xi est dans [0, 1] donc xi2 ≤ xi

SOLUTION – 018.

Soit une statistique à une variable X, soit (x_i , n_i) dont les modalités x_i appartiennent toutes à l’intervalle [a , b].

Démontrer que si x et V désignent la moyenne et la variance, on a la majoration : V ≤ (x - a) (b - x).

Soit n l’effectif total.

• Démontrons d ‘abord la propriété lorsque a = 0 et b = 1.

xi est dans [0, 1] donc xi2 ≤ xi .

On a alors V = ¹ ∑ ^{2 − 2 ≤ 1} ∑ ^{n x − x2 =x− x2=x (1−x)}

x n x

n n^{i i i i}

On a bien V ≤ (x−0) (1−x)=(x−a) (b−x).

• Dans le cas général, il suffit de poser . a b

a y x

−

= −

xi est dans [a, b] donc yi est dans [0, 1] et on peut appliquer le résultat précédent à la statistique Y : V (y) ≤ y (1−y). (1)

Or, d’après les propriétés bien connues de la variance et le la moyenne :

V (y) = ( )

) ( ) 1 ( ) (

1

2

2 V x

a b a x V a

b − = −

− et

a b

a y x

−

= − d’où 1 .

a b

x y b

−

= −

− En remplaçant dans (1), on obtient :

2

2 ( )

) )(

) ( ( ) (

1

a b

x b a x a b

x b a b

a x x

V a

b −

−

= −

−

−

−

≤ −

− d’où V(x)≤(x−a)(b−x) ce qu’il fallait démontrer.