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Fiche d’approfondissement 03 :
Equation différentielle linéaire d’ordre un à coefficients constants avec second membre dépendant du temps
Lorsqu’un système est soumis à une excitation sinusoïdale 𝑒(𝑡) de pulsation ω, la modélisation aboutie à une équation différentielle de la forme :
𝑑𝑠 𝑑𝑡+𝑠
𝜏 = 𝑒 𝑡 𝜏
Equation différentielle linéaire du premier ordre à coefficient constant avec second membre dépendant du temps.
Régime transitoire et régime permanent :
La solution de l’équation différentielle est la somme de deux termes : 𝑠 𝑡 = 𝑠! 𝑡 +𝑠! 𝑡
• 𝑠! 𝑡 : solution générale de l’équation homogène associée !"!"+!! =0
Cette solution correspond à un régime libre qui tend vers zéro donc qui devient négligeable au bout d’un certain temps (environ 3𝜏)
• 𝑠! 𝑡 : solution particulière de l’équation complète. Pour un signal d’entrée 𝑒(𝑡) sinusoidal, on a un
signal de sortie 𝑠(𝑡) sinusoidal de même pulsation (donc de même fréquence) que le signal d’entrée, correspondant à un régime forcé :
𝑠! 𝑡 = 𝑈!cos(𝜔𝑡+𝜑)
Avec 𝑈! : amplitude ; 𝜔𝑡+𝜑 : phase ; φ : phase à l’instant d’origine de l’excitation.
On distingue deux régimes :
• Régime transitoire : t < 3𝜏, 𝑠 𝑡 = 𝑠! 𝑡 +𝑠! 𝑡
• Régime permanent (forcé) : t > 3𝜏, 𝑠! 𝑡 +𝑠! 𝑡 ≈𝑠! 𝑡 =𝑈!cos(𝜔𝑡+𝜑)
RT RP
2 Après une courte durée, la solution s(t) obéissant à l’équation différentielle est donc :
𝑠 𝑡 =𝑈!cos(𝜔𝑡+𝜑)
L’expérience montre que 𝑈! et 𝜑 dépendent de la fréquence (ou de la pulsation) du signal d’entrée. On cherche donc à connaître leur évolution en fonction de 𝜔.
Détermination de la réponse forcée 𝑠! 𝑡 : résolution par la méthode des complexes
En régime permanent sinusoïdal, la grandeur s(t) est sinusoïdale et de même pulsation ω que celle de l’excitateur.
Nous cherchons à déterminer l’amplitude 𝑈! 𝜔 , le déphasage de la position 𝜑 𝜔 .
Soit 𝑗! =−1. A toute grandeur réelle physique du type
𝒔 𝒕 =𝑼𝒎𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕+𝝋 on associe la grandeur complexe, dont la partie réelle est égale à 𝑠 𝑡 :
𝐬 𝒕 = 𝑼𝒎×𝒆𝒋𝝎𝒕!𝝋 Seule la partie réelle de 𝑠 𝑡 a un sens physique : on a 𝑠 𝑡 =𝑅𝑒 𝑠 𝑡
Intérêt : équivalence entre dérivée et complexe On cherche à exprimer !!!" :
𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 𝑑
𝑑𝑡 𝑈!𝑒!!"!! =𝑈!× 𝑑
𝑑𝑡 𝑒! !"!! 𝑐𝑎𝑟 𝑈! 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑑𝑠
𝑑𝑡 = 𝑈!× 𝑑
𝑑𝑡 𝑗 𝜔𝑡+𝜑 ×𝑒! !"!! 𝑐𝑎𝑟 𝑑
𝑑𝑡(𝑒!) =𝑑𝑢 𝑑𝑡×𝑒! 𝑑𝑠
𝑑𝑡 = 𝑈!×𝑗𝜔×𝑒! !"!! 𝑐𝑎𝑟 𝑗,𝜔 𝑒𝑡 𝜑 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑠
𝑑𝑡 =𝑗𝜔×𝑈!×𝑒!!"!! 𝑜𝑟 𝑈!×𝑒! !"!! = 𝑠
On en conclut :
𝒅𝒔
𝒅𝒕 = 𝒋𝝎×𝒔
A retenir :
Pour le régime sinusoidal forcé, il y a équivalence entre : 𝑑
𝑑𝑡 = ×𝑗𝜔
Cette année, afin de connaître 𝑈! 𝜔 et 𝜑 𝜔 , on exprimera la transmittance isochrone complexe du système à partir de l’équation différentielle, puis on étudiera son module et son argument.
