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Fonctions arithm´ etiques multiplicatives

Notations

– Dans ce probl`eme, le mot entier (sans pr´ecision suppl´ementaire) d´esigne les ´el´ements de N^∗. On note respectivement m∧n etm∨nle pgcd et le ppcm de deux entiers m etn.

– On appellefonction arithm´etique toute application f de N^∗ dansC.

On dit quef estmultiplicative sif(1) = 1 et si m∧n= 1⇒f(mn) =f(m)f(n).

L’objet de ce probl`eme est d’´etudier quelques fonctions arithm´etiques multiplicatives classiques.

– On notePl’ensemble des entiers premiers.

Pour tout entiern, on d´esigne parD_n l’ensemble des entiers qui divisentn.

On note alors Pn l’ensemble des diviseurs premiers den. AinsiPn=P∩ D_n. – Pour toutp de Pet tout entier n, on notevp(n) = max{k∈N, p^k|n}.

On dit quev_p(n) est lavaluation de npour l’entier premier p. Il est clair que p∈Pn⇔v_p(n)>1.

L’entier vp(n) repr´esente l’exposant dep dans la d´ecomposition den en facteurs premiers.

Exemple : si n= 56 = 2³7 alors v2(n) = 3, v7(n) = 1 et ∀p∈P\ {2,7}, v_p(n) = 0.

I. G´en´eralit´es

On se propose d’´etablir ici quelques r´esultats arithm´etiques portant ou non sur les fonctions arithm´etiques, et qui s’av`ereront utiles dans la suite du probl`eme.

1. On se donne deux entiersm etnquelconques.

(a) Justifier rapidement les ´egalit´esD_m∩ D_n=D_m∧n etPm∩Pn=Pm∧n.[ S ] (b) Prouver l’´egalit´e Pm∪Pn=Pm∨n.[ S ]

(c) Que dire dePm etPn si m, n sont premiers entre eux ?[ S ] 2. Soienta, b, c trois entiers tels quea∧b= 1. On veut prouver que

a∧(bc) =a∧c

(ab)∧c= (a∧c)(b∧c) Pour cela, on demande deux m´ethodes distinctes :

(a) Poserd=a∧c, et consid´erer les entiersa⁰, b⁰ tels quea=da⁰ etc=dc⁰.[ S ] (b) Utiliser les valuationsv_p(a), v_p(b), v_p(c) pour tout p de P.[ S ]

3. On se donne deux entiersm etnpremiers entre eux.

On consid`ere l’applicationψd´efinie de D_m× D_n dansD_mn parψ(d, δ) =d δ.

De mˆeme, soitξ l’application de D_mn dans D_m× D_n d´efinie par ξ(q) = (m∧q, n∧q).

Montrer queψ etξ sont deux bijections r´eciproques l’une de l’autre.[ S ] 4. Dans cette question, on se donne une fonction multiplicativef.

(a) Sim1, . . . , mq sont premiers entre eux deux `a deux montrer quef ^q

Q

j=1

mj

=

q

Q

j=1

f(mj).[ S ] (b) Montrer quef est caract´eris´ee par les f(p^k), o`u (p, k)∈P×N^∗.[ S ]

II. Exemples de fonctions multiplicatives

Dans cette partie, on d´ecouvre quelques fonctions multiplicatives simples et classiques.

1. Pour toutn>1, on noteω(n) = cardPn : c’est le nombre de diviseurs premiers den.

(a) Montrer que pour toutz de C^∗, l’applicationf :n7→z^ω(n) est multiplicative.[ S ] (b) Que valent lesf(p^k), pour tous pdans Petk dansN^∗?[ S ]

2. Pour toutn>1, on noteτ(n) = cardD_n: c’est le nombre d’entiers qui divisent n.

(a) Montrer que l’application τ est multiplicative (utiliser I.3.)[ S ] (b) Que valent lesτ(p^k), pour tous p dansPet kdansN^∗?[ S ]

(c) En d´eduire que pour tout n>2, on aτ(n) = Q

p∈Pn

(v_p(n) + 1). [ S ] 3. On d´efinit lafonction de Mo¨ebius n7→µ(n) de la fa¸con suivante :

S’il existep dansPtel quevp(n)>2, alorsµ(n) = 0. Sinon µ(n) = (−1)^ω(n).

Ainsiµ(n) = 0 sinest divisible par le carr´e d’un entier premier, et sinonµ(n) = 1 ou µ(n) =−1 selon que les facteurs premiers den(qui sont alors distincts) sont en nombre pair ou impair.

(a) Montrer que l’application µest multiplicative.[ S ]

(b) Que valent lesµ(p^k), pour tous p dansPetk dansN^∗?[ S ] III. Produit de Dirichlet des fonctions arithm´etiques

– On noteAl’ensemble des fonctions arithm´etiques, et Mcelui des fonctions multiplicatives.

– On note Id la fonction identit´e de N^∗, et1 la fonction constante ´egale `a 1 sur N^∗. On note e la fonction d´efinie surN^∗ par e(1) = 1, et e(n) = 0 sin>2.

Il est clair que les applications Id,1,e sont des ´el´ements de M.

– Pour toute fonctionf de A, on noteP

d|n

f(d) la somme des valeurs de f sur les ´el´ementsdde D_n. – Soient f etg deux ´el´ements de A. Pour tout entiern, on pose (f ? g)(n) =P

d|n

f(d)g(ⁿ d).

On d´efinit ainsi une loi de composition surA, appel´eeproduit de Dirichlet.

Remarque : une ´ecriture ´equivalente du produit de Dirichlet est (f ? g)(n) = P

ab=n

f(a)g(b), o`u la somme est ´etendue aux couples d’entiers (a, b) tels queab=n.

1. Dans cette question, on montre que (A,+, ?) est un anneau commutatif.

(a) Montrer queAest un groupe commutatif pour l’addition des fonctions.[ S ] (b) Montrer que le produit de Dirichlet est commutatif.[ S ]

(c) V´erifier que l’application e est ´el´ement neutre.[ S ]

(d) Montrer que le produit de Dirichlet est associatif et conclure.[ S ] 2. Dans cette question, on en apprend un peu plus sur l’anneau A.

(a) Montrer qu’un ´el´ement f de Aest inversible pour ? si et seulement sif(1)6= 0.[ S ] (b) Montrer que l’anneau (A,+, ?) est int`egre.[ S ]

3. On va montrer que les fonctions multiplicatives forment un groupe pour la loi?.

(a) En utilisant (I.3), montrer queMest stable pour la loi?. Le produit de Dirichlet de deux fonctions multiplicatives est donc encore une fonction multiplicative.[ S ]

(b) Montrer queMest un sous-groupe du groupe des ´el´ements inversibles de l’anneauA.[ S ]

IV. La formule d’inversion de Moebius

On utilise ici les notations et les r´esultats de la partie III.

1. Soientf, g, h trois fonctions arithm´etiques multiplicatives.

Montrer queh=f ? g ´equivaut `a :∀p∈P, ∀k∈N^∗, h(p^k) =

k

P

j=0

f(p^j)g(p^k−j).[ S ] 2. Montrer que les fonctionsµ et1 sont inverses l’une de l’autre dans le groupe (M, ?).[ S ] 3. Soitf une fonction arithm´etique, etF d´efinie sur N^∗ parF(n) =P

d|n

f(d).

Montrer que pour toutnde N^∗, on af(n) =P

d|n

µ(d)F(ⁿ d).

Cette ´egalit´e est connue sous le nom de formule d’inversion de Moebius.[ S ] 4. En d´eduire par exemple la valeur de la somme P

d|n

µ(d)τ(ⁿ d). [ S ] V. La fonction somme des diviseurs

Pour toutn>1, on noteσ(n) la somme des ´el´ements de D_n (c’est-`a-dire des diviseurs den.) 1. (a) Montrer queσ est multiplicative en utilisant une question de la partie I. [ S ]

(b) Montrer queσ est multiplicative en utilisant une question de la partie IV.[ S ] (c) Montrer que pour tout entiern>1, on a ^σ(n)

n =P

d|n

1 d.[ S ] 2. (a) Que valent lesσ(p^k), pour (p, k) dansP×N^∗?[ S ]

(b) En d´eduire que pour tout n>2, on a l’´egalit´eσ(n) = Y

p∈Pn

p^vp(n)+1−1 p−1 .[ S ] (c) A titre d’exemple, calculerσ(10!). [ S ]

3. Pour toutm de Z, on noteσ_m(n) la somme des puissancesm-i`emes des diviseurs den.

(a) Comme dans (2b), exprimerσm(n) en fonction de la factorisation de n.[ S ] (b) Calculer par exemple la somme des carr´es des diviseurs de 2002.[ S ]

4. On dit qu’un entiern estparfait siσ(n) = 2n.

Cela ´equivaut `a dire qu’il est ´egal `a la somme de ses diviseurs stricts.

Exemple :n= 28 est parfait ; ses diviseurs sont 1,2,4,7,14,28 et 1+2+4+7+14+28 = 2n.

(a) Montrer que si 2^k−1 est premier, alorsn= 2^k−1(2^k−1) est parfait et pair.[ S ] (b) R´eciproquement, on suppose que nest un entier parfait pair.

Montrer qu’il existe un entierktel quen= 2^k−1(2^k−1), avec 2^k−1 premier.

Indication : introduirem>1 et q impair tel quen= 2^mq.

Montrer queq= (2^m+1−1)r avec r>1. Montrer que σ(q) =q+r.[ S ]

NB : Le probl`eme de l’existence d’entiers parfaits impairs est un probl`eme ouvert.

VI. L’indicateur d’Euler

Pour tout entiern, on noteE_nl’ensemble des entiers kde {1, . . . , n}tels que k∧n= 1.

On note alors ϕ(n) = cardE_n. La fonction arithm´etiqueϕ est appel´eeindicateur d’Euler.

1. (a) On se donne un entiern, et on consid`ere f :{1, . . . , n} → D_n d´efinie par f(k) =n∧k.

Montrer que chaquedde D_n poss`ede exactement ϕ(ⁿ

d) ant´ec´edents par f.[ S ] (b) En d´eduire que pour tout nde N^∗, on a l’´egalit´e P

d|n

ϕ(d) =n.[ S ] (c) Montrer queϕ(n) =P

d|n

µ(d)ⁿ

d pour toutn>1, et que ϕest multiplicative.[ S ]

2. (a) Pr´eciser ϕ(p^k) pour (p, k)∈(P×N^∗). On donnera deux d´emonstrations distinctes.[ S ] (b) En d´eduire que pour tout n>1, on aϕ(n) =n Q

k∈Pn

1−¹

p

. Calculer par exemple ϕ(10!).[ S ]

VII. Quelques formules asymptotiques

1. (a) Pour tout entiern, montrer qu’on a l’´egalit´e

n

P

k=1

τ(k) =

n

P

d=1

h_n d i

. Indication : on ´ecrira

n

P

k=1

τ(k) =

n

P

k=1

P

d|k

1 et on cherchera `a intervertir les deux sommes.[ S ] (b) AvecSn=

n

P

d=1

1

d, montrer que lim

n→∞Sn/lnn= 1. [ S ] (c) D´eduire de ce qui pr´ec`ede qu’on a : lim

n→∞

τ(1) +τ(2) +· · ·+τ(n) nlnn = 1

Ainsi, quandn→ ∞, la somme τ(1) +τ(2) +· · ·+τ(n) est ´equivalente `a nlnn.[ S ] 2. (a) Pour tout entiern, montrer que

n

P

k=1

σ(k) =

n

P

d=1

d h_n

d i

(mˆeme indication qu’en (1a).) [ S ] (b) Justifier les transformations suivantes :

Pn k=1

σ(k) = Pn d=1

d^n/d P

k=1

1

= Pn d=1

^n/d P

k=1

d

= P

16dk6n

d= Pn k=1

^n/k P

d=1

d

= ¹ 2

Pn k=1

h_n k

ih_n k i

+ 1 [ S ] (c) Pour tout entiern, on pose (comme dans (1b))Sn=

n

P

k=1

1

k etTn=

n

P

k=1

1 k². Montrer que : ¹

2

n²T_n−nS_n 6

n

P

k=1

σ(k)6 ¹ 2

n²T_n+nS_n .[ S ] (d) On admet que lim

n→∞Tn= ^π

2

6 . En d´eduire lim

n→∞

σ(1) +σ(2) +. . .+σ(n)

n² = ^π

2

12.[ S ] 3. On poseU_n=

n

P

k=1

µ(k)

k² pour tout entiern. On admet que lim

n→∞U_n= ⁶ π². (a) Pour toutn>1, montrer que

Pn k=1

ϕ(k) = Pn d=1

µ(d) P

d|k

k d

= ¹ 2

Pn d=1

µ(d)h_n d

ih_n d i

+ 1 .[ S ] (b) Montrer :

n² 2 Un−

n

P

k=1

ϕ(k)

6 ^3nS₂ ⁿ. En d´eduire lim

n→∞

ϕ(1) +ϕ(2) +. . .+ϕ(n)

n² = ³

π².[ S ] (c) On se donne deux entiersaetb au hasard dans {1, . . . , n}.

Quelle est la probabilit´e pn que a∧b= 1 ? Quelle est la limite depnquand n→ ∞? On peut interpr´eter ce r´esultat de la mani`ere suivante :

La probabilit´e que deux entiersa, bchoisis au hasard soient premiers entre eux est ⁶ π².[ S ]

Corrig´e du probl`eme I. G´en´eralit´es

1. (a) L’´egalit´e D_m∩ D_n =Dm∧n ne fait qu’exprimer une des caract´erisations de m∧n: les diviseurs positifs communs `am etnsont les diviseurs positifs de leur pgcd.

Par intersection avecP, l’´egalit´e D_m∩ D_n=Dm∧n donne alorsPm∩Pn=Pm∧n.[ Q ] (b) Puisquem etn divisentm∨n, on aPm ⊂Pm∨n etPn⊂Pm∨n doncPm∪Pn⊂Pm∨n.

R´eciproquement, on sait que (m∧n)(m∨n) =mn.

Sipest premier et divisem∨n, alors il divisemn, donc il divisemoun(quand un entier premier divise un produit de facteurs, il divise l’un au moins de ces facteurs.)

Autrement ditPm∨n⊂Pm∪Pn, ce qui assure l’´egalit´ePm∪Pn=Pm∨n.[ Q ] (c) Sim∧n= 1, on a Pm∩Pn=Pm∧n=P1 =∅et Pm∪Pn=Pm∨n=Pmn.

En d’autres termes,Pmn est l’union disjointe des ensemblesPm etPn.[ Q ]

2. (a) Posonsd=a∧c. Il existe deux entiers a⁰, c⁰ tels que a=da⁰ etc=dc⁰ avec a⁰∧c⁰ = 1.

On peut alors ´ecrire a∧(bc) = (da⁰)∧(dbc⁰) =d(a⁰∧bc⁰).

Maisa⁰ est premier avecc⁰ et avecb(car a⁰|aeta∧b= 1.) Il en r´esulte que a⁰∧(bc⁰) = 1. Ainsi a∧(bc) =d=a∧c.

Avec les mˆemes notations, on ´ecrit (ab)∧c= (da⁰b)∧(dc⁰) =d((a⁰b)∧c⁰).

En utilisant le d´ebut de cette question, l’´egalit´e a⁰∧c⁰= 1 implique (a⁰b)∧c⁰ =b∧c⁰. D’autre partb∧c=b∧(dc⁰) =b∧c⁰ (en effetb∧a= 1 etd|adoncb∧d= 1.) Finalement, on trouve l’´egalit´e : (ab)∧c=d(b∧c⁰) =d(b∧c) = (a∧c)(b∧c).[ Q ]

(b) L’hypoth`ese a∧b= 1 signifie qu’il n’y a pas d’entier premier divisant simultan´ement aet b, ou encore que pour toutp de Pon a v_p(a) = 0 ouv_p(b) = 0.

Pour montrer l’´egalit´e de deux entiersm, n il suffit d’´etablirvp(m) =vp(n) pour toutpde P(car m etnont alors la mˆeme factorisation.)

Enfin pour tous entiersm, n et tout pde P, on a

v_p(mn) =v_p(m) +v_p(n) v_p(m∧n) = min(v_p(m), v_p(n)) Ainsia∧(bc) =a∧c⇔min(vp(a), vp(b) +vp(c)) = min(vp(a), vp(c)), pour tout p deP. Or ce r´esultat est ´evident dans chacun des deux seuls cas possiblesv_p(a) = 0 ou v_p(b) = 0.

De mˆeme on a

vp((ab)∧c) = min(vp(a) +vp(b), vp(c))

v_p((a∧c)(b∧c)) = min(v_p(a), v_p(c)) + min(v_p(b), v_p(c))

L`a encore, l’´egalit´e de ces deux valuations est ´evidente siva(p) = 0 ou sivp(b) = 0.[ Q ] 3. Bien sˆur, sid|m etδ |n, alors dδ|mn. Doncψ est bien `a valeurs dansD_mn.

De mˆeme, pour tout entierq, le couple (m∧q, n∧q) est ´el´ement de D_m× D_n.

Ceci nous assure queξ est bien `a valeurs dans D_m× D_n (on n’a pas encore utilis´em∧n= 1.) On suppose donc quem etnsont premiers entre eux.

– Soit (d, δ) dansD_m× D_n. On notea, b les entiers tels quem=da etn=δb.

On a alorsξ◦ψ(d, δ) =ξ(dδ) = ((dδ)∧m,(dδ)∧n) = ((dδ)∧(da),(dδ)∧(δb)).

Mais (dδ)∧(da) =d(δ∧a) =d. En effetδ∧a= 1 car il diviseδ eta, donc netm.

De mˆeme : (dδ)∧(δb) =δ(d∧b) =δ card∧b= 1 (il divise detb doncm etn.) On a ainsi obtenuξ◦ψ(d, δ) = (d, δ), pour tout ´el´ement (d, δ) de D_m× D_n.

– R´eciproquement, soitq un diviseur de l’entiermn.

On a ψ◦ξ(q) =ψ(q∧m, q∧n) = (q∧m)(q∧n) =q∧(mn), carm∧n= 1 (cf I.3) Mais q ´etant un diviseur demn, on obtient ψ◦ξ(q) =q.

Ainsiψ◦ξ est l’application identit´e de D_mn. Ainsi

ψ:D_m× D_n→ D_mn

ξ :D_mn→ D_m× D_n sont deux bijections r´eciproques l’une de l’autre.[ Q ] 4. (a) La propri´et´e est ´evidente siq = 1, et vraie siq = 2 carf est multiplicative.

On se donne alors q>3 et on suppose que la propri´et´e est vraie au rang q−1.

Soitm₁, m₂, . . . , m_q une famille deq entiers premiers entre eux deux `a deux.

Puisquem1 est premier avec m2, m3, . . . , mq, il est premier avec leur produit.

On en d´eduit, puisquef est multiplicative, et en utilisant l’hypoth`ese de r´ecurrence : f

q

Q

j=1

mj

=f(m1)f q

Q

j=2

mj

=f(m1)

q

Q

j=2

f(mj) =

q

Q

j=1

f(mj) Cela d´emontre la propri´et´e au rang q et ach`eve la r´ecurrence.[ Q ]

(b) Soitn>2 un entier d´ecompos´e en produit de facteurs premiers :n= Q

p∈Pn

p^vp(n). Les entiers mp =p^vp(n) sont premiers entre eux deux `a deux.

On en d´eduit l’´egalit´e f(n) =f Q

p∈Pn

mp

= Q

p∈Pn

f(mp) = Q

p∈Pn

f(p^vp(n)).

On voit que la connaissance desf(p^k), avecpdansPetkdansN^∗ d´etermine enti`erement lesf(n) pourn>2, donc d´etermine enti`erementf puisqu’on sait que f(1) = 1. [ Q ]

II. Exemples de fonctions multiplicatives

1. (a) On suppose que les deux entiersmet nsont premiers entre eux.

D’apr`es I.1.c, on a cardP<sub>mn</sub>= cardP<sub>m</sub>+ cardP<sub>n</sub> c’est-`a-direω(mn) =ω(m) +ω(n).

Pour toutz de C^∗, il en r´esulte z^ω(mn)=z^ω(m)z^ω(n). Enfin P1=∅ ⇒ω(1) = 0⇒z^ω(1) = 1.

On en d´eduit que la fonction n7→z^ω(n) est multiplicative, pour tout zde C^∗.[ Q ] (b) On se donnep dansP etkdans N^∗.

Le seul diviseur premier dep^k est p. Ainsiω(p^k) = 1 et f(p^k) =z.[ Q ] 2. (a) On se donne deux entiersm etnpremiers entre eux.

D’apr`es I.3, les ensembles finis D_mn et D_m× D_n sont en bijection, donc ont mˆeme cardinal.

Ainsiτ(mn) = cardD_mn= card (D_m× D_n) = (cardD_m)(cardD_n) =τ(m)τ(n).

Enfin D₁ ={1} doncτ(1) = cardD₁ = 1 : l’applicationτ est multiplicative.[ Q ] (b) On se donnep dansP etkdans N^∗.

Les diviseurs dep^k sont les p^j, avec 06j6k. On en d´eduit τ(p^k) =k+ 1. [ Q ] (c) D’apr`es I.4.b, et pour tout n>2, on aτ(n) = Q

p∈Pn

τ(p^vp(n)) = Q

p∈Pn

(v_p(n) + 1). [ Q ]

3. (a) On a tout d’abord P1=∅ puis ω(1) = 0 doncµ(1) = 1.

On se donne deux entiers m, n premiers entre eux. Si l’un d’eux est divisible par le carr´e d’un entier premierp, il en est de mˆeme de mn, doncµ(mn) =µ(m)µ(n) = 0.

On peut donc supposer que nim ninne sont divisibles par le carr´e d’un entier premier.

Puisquem∧n= 1, on sait que Pmn est l’union disjointe de Pm et de Pn.

Ainsiω(mn) =ω(m) +ω(n) puis µ(mn) = (−1)^ω(mn) = (−1)^ω(m)(−1)^ω(n)=µ(m)µ(n).

On a donc prouv´e que la fonction de Mo¨ebius µest multiplicative.[ Q ] (b) Par d´efinition, pour tout p deP, on a µ(p) =−1, etµ(p^k) = 0 si k>2.[ Q ] III. Produit de Dirichlet des fonctions arithm´etiques

1. (a) Aest l’ensemble des applications de N^∗ dansC.

C’est donc un groupe pour l’addition des fonctions (r´esultat du cours.) La loi + est d´efinie par : ∀(f, g)∈ A², ∀n∈N^∗, (f+g)(n) =f(n) +g(n).

Le neutre additif est la fonction nulle ; l’oppos´e de la fonction f est la fonction −f.[ Q ] (b) La commutativit´e de? r´esulte imm´ediatement de l’´ecriture (f ? g)(n) = P

ab=n

f(a)g(b).

Cette ´ecriture est en effet sym´etrique par rapport `a f etg.[ Q ] (c) Pourf dansA etn>1 : (f ? e)(n) =P

d|n

f(ⁿ

d)e(d) =f(n)e(1) =f(n).

Ainsif ? e =f : l’application e est neutre pour le produit de Dirichlet.[ Q ] (d) Soientf, g, h trois ´el´ements de A, et soitnun entier quelconque.

On a (f ?(g ? h))(n) = P

ab=n

f(a)(g ? h)(b) = P

ab=n

f(a) P

cd=b

g(c)h(d)

. Cette somme peut ˆetre d´evelopp´ee et elle devient (f ?(g ? h))(n) = P

acd=n

f(a)g(c)h(d).

Cette somme est ´etendue aux triplets (a, c, d) tels que acd=n.

On aboutit bien sˆur au mˆeme d´eveloppement quand on part de ((f ? g)? h)(n).

Il en d´ecoule que la loi? est associative surA.

La seule chose qui reste `a prouver pour ´etablir que (A,+, ?) est un anneau commutatif est la distributivit´e de la loi? sur la loi +.

Pour tous ´el´ementsf, g, h deA et pour tout entiern, on a effectivement : (f ?(g+h))(n) = P

ab=n

f(a)(g+h)(b) = P

ab=n

f(a)(g(b) +h(b))

= P

ab=n

f(a)g(b) + P

ab=n

f(a)h(b) = (f ? g)(n) + (f ? h)(n) = (f ? g+f ? h)(n) Conclusion : muni des lois + et ?, l’ensembleA est un anneau commutatif.[ Q ] 2. (a) Soitf un ´el´ement deA tel quef(1) = 0.

Alors pour toutg de A, on a (f ? g)(1) =f(1)g(1) = 06= e(1) donc f ? g6= e.

On constate donc que lesf de Atels que f(1) = 0 ne sont pas inversibles pour la loi ?.

On se donne maintenantf dansA tel quef(1)6= 0.

On va montrer qu’il existe gdans Atel queg ? f = e.

L’´egalit´eg ? f = e ´equivaut `a 1 = (g ? f)(1) =g(1)f(1) et (g ? f)(n) = 0 pour toutn>2.

La conditiong(1)f(1) = 1 d´etermineg(1) de fa¸con unique carf(1)6= 0.

On se donnen>2 et on suppose queg(k) est connu pour toutk de {1, . . . , n−1}.

L’´egalit´e 0 = (g ? f)(n) s’´ecrit 0 =g(n)f(1) + P

d|n, d<n

g(d)f(ⁿ d).

On en d´eduit g(n) =− ¹ f(1)

P

d|n, d<n

g(d)f(ⁿ

d), donnantg(n) en fonction de quantit´es connues.

On a ainsi montr´e par r´ecurrence que g(n) est d´efini de mani`ere unique pour tout entier n.

Cela prouve que l’applicationf est inversible pour ?et que son inverse est g.[ Q ] (b) Soientf et gdeux ´el´ements non nuls de A. Il faut montrer que f ? g est non nul.

Soitm= min{k∈N^∗, f(k)6= 0} etn= min{k∈N^∗, g(k)6= 0}.

On peut alors ´ecrire : (f ? g)(mn) = P

ab=mn

f(a)g(b) =f(m)g(n) +

(a,b)6=(m,n)

P

ab=mn

f(a)g(b).

Or

ab=mn

(a, b)6= (m, n) implique

a < mou b < n puis

f(a) = 0 ou

g(b) = 0 , doncf(a)g(b) = 0.

Il en r´esulte que (f ? g)(mn) =f(m)g(n)6= 0 doncf ? g6= 0.

Conclusion : l’anneau (A,+, ?) est int`egre.[ Q ]

3. (a) On se donne deux ´el´ementsf, g de M. Tout d’abord (f ? g)(1) =f(1)g(1) = 1.

Donnons-nous ensuite deux entiers m, ntels que m∧n= 1.

D’apr`es I.3, tout ddeD<sub>mn</sub> s’´ecrit de mani`ere uniqued=abavec (a, b) dansD_m× D_n. Puisquem∧n= 1, on trouvea∧b= 1 et ^m

a ∧ ⁿ

b = 1. On peut donc ´ecrire : (f ? g) (mn) = P

d|mn

f(d)g(^mn d ) = P

a|m

P

b|n

f(ab)g(^m a

n b)

= P

a|m

P

b|n

f(a)f(b)g(^m a)g(ⁿ

b) = P

a|m

f(a)g(^m a) P

b|n

f(b)g(ⁿ

b) =h(m)h(n) On a donc prouv´e que l’application f ? g est multiplicative.

Ainsi l’ensembleMest une partie stable de A.[ Q ] (b) On sait d´ej`a queM est une partie (non vide) stable deA.

D’autre part les ´el´ementsf de Msont inversibles carf(1) = 16= 0.

Il reste `a prouver que sif est dans M, alors son inverse g est dansM.

On a d´eja 1 = e(1) = (f ? g)(1) =f(1)g(1) =g(1).

On se donne deux entiersm etnpremiers entre eux. Montrons g(mn) =g(m)g(n).

On va proc´eder par r´ecurrence sur la valeur du produitmn.

Notons tout d’abord que la propri´et´e est ´evidente simn= 1, c’est-`a-dire m=n= 1.

On supposemn >1, et on suppose que la propri´et´e a ´et´e d´emontr´ee pour tous les couples d’entiers (a, b) tels quea∧b= 1 etab < mn.

Dans la suite des calculs, on va noterakb pour dire quea est un diviseur strict deb.

On sait queg(mn) =− P

dkmn

g(d)f(^mn d ).

On sait aussi que toutdde D_mn s’´ecrit de fa¸con uniqued=ab, o`u (a, b)∈ D_a× D_b. On en d´eduit g(mn) =− P

abkmn

g(ab)f(^m a

n b).

Dans la somme pr´ec´edente, on a toujours a∧b= 1 et ^m a ∧ ⁿ

d = 1.

D’autre partf est arithm´etique, etg(ab) =g(a)g(b) par hypoth`ese de r´ecurrence.

On obtient :g(mn) =− P

abkmn

g(a)g(b)f(^m a)f(ⁿ

b) =− P

abkmn

g(a)f(^m

a)g(b)f(ⁿ b) Dans cette somme, on a tous les couples (a, b) deD_m× D_m, sauf le couple (m, n).

On en d´eduit finalement : g(mn) =− P

ab|mn

g(a)f(^m

a)g(b)f(ⁿ

b) +g(m)f(1)g(n)f(1)

=−P

a|m

g(a)f(^m a) P

b|n

g(b)f(ⁿ

b) +g(m)g(n)

=−(g ? f)(m)(g ? f)(n) +g(m)g(n) =−e(m)e(n) +g(m)g(n) Mais e(m)e(n) = 0 carm >1 oun >1. On en d´eduit g(mn) =g(m)g(n).

Cela ´etablit la propri´et´e ”au rang mn” et ach`eve la r´ecurrence. On a donc prouv´e que l’inverse (pour?) d’une fonction multiplicative est encore une fonction multiplicative.

Conclusion :M est un sous-groupe du groupe des ´el´ements inversibles de l’anneau A.[ Q ] IV. La formule d’inversion de Moebius

1. On se donnef, g, h dansM. On sait que f ? g est dans M.

On sait d’autre part (cf I.4.b) que deux applications ´el´ements deMsont ´egales si et seulement si elles co¨ıncident sur les p^k avec p dansPetk dansN^∗.

Or si (p, k)∈(P,N^∗), on aD_pk ={p^j,06j6k}, donc (f ? g)(p^k) =

k

P

j=0

f(p^j)g(p^k−j) Ainsi :f ? g=h⇔ ∀(p, k)∈P×N^∗, h(p^k) =

k

P

j=0

f(p^j)g(p^k−j). [ Q ] 2. Il s’agit de montrer l’´egalit´eµ ?1= e.

Pour tout (p, k) de P×N^∗ : (µ ?1)(p^k) =

k

P

j=0

µ(p^j)1(p^k−j) =µ(1) +µ(p) = 0 = e(p^k).

On sait que ces ´egalit´es impliquentµ ?1= e. En d’autre termes : P

d|n

µ(n) = 0 sin>2.[ Q ] 3. Par d´efinition, on a F =f ?1. Or 1⁻¹ =µdans l’anneau A.

Ainsif = (f ?1)?1⁻¹=F ? µpuis ∀n∈N^∗, f(n) = (F ? µ)(n) =P

d|n

µ(n)F(ⁿ d). [ Q ] 4. On a τ =P

d|n

1 =1?1. Ainsi µ ? τ =1 donc :∀n>1, P

d|n

µ(d)τ(ⁿ

d) = 1.[ Q ]

V. La fonction somme des diviseurs

1. (a) Soientm etndeux entiers premiers entre eux.

On sait que Ψ :D_m× D_n→ D_mn d´efinie par Ψ(d, δ) =dδest bijective.

Autrement ditσ(mn) = P

a|mn

a= P

d|m, δ|n

dδ= P

d|m

d P

δ|n

δ=σ(m)σ(n).

L’applicationσ est donc multiplicative. [ Q ] (b) On a σ(n) =P

d|n

d=P

d|n

Id(d) pour tout n>1. Or Id est dansM. Donc σ∈ M.[ Q ] (c) Il suffit d’´ecrire σ(n) = (Id?1)(n) = (1?Id)(n) =P

d|n

n

d =nP

d|n

1 d.[ Q ] 2. (a) Soitn=p^k avec (p, k)∈P×N^∗. On a D_n={1, p, p², . . . , p^k}.

On en d´eduit σ(p^k) =

k

P

j=0

p^j = p^k+1−1 p−1 .[ Q ] (b) Pour n>2, on a n= Q

p∈Pn

p^vp(n) doncσ(n) = Q

p∈Pn

σ(p^vp(n)) = Q

p∈Pn

p^vp(n)+1−1 p−1 .[ Q ] (c) On a 10! = 2⁸3⁴5²7 donc σ(10!) = ²

9−1 1

3⁵−1 2

5³−1 4

7²−1

6 = 15334088. [ Q ] 3. (a) La fonctionn7→n^m est multiplicative. Il en est donc de mˆeme de σ_m.

Soitn=p^k avec (p, k)∈P×N^∗. On a D_n={1, p, p², . . . , p^k}.

On en d´eduit σ_m(p^k) =

k

P

j=0

p^mj = p^m(k+1)−1 p^m−1 .[ Q ] (b) On a 2002 = 2·7·11·13 donc σ₂(2002) = ²

4−1 2²−1

7⁴−1 7²−1

11⁴−1 11²−1

13⁴−1

13²−1 = 5185000.[ Q ] 4. (a) On se donne un entierktel que 2^k−1 soit premier (n´ecessairementk>2.)

Posonsn= 2^k−1(2^k−1). Les entiers 2^k−1 et 2^k−1 sont premiers entre eux.

On en d´eduit σ(n) =σ(2^k−1)σ(2^k−1). Orσ(2^k−1) = 2^k−1 (cf question 2.a) Par hypoth`ese 2^k−1 est premier donc σ(2^k−1) = 2^k.

Il en r´esulteσ(n) = (2^k−1)2^k= 2n. Ainsin est un entier parfait (pair cark>2.) [ Q ] (b) On se donne un entier parfait pairn. Soitm=v2(n) (c’est un ´el´ement deN^∗.)

Il existe donc un entierm impair tel quen= 2^mq.

Par hypoth`eseσ(n) = 2ndonc 2^m+1q= 2n=σ(2^m)σ(q) = (2^m+1−1)σ(q).

Ainsi l’entier 2^m+1−1, qui est premier avec 2^m+1, divise 2^m+1q.

Il en r´esulte (th´eor`eme de Gauss) que 2^m+1−1 divise q. Posonsq = (2^m+1−1)r.

Si on remplace dans 2^m+1q = (2^m+1−1)σ(q), on trouve 2^m+1r=σ(q).

Mais 2^m+1r=q+r, alors que q etr sont des diviseurs deq.

Cela signifie queq etr sont les seuls diviseurs de q.

Autrement ditq est un entier premier et r= 1, donc q= 2^m+1−1.

Ainsin= 2^mq= 2^m(2^m+1−1) ce qui s’´ecrit n= 2^k−1(2^k−1) avec 2^k−1 premier.[ Q ]

VI. L’indicateur d’Euler

Avec ces notations, on peut par exemple ´ecrire ϕ(n) = P

k∧n=1

1.

1. (a) Soitdun diviseur de n (un ´el´ement de D_n) et soit kun ´el´ement de{1, . . . , n}.

On a f(k) =d⇔n∧k=d⇔ ∃n⁰, k⁰ tels quen=n⁰d,k=k⁰detn⁰∧k⁰= 1.

Il y a autant de solutionskqu’il y a d’entiers k⁰.

Or les conditions surk⁰ sont 16k⁰ 6n⁰ (car 16k6n) et k⁰∧n⁰ = 1.

Le nombre de solutions est donc ´egal `aϕ(n<sup>0</sup>), c’est-`a-dire ϕ(ⁿ d). [ Q ]

(b) Les images r´eciproques par f des ´el´ements de D_n forment une partition de {1, . . . , n}.

Autrement dit, en utilisant (1a) :n=P

d|n

cardf⁻¹({d}) =P

d|n

ϕ(ⁿ d) =P

d|n

ϕ(d). [ Q ] (c) L’´egalit´e pr´ec´edente s’´ecritϕ ?1= Id.

On trouve alorsϕ=µ ?Id en rempla¸cant f par Id etF par ϕdans la question (IV.3) Autrement dit, pour tout nde N^∗, on aϕ(n) =P

d|n

µ(d)ⁿ d.

Enfin ϕ=µ ?1 prouve queϕ est multiplicative puisqueµet1 le sont. [ Q ] 2. (a) Sipest premier, on a E_p={1, . . . , p−1}, doncϕ(p) =p−1.

Plus g´en´eralement soitp dansP,kdans N^∗ etn=p^k. – Premi`ere d´emonstration :

Soit m un entier de{1, . . . , n}. On a n∧m >1⇔p|m.

Dans {1, . . . , n=p^k}, il y ap^k−1 multiples dep : ce sont les qp avec 16q . . .6p^k−1. Dans {1, . . . , n=p^k}, il y a donc p^k−p^k−1 entiers premiers avec n.

Autrement dit, pour tout p deP et toutk de N^∗, on aϕ(p^k) =p^k−p^k−1. – Deuxi`eme d´emonstration :

On sait qu’on a l’´egalit´e ϕ(n) =P

d|n

µ(d)ⁿ

d, doncϕ(p^k) = Pk j=0

µ(p^j)p^k−j. Or µ(1) = 1,µ(p) =−1 et µ(p^j) = 0 pour toutj >2.

On en d´eduit ϕ(p^k) =µ(1)p^k+µ(p)p^k−1=p^k−p^k−1.

On a donc obtenuϕ(p^k) =p^k−p^k−1 pour tout pde P et toutk deN^∗.[ Q ] (b) Le r´esultat pr´ec´edent s’´ecrit, pour toutp deP et toutn de N^∗ :ϕ(p^k) =p^k

1−¹ p

. On se donne un entiern>2, d´ecompos´e en n= Q

p∈Pn

p^vp(n). Puisqueϕ est multiplicative, on obtient :

ϕ(n) =ϕ Q

p∈Pn

p^vp(n)

= Q

p∈Pn

ϕ(p^vp(n)) = Q

p∈Pn

h p^vp(n)

1−¹ p

i

= Q

p∈Pn

p^vp(n) Q

p∈Pn

1−¹

p

=n Q

p∈Pn

1−¹

p

Par exemple : ϕ(10!) =ϕ(2⁸3⁴5²7) = 10!

1−¹

2 1−¹

3 1−¹

5 1−¹ 7

= 829440.[ Q ]

VII. Quelques formules asymptotiques

1. (a) On commence par ´ecrire

n

P

k=1

τ(k) =

n

P

k=1

P

d|k

1.

La somme est effectu´ee sur des couples (k, d) d’entiers, et la sommeexterne est sur k.

Dans cette double somme, l’entierdpeut prendre toutes les valeurs de 1 `an.

Pour chaque valeur de d, l’entierk prend toutes les valeurs telles qued|ketk6n.

Mais les multiples deddans {1, . . . , n} sontd,2d, . . . , md, avec m=h_n d i

. Autrement dit :

n

P

k=1

τ(k) =

n

P

k=1

P

d|k

1 =

n

P

d=1

P

d|k, k6n

1

=

n

P

d=1

h_n d i

.[ Q ]

(b) Pour d>2, on a Z d+1

d

dt t 6 ¹

d 6 Z d

d−1

dt

t donc ln(d+ 1)−ln(d)6 ¹

d 6ln(d)−ln(d−1).

Par sommation, ln(n+ 1)−ln 26S_n−16lnn et il en r´esulte lim

n→∞

S_n

lnn = 1.[ Q ] (c) On a ´evidemment

n

P

d=1

_n d −1

6

n

P

d=1

h_n d i

6

n

P

d=1

n

d, doncn(S_n−1)6

n

P

k=1

τ(k)6nS_n. Il en r´esulte imm´ediatement lim

n→∞

1 nlnn

n

P

k=1

τ(k) = 1, ce qu’il fallait prouver.[ Q ]

2. (a) On proc`ede par interversion de sommations, comme dans la question (1a) de cette partie.

On trouve

n

P

k=1

σ(k) =

n

P

k=1

P

d|k

d=

n

P

d=1

P

d|k, k6n

d

=

n

P

d=1

d P

d|k, k6n

1

=

n

P

d=1

dh_n d i

[ Q ]

(b) Bien sˆurdh_n d i

=d

n/d

P

k=1

1 =

n/d

P

k=1

d, donc

n

P

k=1

σ(k) =

n

P

d=1 n/d

P

k=1

d.

Cette double somme est ´etendue aux couples (d, k) tels que 16d6net 16k6n/d.

Ce sont les couples d’entiers (d, k) tels que 16dk6n.

Ce sont donc les couples d’entiers (d, k) tels que 16k6net 16d6n/k.

On en d´eduit Pn k=1

σ(k) = Pn k=1

^n/k P

d=1

d

= ¹ 2

Pn k=1

h_n k

ih_n k i

+ 1 .[ Q ] (c) On utilise ´evidemment les encadrements ⁿ

k −16 h_n

k i

6 ⁿ_k. On en d´eduit ¹

2

n

P

k=1

n k

_n k−1

6

n

P

k=1

σ(k)6 ¹₂

n

P

k=1

n k

_n k+ 1

. Apr`es d´eveloppement : ¹

2

n²T_n−nS_n 6

n

P

k=1

σ(k)6 ¹ 2

n²T_n+nS_n .[ Q ] (d) On divise parn² : ¹

2

Tn−^Sn n

6 _n¹₂

n

P

k=1

σ(k)6 ¹₂

Tn+ ^Sn n

. On sait d’apr`es (1b) que ^Sn

n = ^Sn lnn

lnn

n tend vers 0 quandn→ ∞.

Sachant que lim

n→∞T_n= ^π

2

6 , on trouve bien lim

n→∞

σ(1) +σ(2) +. . .+σ(n)

n² = ^π

2

12.[ Q ] 3. (a) On trouve

n

P

k=1

ϕ(k) =

n

P

k=1

P

d|k

µ(d)^k d

=

n

P

d=1

µ(d) P

d|k

k d

Dans la derni`ere somme, `adfix´e, le quotientq=k/dparcourt l’ensemble{1,2, . . . ,[n/d]}.

Ainsi

n

P

k=1

ϕ(k) =

n

P

d=1

µ(d)^n/d P

q=1

q

= ¹ 2

n

P

d=1

µ(d)h_n d

ih_n d i

+ 1

= ¹ 2

n

P

k=1

µ(k)h_n k

i2

+h_n k

i .[ Q ]

(b) On trouve tout d’abord : n²

2 Un−

n

P

k=1

ϕ(k) = ¹ 2

n

P

k=1

µ(k) _n

k 2

− ¹ 2

n

P

k=1

µ(k) h_n

k i2

+ h_n

k i

= ¹ 2

n

P

k=1

µ(k) _n

k 2

−h_n k

i2

−¹ 2

n

P

k=1

µ(k) h_n

k i

On majore lesµ(k) par 1 en valeur absolue, et on utilise h_n

k i

6 ⁿ_k. On obtient

n²

2 U_n− Pⁿ

k=1

ϕ(k) 6 ¹₂

Pn k=1

_n k

2

−h_n k

i2 +¹

2 Pn k=1

h_n k i

. Ensuite on a : 06

_n k

2

−h_n k

i2

= _n

k −h_n k

i _n k +

h_n k

i

6 ⁿ_k + h_n

k i

. On en d´eduit

n² 2 Un−

n

P

k=1

ϕ(k) 6 ¹₂

n

P

k=1

_n k + 2

h_n k

i 6 ¹₂

n

P

k=1

3n

k = ^3nSn 2 . Apr`es division par n² :

1

2U_n− ¹ n²

n

P

k=1

ϕ(k)

6 ^3S_2nⁿ. On sait que lim

n→∞

S_n

n = 0. On en d´eduit lim

n→∞

1 n²

n

P

k=1

ϕ(k) =¹ 2 lim

n→∞U_n= ³ π². [ Q ] (c) Il y an² fa¸cons de choisir le couple (a, b) dans{1, . . . , n}², toutes ´equiprobables.

Cherchons le nombre de couples (a, b) tels quea∧b= 1.

A part le couple (1,1), ce sont des couples (a, b) avec 16a < b ou 16b < a, et il y en a autant d’une sorte que de l’autre. Pour calculer le nombre de couples (a, b) tels que 16a < beta∧b= 1, on effectue un d´enombrement suivant les valeurs de b. Pour chaque b (de b = 2 `a b =n) il y a bien sˆurϕ(b) valeurs possibles.

Ainsi le nombre de couples (a, b) tels que a∧b= 1 est 1 + 2

n

P

k=2

ϕ(k) = 2

n

P

k=1

ϕ(k)−1.

La probabilit´e demand´ee est doncpn= ¹ n²

2

n

P

k=1

ϕ(k)−1

. Puisque lim

n→∞

1 n²

n

P

k=1

ϕ(k) = ³

π², on trouve lim

n→∞pn= ⁶ π².[ Q ]