 et lim_{x !+1x}^exn = +1: 3. lim_{x ! 1}e^x = 0:

4. lim_{x ! 1}xe^x= 0 et lim_{x ! 1}xⁿe^x= 0:

5. lim_{x !0} ^ex_x¹ = 1:

Exemple 7 Calculer les limites suivantes :

x lim!+1(x+e ^3x) ; lim

x ! 1e^{1 1x} et lim

x !+1

e^x+x e^x x² Calculons la limite : lim_{x !+1}(x+e ^3x):

x lim!+1(x+e ^3x) = +1+ 0 = +1 Car : lim

x !+1e ^3x = 0 Calculons la limite : lim_{x ! 1}e^{1 x1}:

xlim! 1e^{1 1x} = e Car : lim

x ! 1(1 1 x) = 1 Calculons la limite : lim_{x !+1e}^ex^x+xx²

x lim!+1

e^x+x

e^x x² = lim

x !+1

e^x(1 + _e^xx)

e^x(1 ^x_ex²) = lim

x !+1

1 + _e^xx

1 ^x_ex²

Comme : lim

x !+1

x

e^x = lim

x !+1

1

e^x x

= 0: car lim

x !+1

e^x

x = +1 et lim

x !+1

x²

e^x = lim

x !+1

1

e^x x²

= 0: car lim

x !+1

e^x

x² = +1 alors

xlim!+1

e^x+x e^x x² = 1

4 Courbe représentative de la fonction expo- nentielle

D’après les résultats obtenus dans le premier paragraphe, on déduit le tableau de variations de la fonction exponentielle ainsi sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;!i ;!j ) :

f R ! ]0;+1[ x 7 ! e^x

La courbe représentative de la fonction exponentielle.

2 3

-1 -2 -3 -4 -5

2 3 4 5

0 1

1

x y

5 Fonction de la forme x 7 ! e

5.1 Dérivée de la fonction e

:

Propriété 8 Soit la fonction u dérivable sur un intervalle I, alors la fonc- tion e^u est dérivable sur I et :

(e^u)⁰ =u⁰e^u

Exemple 9 Soient f et g deux fonctions dé…nies sur R par : f(x) = e^{2x 1} et g(x) =e ^x2:

f et g sont dérivable sur R, donc f⁰(x) = 2e^{2x 1} et g⁰(x) = 2xe ^x2: Propriété 10 Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I: Les fonc- tions u et e^u ont le même sens de variations.

5.2 Primitives

Propriété 11 Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I:

L’ensemble des fonctions primitives de la fonction u⁰e^u sur I sont les fonctions e^u+k avec k 2R:

Exemple 12 On considère la fonction f dé…nie sur ] 1;+1[ par : f(x) = 1

2p

x+ 1e^px+1

La fonction f est continue sur ] 1;+1[, elle admet donc des fonctions primitives sur ] 1;+1[:

f est de la forme u⁰e^u avec u(x) = p

x+ 1 et u⁰(x) = ¹

2p

x+1 pour tout x2] 1;+1[:

On a

f(x) = (p

x+ 1)⁰e^px+1 donc

F(x) = e^px+1+k; (k 2R)

6 Exercice d’application

Exercice 13 Soit f la fonction dé…nie sur R par : f(x) = xe ^2x

et (C_f) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;!i ;!j ):

1. Calculer : lim_{x !+1}f(x) et lim_{x ! 1}f(x):

2. Calculer la dérivée de la fonction f; et dresser le tableau de variations de la fonction f:

3. Tracer la courbe représentative de la fonction f:

Solution 14 1. La limite de la fonctionf en +1:

x lim!+1f(x) = lim

x !+1xe ^2x

= lim

x !+1

x e^x2

= lim

x !+1

2^x₂ e^x2

= lim

x !+1

2

e^x2

x 2

= 0

car : lim

x !+1

e^x2

x 2

= +1

La limite de la fonction f en 1:

x lim! 1f(x) = lim

x ! 1xe ^2x = 1 car : lim

x ! 1e ^2x = +1 et lim

x ! 1x= 1: 2. Justi…ons d’abord la dérivabilité de la fonction f sur R:

La fonction f s’écrit comme le produit de deux fonctions u et v:

u(x) = x et v(x) = e ^2x

* u est une fonction polynôme dérivable sur R: On pose h la fonction dé…nie par : h:x7 ! 2^x:

* h est une fonction polynôme dérivable surR; donc la fonctionv est dérivable sur R:

On déduit que la fonction f est dérivable sur R comme le produit de deux fonctions derivables:

Calculons f⁰(x) pour tout x2R: f⁰(x) = (xe ^2x)⁰

= e ^2x +x ( 1 2 )e ^2x

= (1 x 2)e ^2x

Comme e ^2x 0, alors le signe de f⁰(x) sur R est celui de (1 ^x₂):

On dresse le tableau de variations :

3. La courbe représentative de la fonction f:

2 3 4 5 6 7

-1 -2 -3 -4

2 3

-1 -2 -3

0 1

1

x y

7 La fonction exponentielle de base a 2 R

7.1 Dé…nition et propriétés

Dé…nition 15 La fonction dé…nie sur R telle que x 7 ! e^xlna s’appelle la fonction exponentielle de base a, notée a^x:

Propriété 16 Pour tous réels x et y, on a : 1. a^x+y =a^x a^y

2. a^{x y} = ^a_a^x_y 3. (a^x)^y =a^xy 4. a ^x = _a¹x:

Propriété 17 Soit a un élément de R+n f1g: 1. (8x2R)(8y 2]0;+1[); a^x =y () x= ^lny_lna: 2. (8x2R); log_a(a^x) = x:

Exemple 18 Résoudre dans R l’équation: 4^x = 18 4^x = 18 () x= ln 18

ln 4 donc

S = ln 18 ln 4

8 L’étude de la fonction x 7 ! a

Propriété 19 La fonction x 7 ! a^x est dérivable sur R et on a : (a^x)⁰ = lna a^x:

Propriété 20 1. Si a 1 alors la fonction x 7 ! a^x est strictement croissante sur R:

2. Si 0 a 1 alors la fonction x 7 ! a^x est strictement décroissante sur R:

3. Si a 1 alors lim_{x !+1}a^x = +1 et lim_{x ! 1}a^x = 0:

4. Si 0 a 1 alors lim_{x !+1}a^x = 0 et lim_{x ! 1}a^x = +1:

FIN

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