Leçon 47
Courbes définies par des équations paramétriques dans le plan.
Vecteur dérivé et tangent. Interprétation cinématique.
Pré-requis : dérivées, limites, développement limité, périodicité, symétries, tangentes
Cadre : On se place dans un plan affine euclidien orienté P muni d’un repère orthonormé direct
(
O,i,j)
I. Courbes planes définies par des équations paramétriques.
Définition
Soient x et y deux fonctions continues sur un intervalle I à valeurs dans R.
On appelle courbe paramétrée Γ, l’ensemble des points M(t) de coordonnées (x(t),y(t)), t I Le système
=
= ) ( ) (
) ( ) (
t g t y
t f t
x , t I est UNE représentation paramétrique Γ dans
(
O,i,j)
Remarques
On associe à M(t), le vecteur OM(t)= x(t).i + y(t).j
Une représentation paramétrique définit une unique courbe mais une courbe admet plusieurs représentations paramétriques.
Exemple
Soit r strictement positif
= Γ =
) sin(
. ) (
) cos(
. ) : (
1 y t r t
t r t
x , t∈[0,π] et
−
= Γ =
²
² ) (
) : (
2 y t r t
t t
x , t [-r,r]
1
2 Γ
Γ et sont deux représentations paramétriques différentes qui représentent la même courbe (un demi-cercle)
II. Vecteur dérivé et tangente
Soient x et y : I → R de classe Ck(I), soit ϕ:It a→
(
Rx²(t),y(t))
, soit M(t0) ∈Γ1. Vecteur dérivé Définitions
On appelle vecteur dérivé en M(t0)d’ordre 1, le vecteur ϕ'(t0)=x'(t).i +y'(t).j On appelle vecteur dérivé en M(t0)d’ordre k, le vecteur ϕ(k)(t0)=
(
x(k)(t0),y(k)(t0))
Définition
Si ϕ'(t0)≠ 0 alors le point M(t0) est dit régulier (ou ordinaire).
Si ϕ'(t0)= 0 alors le point M(t0) est dit stationnaire (ou singulier).
Si il existe (t, t’)∈I² tel que
=
= ) ' ( ) (
) ' ( ) (
t y t y
t x t
x , alors le point M(t0) est dit double.
2. tangente d’une courbe paramétrée en un point
On note ϕ (p)(t0)le premier vecteur non nul dans
ϕ'(t0),ϕ''(t0),...,ϕ(k)(t0)
et ϕ (q)(t0) le premier vecteur non nul suivant tel que ϕ (q)(t0) est non colinéaire à ϕ (p) (t0) Définition
On appelle la tangente à Γ en M(t0), la droite passant par M(t0) et de vecteur directeur ϕ(p)(t0) Remarque
Si t0 un point régulier de I. (c’est-à-dire ϕ'(t0)≠ 0, donc ici p = 1)
La tangente à Γ en M(t0) est la droite passant par M(t0) et de vecteur directeur ϕ'(t0) Explication de la définition
Soit = min ∈
[ ]
1, ( 0)≠ 0 )( t
k i
p ϕ i
Le développement limité à l’ordre k deϕ au voisinage de t0 s’écrit
+ +
+ +
+ +
+ +
=
+ ( )
... ! )
! ( ...
)
! ( ...
) ( ' . ) ( )
( 0 0 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) t0
k t h
q t h
p t h
h t h
t k
k q
q p
p ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ o(hk)
Or par définition, ϕ (p)(t0)est le premier vecteur non nul donc
[
1, 1]
, ( 0) 0)
( =
−
∈
∀k p ϕ k t
d’où + = + + + + + ( )+
... ! )
! ( ...
)
! ( ) ( )
( 0 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) t0
k t h
q t h
p t h h
t k
k q
q p
pϕ ϕ ϕ
ϕ
ϕ o(hk)
) 1
! ( ) ( )
( )
( 0 0 ( ) 0
p o t h
t h
t p
p− = +
+ ϕ ϕ
ϕ
Donc ϕ(p)(t0)est un vecteur directeur de la tangente à Γ en M(t0).
Etude locale
Suivant les parités de p et q, Γ peut présenter au voisinage de M(t0), quatre aspects distincts :
Ecrire le DL deϕ au voisinage de t0 permet de trouver immédiatement p et q et donc d’identifier la nature de M(t0)
Remarques si
≠
= 0 ) (
0 ) (
0 ) (
0 ) (
t y
t x
p p
alors la tangente à Γ en M(t0) est verticale.
si
=
≠ 0 ) (
0 ) (
0 ) (
0 ) (
t y
t x
p p
alors la tangente à Γ en M(t0) est horizontale.
III. Interprétation cinématique
Soient x et y : I → R deux fois dérivables sur I Définitions
On appelle - t, la variable de temps
- M(t), le point mobile repéré par ses coordonnées
) (
) (
t g
t
f en fonction du temps t.
- Γ d’équation t I t g t y
t f t
x ∈
=
= , ) ( ) (
) ( )
( , la trajectoire du mobile M(t) à l’instant t.
- V(t) =
) ( '
) ( '
t y
t
x , le vecteur vitesse à l’instant t.
- A(t) =
) (
"
) (
"
t y
t
x , le vecteur accélération à l’instant t.
La fonction v:t→ V(t) est appelée la vitesse numérique à l’instant t.
Si v est constante, on dit que le mouvement est uniforme.
Si v est strictement croissante, on dit que le mouvement est accéléré.
Si v est strictement décroissante, on dit que le mouvement est retardé.
IV. Etude de courbes paramétrées 1. Plan d’étude
a) recherche de symétrie = réduction de l’intervalle d’étude
*
= +
= +
) ( ) (
) ( ) (
t g T t g
t f T t
f donc ϕ est T-périodique et on étudieϕ pour t ∈ R*.
*
−
=
−
−
=
−
) ( ) (
) ( ) (
t g t g
t f t
f donc Γ est symétrique par rapport à O et on étudieϕ pour t ∈ R*.
*
=
−
−
=
−
) ( ) (
) ( ) (
t g t g
t f t
f donc Γ est symétrique par rapport à l’axe
( )
O, j et on étudieϕ pour t ∈ R*.*
−
=
−
=
−
) ( ) (
) ( ) (
t g t g
t f t
f donc Γ est symétrique par rapport à l’axe
( )
O,i et on étudieϕ pour t ∈ R*.*
=
−
=
−
) ( ) (
) ( ) (
t g t g
t f t
f donc on étudieϕ pour t ∈ R*.
b) tableau de variations de f et g
c) recherche de tangentes horizontales ou verticales
d) étude locale aux points remarquables (point stationnaire, point double…)
identifier la nature de ces points (point d’inflexion, point d’allure ordinaire, point de rebroussement de première ou deuxième espèce)
e) étude de branches infinies
f) allure de Γ dans
(
O,i,j)
2. Exemples de courbes paramétrées a) 1er exemple
Soitϕ:Rt a→
(
Rsin(² t),sin(2t))
. Etudierϕ sur R.b) 2ème exemple
Soitϕ:Rt a→
