Soit ' la propriété : 1 % 0

mathsbdp.fr dm2a suites Term spé NOM : ________________________

Soit la suite définie par 5 et pour tout nombre entier naturel , par .

Si est la fonction définie sur l’intervalle 2 ; ∞ par , alors on a, pour tout

nombre entier naturel , .

On donne ci-dessous une partie de la courbe représentative (C) de la fonction ainsi que la droite (d) d’équation .

1. a. Sur l’axe des abscisses, placer puis construire , et en laissant apparents les traits de construction.

b. Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite ? Conjecture : il semble que ( soit décroissante et que lim_{→ #} 1

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel , on a 1 % 0.

Soit ' la propriété : 1 % 0

Initialisation : 5 () 5 1 % 0 *+ , ' -./0(

Hérédité : on suppose qu’il existe un entier 1 0 tel que ' soit vraie.

A-t-on ' vraie, c'est-à-dire 1 % 0

1 1 % 0

,/. 1 % 0 () 2 % 0

donc ' vraie

conclusion : ' vraie et ' héréditaire donc pour tout entier naturel , 1 % 0

Autre méthode : avec la fonction est du type

2 avec 3₂4^{5 62 2}₂7 ⁶

4 1 et - 2

5 4 et -⁵ 1

5 7 9

7 % 0

donc la fonction est croissante sur 2 ; ∞

donc dans l'hérédité, si % 1 avec croissante sur 1 ; ∞ alors % 1 donc % 1 soit ' vraie.

conclusion : ' vraie et ' héréditaire donc pour tout entier naturel, 1 % 0 b. Valider par une démonstration les conjectures émises à la question 1. b.

sens de variation de :; :

7 7

7

< 0 donc ( décroissante.

Autre méthode avec une récurrence Soit ' la propriété : ≤

Initialisation : 5 () 1 *+ , ≤ *+ , ' -./0(

Hérédité : on suppose qu’il existe un entier 1 0 tel que ' soit vraie.

A-t-on ' vraie, c'est-à-dire < ? ' vraie donc 1 ≤ ≤

avec croissante sur 1 ; ∞

alors 1 ≤ ≤

donc 1 ≤ ≤ donc ' vraie conclusion : ' vraie et ' héréditaire donc pour tout entier naturel, ≤

donc la suite est décroissante.

convergence

La suite est décroissante et minorée

donc d’après le théorème de convergence, elle est convergente

vers un réel L.

lim

lim

() 4 1 2

*+ , >/. >/??/@( / A0B0)(? C 4C 1 C 2

?+0) C C 2 4C 1 ?+0) C 2C 1 0

?+0) C 1 0 ?+0) C 1 ; lim

1

3. Dans cette question, on se propose d’étudier la suite par une autre méthode, en déterminant une expression de en fonction de .

Pour tout nombre entier naturel , on pose - .

a. Démontrer que la suite - est une suite arithmétique de raison .

- -

Autre méthode :

- _DE FG HE

G D7

+. - 1

3 1

1 1

3 3 1

3 1 2

3 3

donc - - donc - suite arithmétique de raison et de premier terme - b. Pour tout nombre entier naturel , exprimer - puis en fonction de .

- suite arithmétique de raison et de premier terme -

donc - - .

1

*+ , 1

c. En déduire la limite de la suite .

lim

3 4 ∞ *+ ,

lim

3 4 0 *+ , lim

1

mathsbdp.fr suites

Ex1. On définit une suite - à l'aide d'une formule qu'on étire vers le bas dans un tableur. On donne - 5 .

En utilisant les indications obtenues à partir de la capture du tableur, déterminer les termes - et - .

Déterminer une formule ou une relation qui permet de définir la suite.

- 2- 1 2 × 5 1 11 - 2- 2 2 × 11 2 24

- 2- 3 2 × 24 3 51 - 2- 1

Ex2. On considère la suite définie par 1 et 3 pour tout entier 1 0. a) On considère la fonction définie par +3.

Représenter dans le repère ci-dessous la courbe de la fonction et la droite ∆ d’équation .

b) En utilisant le graphique suivant, représenter sur l’axe des abscisses les termes , , et sans les calculer.

c) Démontrer par récurrence, que pour tout entier naturel , on a : ≤ ≤ 4. Soit ' la propriété : < ≤ 4

Initialisation : 1 < 3 3,25 ≤ 4 donc ' est vraie

Hérédité : on suppose ' vraie. A-t-on ' vraie , c'est-à-dire < ≤ 4

' vraie donc < ≤ 4⟺ < ≤ 1 ⟺ 3 < 3 ≤ 4

On a alors < ≤ 4 donc ' est vraie Conclusion :' vraie et ' héréditaire donc pour tout entier naturel , on a < ≤ 4

d) Que peut-on en déduire pour la suite ? Justifie ta réponse.

La suite est croissante ( car < ) et majorée par 4 (car ≤ 4) donc d'après le théorème de convergence on peut dire qu'elle est convergente.