Chapitre 2
Nombres complexes
Objectifs
– Connaître une définition des complexes, une interprétation géométrique. Savoir faire des calculs sur les complexes et résoudre les équations du second degré.
– Connaître les notions de conjugaison, de module et d’argument d’un complexe.
– Savoir calculer les racines n-ièmes d’un complexe.
– Connaître la fonction exponentielle complexe.
– Connaître les applications géométriques : affixes, distances, angles, transformations (similitudes directes)...
Plan
2 Nombres complexes 9
I) Construction de l’ensemble des complexes . . . 10
1) Définition . . . 10
2) Opérations sur les complexes . . . 10
3) Notation algébrique des complexes . . . 11
II) Module d’un nombre complexe . . . 12
1) Conjugué d’un nombre complexe . . . 12
2) Module d’un complexe . . . 12
3) Équation du second degré . . . 13
III) Nombres complexes de module1 . . . 13
1) Le groupe unité . . . 13
2) Notation exponentielle . . . 13
3) Formules d’Euler et de Moivre . . . 14
IV) Argument d’un nombre complexe . . . 14
1) Forme trigonométrique . . . 14
2) Exponentielle complexe . . . 15
3) Racines n-ièmes d’un nombre complexe . . . 16
V) Représentation géométrique des complexes, applications . . . 16
1) Affixe . . . 16
2) Distances . . . 17
3) Angles orientés . . . 17
4) Transformations du plan complexe . . . 19
VI) Annexe . . . 19
1) Notion de corps . . . 19
2) Morphisme de corps . . . 20
3) Injection (ou application injective) . . . 20
4) Surjection (ou application surjective) . . . 21
5) Bijection (ou application bijective) . . . 21
6) Notion de groupe . . . 22
VII) Exercices . . . 22
I) Construction de l’ensemble des complexes
1) Définition
NDéfinition 2.1
Un nombre complexe est un couple de réels. L’ensemble des nombres complexes est donc l’ensemble R2. On peut alors écrireC={(x, y) / x, y∈R}, ou encore,∀z∈C, ∃x, y∈R, z = (x, y), de plus les réels x ety sont uniques. Le réel x est appelépartie réelle de z, noté Re(z), et le réely est appelé partie imaginairede z, notéIm(z).
2) Opérations sur les complexes
Nous allons définir dansC, deux opérations (ou lois de composition internes), une addition et une multiplication. Soientz= (x, y) etz0= (x0, y0)deux complexes.
On définit la somme z+z0 en posant :z+z0 = (x+x0, y+y0). On vérifie que cette loi possède des propriétés analogues à celles de l’addition des réels, à savoir :
– l’associativité:∀z, z0, z00∈C, (z+z0) +z00=z+ (z0+z00).
– la commutativité:∀z, z0 ∈C, z+z0 =z0+z.
– il y a un élément neutrequi est le complexe (0,0):∀z∈C, z+ (0,0) = (0,0) +z=z.
– tout complexe zpossède un opposé(noté−z) :∀z= (x, y)∈C, −z= (−x,−y)etz+ (−z) = (−z) +z= (0,0).
On définit le produitz×z0 (ou plus simplementzz0), en posantz×z0 = (xx0−yy0, xy0+x0y). On vérifie que cette loi possède des propriétés analogues à celles de la multiplication des réels, à savoir :
– l’associativité.
– la commutativité.
Construction de l’ensemble des complexes 11
– existence d’un élément neutre, c’est le complexe (1,0).
– tout complexe z non nul (ie z 6= (0,0)) admet un inverse (noté z−1 ou 1
z), et si z = (x, y), alors :
z−1 = ( x
x2+y2, −y
x2+y2) etz×z−1 =z−1×z= (1,0).
– distributivité sur l’addition : ∀z, z0, z00 ∈C, z×(z0+z00) =z×z0+z×z00.
On résume l’ensemble des propriétés de ces deux lois, on disant que(C,+,×)est uncorps com- mutatif. On remarquera que (R,+,×) et(Q,+,×) sont également deux corps commutatifs.
3) Notation algébrique des complexes
Plongement deR dansC. I théorème2.1
La fonctionf :R→C, définie par∀x∈R, f(x) = (x,0), est unmorphisme de corps.
En identifiant tout réelx avec son imagef(x)(ie (x,0)), on peut considérer que Rest inclus dans C. On dit que l’on a plongé R dans C et on dira dorénavant que R est un sous - corps de C. Par exemple, le complexe (1,0)sera noté simplement1 car (1,0) =f(1), de même, le complexe(0,0)est noté simplement0.
NDéfinition 2.2
Les complexes de la forme(0, y) sont appelésimaginaires purs, en particulier, le complexe(0,1)est notéi. On pose donci= (0,1). L’ensemble des imaginaires purs est noté iR.
I théorème2.2
On a l’égalité remarquable i2 =−1. De plus tout complexez s’écrit sous la forme z =x+iy où x est la partie réelle dez ety la partie imaginaire. C’est la notation algébriquede z.
Quelques propriétés :
a) z=z0 ⇐⇒
Re(z) = Re(z0) et
Im(z) = Im(z0) .
b) z∈R⇐⇒ Im(z) = 0.
c) z∈iR⇐⇒ Re(z) = 0.
d) Re(z+z0) =Re(z) +Re(z0)etIm(z+z0) =Im(z) +Im(z0).
e) Si α est unréel, alors Re(αz) =αRe(z), etIm(αz) =αIm(z).
f) Formule du binôme deNewton1 :
∀z, z0∈C, ∀n∈N, (z+z0)n=
∑n k=0
Cknzkz0n−k =
∑n k=0
Cknzn−kz0k.
1NEWTON Isaac(1642 – 1727) : mathématicien et physicien anglais.
II) Module d’un nombre complexe
1) Conjugué d’un nombre complexe
NDéfinition 2.3
Soit z=x+iy un complexe, on appelleconjugué de z, le complexe noté z et défini parz=x−iy.
On a doncRe(z) =Re(z) etIm(z) =−Im(z).
I théorème2.3
Soient z, z0 ∈C, on a : i) z+z0 =z+z0 ii) zz0 =zz0 iii) z=z.
À connaître :
z+z= 2Re(z); z−z= 2iIm(z); z∈R⇐⇒z=z; z est un imaginaire pur ssi z=−z.
2) Module d’un complexe
Soit z=x+iy un complexe, on a z×z=x2+y2 et cette quantité est un réel positif.
NDéfinition 2.4
Soit z∈C, on appellemodule de z, le réel positif noté |z|et défini par : |z|=√ zz.
Propriétés du module : a) |z|= 0⇐⇒z= 0.
b) |Re(z)|6|z|et|Im(z)|6|z|.
c) Si z est réel, alors son module coïncide avec sa valeur absolue.
d) |zz0|=|z||z0|, en particulier,∀n∈N, |zn|=|z|n (ceci reste valable pourn∈Zsiz6= 0).
e) |z|=|z|.
f) ||z| − |z0||6|z−z0|6|z|+|z0|(inégalité triangulaire).
g) Pour mettre le complexe z
z0 sous forme algébrique, il suffit de multiplier en haut et en bas par z0.
I théorème2.4
Soient z etz0 deux complexes non nuls, |z+z0|=|z|+|z0| ssi il existe un réel strictement positif α tel quez=αz0.
Nombres complexes de module 1 13
3) Équation du second degré
I théorème2.5
Soita∈C, l’équationz2 =aadmet dansCdeux solutions opposées (toutes deux nulles lorsque a= 0).
I théorème2.6
Soient a, b, c∈Caveca6= 0, l’équation az2+bz+c= 0 admet deux solutions complexes qui sontz1 = −b+δ
2a etz2 = −b−δ
2a avec δ∈Ctel queδ2= ∆ =b2−4ac(discriminant). De plus, lorsque les coefficients a, b, csont réels et que le discriminantb2−4acest strictement négatif, ces deux solutions sont complexes non réelles et conjuguées.
La somme et le produit de ces deux solutions, sont donnés par les relations : z1+z2 =S =−b a et z1z2 =P = c
a. De plus on a la factorisation : ∀z∈C, az2+bz+c=a(z−z1)(z−z2).
III) Nombres complexes de module 1
1) Le groupe unité
NDéfinition 2.5
On note Ul’ensemble des complexes de module1 :U={z∈C/ |z|= 1}, c’est une partie de C∗.
Il est facile de vérifier que l’ensemble U:
– est stable pour la multiplication :∀z, z0 ∈U, zz0 ∈U.
– est stable pour le passage à l’inverse :∀z∈U, z6= 0 etz−1∈U. – contient1.
De plus, la multiplication dans Uest associative (elle l’est dansC), on dit alors que(U,×) est un groupe multiplicatif. Comme la multiplication est en plus commutative, on dit que (U,×) est un groupe abélien (ou commutatif), ce groupe est parfois appelégroupe unité de C.
2) Notation exponentielle
Notation : Pour tout réel x, on pose eix= cos(x) +isin(x). On a alors les propriétés suivantes : – ∀x∈R, e−ix = cos(−x) +isin(−x) = cos(x)−isin(x) =eix.
– ∀x∈R, |eix|=√
cos(x)2+ sin(x)2 = 1, donceix ∈U.
– ∀x, y∈R, eixeiy= cos(x) cos(y)−sin(x) sin(y) +i[cos(x) sin(y) + sin(x) cos(y)] = cos(x+y) + isin(x+y) =ei(x+y), propriété analogue à celle de l’exponentielle réelle.
– Soit z=x+iy un complexe de module 1, on a x2+y2 = 1, donc il existe un réel θ (unique à 2π près) tel quex= cos(θ) ety= sin(θ), c’est à dire z=eiθ.
– Soitx, y∈R, eix =eiy⇐⇒
cos(x) = cos(y) sin(x) = sin(y)
⇐⇒x=y (2π).
On peut donc énoncer le théorème suivant : I théorème2.7
La fonctionf :R→U, définie par∀x∈R, f(x) =eix, est une application surjective qui vérifie pour tous réels x et y : f(x+y) = f(x)×f(y). De plus, f(x) = f(y) ⇐⇒ x = y (2π), en particulierf(x) = 1⇐⇒x∈2πZ.
Ce théorème permet de retrouver les formules trigonométriques.
3) Formules d’Euler et de Moivre
Formule de Moivre2 :∀n∈Z, ∀x∈R, einx= [eix]n= [cos(x) +isin(x)]n. On en déduit que : cos(nx) =Re([cos(x) +isin(x)]n)et sin(nx) =Im([cos(x) +isin(x)]n).
A l’aide du binôme deNewtonces formules permettent d’exprimercos(nx)etsin(nx)sous forme d’un polynôme encos(x) etsin(x).
Formules d’Euler3 :∀x∈R:cos(x) = eix+e−ix
2 et sin(x) = eix−e−ix 2i . Ces formules permettent la linéarisationde cos(x)n etsin(x)n.
IV) Argument d’un nombre complexe
1) Forme trigonométrique
Soit z ∈U, on sait qu’il existe un réel θ (unique à 2π près) tel que z = eiθ. Si maintenantz est un complexe non nul quelconque alors z
|z| ∈ U et donc il existe un réelθ (unique à 2π près) tel que z
|z| =eiθ, c’est à dire z=|z|eiθ. NDéfinition 2.6
Soit z un complexe non nul, on appelle argument de z tout réel θ tel que z = |z|eiθ, cette égalité est appeléeforme trigonométriquedez. L’ensemble des arguments dezest noté arg(z), on a donc arg(z)={θ∈R/ z=|z|eiθ }, et si θ0 est un argument dez, alors arg(z)={θ0+ 2kπ/ k∈Z }.
NDéfinition 2.7
Soit z∈C∗, zpossède un unique argument dans l’intervalle ]−π;π], par définition cet argument est appeléargument principal dez et noté Arg(z).
2MOIVRE AbrahamDE (1667 – 1754) : mathématicien français, il s’expatria à Londres à l’age de dix-huit ans.
3EULER Léonhard(1707 – 1783) : grand mathématicien suisse.
Argument d’un nombre complexe 15
Propriétés : Soientz, z0 ∈∈C∗ avec θ= Arg(z) etθ0= Arg(z0) : a) z=z0 ⇐⇒
|z| = |z0| θ = θ0 (2π)
. b) z∈R∗ ⇐⇒θ= 0 (π).
c) z=|z|e−iθ doncArg(z) =−θ(2π).
d) −z=|z|ei(θ+π) doncArg(−z) =θ+π (2π).
e) zz0=|zz0|ei(θ+θ0) doncArg(zz0) =θ+θ0 (2π).
f) z z0 = |z|
|z0|ei(θ−θ0) donc Arg(z
z0) =θ−θ0 (2π).
g) ∀n∈Z, zn=|zn|einθ doncArg(zn) =nθ (2π).
Remarque : Soient a,b deux réels non tous deux nuls et soit xinR, en posantz=a+ib=|z|eiθ on obtient :
acos(x) +bsin(x) =Re(zeix) =|z|cos(x−θ) =√
a2+b2cos(x−θ).
2) Exponentielle complexe
NDéfinition 2.8
Soitz=x+iyun nombre complexe, on appelleexponentiellede zle complexe notéexp(z)et défini par :exp(z) =ex[cos(y) +isin(y)].
Remarques:
a) Sizest réel (iey = 0), alors l’exponentielle dezcorrespond à l’exponentielleréelledez. D’autre part on peut écrire (pourx ety réels) exp(x+iy) =exeiy, en particulierexp(iy) =eiy.
b) exp(0) = 1.
c) exp(−z) = 1 exp(z).
d) Re(exp(z)) =eRe(z)cos(Im(z))etIm(exp(z)) =eRe(z)sin(Im(z)).
e) |exp(z)|=eRe(z) etArg(exp(z)) =Im(z) (2π).
f) exp(z) = exp(z).
I théorème2.8
La fonctionexp :C→C∗ est2iπ-périodique, surjective, et vérifie :
∀z, z0 ∈C, exp(z+z0) = exp(z)×exp(z0).
La propriété fondamentale de l’exponentielle complexe (exp(z+z0) = exp(z) exp(z0)) est la même que celle de l’exponentielle réelle. Par analogie, exp(z) sera noté ez. La propriété s’écrit alors : ez+z0 = ez×ez0, et on peut écrire désormais exeiy=ex+iy.
3) Racines n-ièmes d’un nombre complexe
NDéfinition 2.9
Soit a, z0 deux complexes etn∈N, on dit quez0 est uneracine n-ièmede alorsquezn0 =a.
I théorème2.9
Soitnun entier supérieur ou égal à2, etaun complexe non nul. L’ensemble des racines n-ièmes de a(que l’on noteRn(a)) est un ensemble fini de cardinaln, et pour tout argumentθdeaon a :
Rn(a) ={ √n
|a|ei
θ+ 2kπ
n / 06k6n−1}.
Cas particuliers : racines n-ièmes de l’unité :
NDéfinition 2.10
Soit nun entier supérieur ou égal à deux, on note Un l’ensemble des racines n-ièmes de l’unité, on a donc :
Un={z∈U/ zn= 1}={ei 2kπ
n / 06k6n−1}.
Soit aun complexe non nul et soit z0 une racine n-ième de a. L’équation zn=a équivaut àzn=zn0, ou encore[z
z0
]n= 1. On est ainsi ramené aux racines n-ièmes de l’unité, on en déduit quez=z0ei 2kπ
n avec 06k6n−1.
V) Représentation géométrique des complexes, applications
Le plan complexe est un plan P muni d’un repère orthonormé directR= (O,−→u ,−→v ).
1) Affixe
Chaque pointM du plan complexe est repéré par ses coordonnées : une abscisse xet une ordonnée y, c’est à dire par le couple de réels(x, y). Autant dire queM est repéré par lecomplexe z=x+iy.
Par définition, ce complexe est l’affixedu pointM.
Représentation géométrique des complexes, applications 17
M(x, y)
x y
O −→u
−
→v
Réciproquement, tout complexe z est l’affixe d’un point M du plan que l’on appelleimage de z.
Les axes(O,−→u ) et(O,−→v ) sont appelés respectivement axes des réelsetaxe des imaginaires.
Par exemple, l’image de z est le symétrique de l’image dez par la réflexion d’axe (O,−→u ).
De la même façon, chaque vecteur du plan a des coordonnées dans la base (−→u ,−→v ). Si −w→ a pour coordonnées (x, y), cela signifie que −w→=x−→u +y−→v , là encore le vecteur −w→ peut être représenté par le complexe x+iy, ce complexe est appelé affixe du vecteur −w→. Réciproquement, tout complexe z est l’affixe d’un vecteur du plan. On remarquera que l’affixe d’un point M n’est autre que l’affixe du vecteur−−−→
OM .
∗) L’affixe de la somme de deux vecteurs est la somme des affixes. Si α∈R et si−w→ est le vecteur d’affixe z, alors l’affixe du vecteurα−w→ est αz.
∗) Soit M d’affixe z etM0 d’affixe z0, l’affixe du vecteur−−−−→
M M0 estz0−z.
2) Distances
Le module d’un complexe z représente dans le plan complexe la distance de l’origine O au point M d’affixe z, c’est à dire |z|=OM =k−−−→
OM k.
Si−w→est un vecteur d’affixe z, alors la norme de−w→est k−w→k=|z|.
Soit M d’affixe z etM0 d’affixe z0, la distance de M à M0 est M M0 =k−−−−→
M M0 k=|z0−z|. NDéfinition 2.11
Soit ainCetR >0, on définit dans le plan complexe :
– le disque fermé de centre aet de rayonR :{M ∈ P / |z−a|6R}. – le disque ouvert de centre aet de rayonR :{M ∈ P / |z−a|< R}. – le cercle de centre aet de rayonR :{M ∈ P / |z−a|=R}.
3) Angles orientés
Soit z un complexe non nul et M le point du plan d’affixe z, l’argument principal de z est une mesure de l’angle orienté(−→u ,−−−→
OM ), ce que l’on écrit(−→u ,−−−→
OM ) = Arg(z) (2π).
y
O
−
→v
x+iy=reiθ avec r =OM =√
x2+y2
θ
M(x, y)
−
→u x
Soient −w→ et −→
w0 deux vecteurs non nuls d’affixes respectifs z et z0. Désignons par M et M0 les points d’affixes respectifsz etz0, l’angle orienté entre les deux vecteurs−w→ et−→
w0 est : (−w ,→ −→
w0 ) = (−−−→
OM ,−−−→
OM0 )
= (−−−→
OM ,−→u ) + (−→u ,−−−→
OM0 )
= −(−→u ,−−−→
OM ) + (−→u ,−−−→
OM0 )
= −Arg(z) + Arg(z0) (2π)
= Arg(z0 z) (2π)
Conséquence : Soient A, B etC trois points distincts d’affixes respectifs ZA, ZB etZC. L’affixe du vecteur−−→
AB estZB−ZA et celui du vecteur−−→
AC estZC−ZA, par conséquent l’angle(−−→
AB ,−−→
AC ) est donné par :
(−−→
AB ,−−→
AC ) = Arg(ZC−ZA ZB−ZA
) (2π).
Rappels:
– Produit scalaire: soient z=x+iy=reiθ etz0 =x0+iy0 =r0eiθ0 deux complexes non nuls, soient−w→et−→
w0 deux vecteurs d’affixes respectiveszetz0, alors le produit scalaire entre ces deux vecteurs est :
−→ w ·−→
w0 =xx0+yy0 =Re(zz0) =Re(zz0) =rr0cos(θ0−θ).
Ce produit scalaire est nul ssiθ0−θ= π2 (modπ)ce qui revient à dire que(−w ,→ −→
w0 ) = π2 (mod π) ou encore :les deux vecteurs sont orthogonaux.
– Déterminant: soientz=x+iy=reiθ etz0 =x0+iy0 =r0eiθ0 deux complexes non nuls, soient
−→ w et−→
w0 deux vecteurs d’affixes respectiveszetz0, alors le déterminant entre ces deux vecteurs est :
det(−w ,→ −→
w0 ) =xy0−x0y=Im(zz0) =rr0sin(θ0−θ).
Ce déterminant est nul ssiθ0 −θ = 0 (modπ) ce qui revient à dire que (−w ,→ −→
w0 ) = 0 (modπ) ou encore :les deux vecteurs sont colinéaires.
Annexe 19
4) Transformations du plan complexe
– L’image du point M(z) par la translation de vecteur −→
V (z0) est le point d’affixe z0 =z+z0 . – L’image du point M(z) par l’homothétie de centre C(z0) et de rapport λ ∈ R∗ est le point
d’affixe z0 =λ(z−z0) +z0 .
– L’image du point M(z) par la rotation de centre C(z0) et d’angle θ est le point d’affixe z0 =eiθ(z−z0) +z0 .
Quelques transformations de P dans P :
– L’application f :M(z)7→M0(z) est l’identitédu plan, notéeidP.
– L’application f :M(z)7→M0(z) est la réflexion (ou symétrie orthogonale) par rapport à l’axe réel. C’est uneinvolution.
– Soient a∈C∗,b∈C, etf :M(z)7→M0(az+b): – Lorsquea= 1 fest la translation de vecteur−w→(b).
– Lorsque a 6= 1, f est la similitude directe de centre C(z0) avec z0 = 1−ba (point fixe de f), d’angleArg(a)et de rapport |a|, c’est à dire :
CM0=|a|CM, et(−−−→
CM ,−−−→
CM0 ) = Arg(a) (mod 2π).
Comme az+b = a(z−z0) +z0, cette transformation est la composée (commutative) entre l’homothétie de centre C(z0), de rapport |a| et la rotation de centre C(z0), d’angle Arg(a).
C’est une bijection et sa réciproque est la similitude directe de centreC(z0), de rapport |1a| et d’angle−Arg(a).
VI) Annexe
1) Notion de corps
Un corps est un ensemble E muni de deux opérations (ou deux lois de composition), une addition et une multiplication. Ces deux opérations doivent vérifier les propriétés suivantes :
– Pour l’addition :
– elle doit être interne:∀x, y∈E, x+y∈E (on parle alors de loi de composition interne).
– elle doit être associative:∀x, y, z ∈E,(x+y) +z=x+ (y+z).
– elle doit être commutative:∀x, y∈E, x+y=y+x.
– elle doit posséder un élément neutre :∃e∈E,∀x ∈E, e+x =x+e=x. Cet élément est en général noté 0E et appelézéro de E.
– tout élément deE doit avoir unopposé:∀x∈E,∃x0 ∈E, x+x0 =x0+x= 0E. L’opposé de x est en général noté−x.
– Pour la multiplication :
– elle doit être interne : ∀x, y∈E, xy∈E.
– elle doit être associative :∀x, y, z ∈E,(xy)z=x(yz).
– elle doit posséder un élément neutre :∃e∈E,∀x∈E, ex=xe=x. Cet élément est en général noté1E et appeléun de E.
– tout élémentnon nul de E doit avoir un inverse:∀x∈E\ {0E},∃x0 ∈E, xx0 =x0x = 1E. L’inverse de x est en général notéx−1.
– elle doit être distributive sur l’addition :∀x, y, z ∈ E, x(y+z) = xy+xz et(y+z)x = yx+zx.
Lorsque toutes ces propriétés sont vérifiées, on dit(E,+,×)est un corps. Si de plus la multiplication est commutative (∀x, y∈E, xy=yx) alors on dit que(E,+,×)est un corps commutatif. Par exemple, (R,+,×),(Q,+,×),(C,+,×)sont des corps commutatifs, mais (Z,+,×) n’est pas un corps.
Quelques propriétés : Si(E,+,×) est un corps : a) ∀x∈E,0Ex=x0E = 0E.
b) ∀x, y∈E, xy= 0E =⇒x= 0E ou y= 0E. 2) Morphisme de corps
Soient (E,+,×) et (F,+,×) deux corps commutatifs, et soit f :E → F une application. On dit quef est unmorphisme de corpslorsque :
– ∀x, y∈E, f(x+y) =f(x) +f(y) etf(xy) =f(x)f(y).
– f(1E) = 1F.
Quelques propriétés : Soitf :E→E est un morphisme de corps : a) f(0E) = 0F.
b) ∀x∈E, f(−x) =−f(x).
c) ∀x∈E∗, f(x−1) =f(x)−1.
3) Injection (ou application injective)
Soient E etF deux ensembles et soitf :E →F une application (tout élément deE a une et une seule image), on dit que f est une injection(ou une application injective) lorsque :
∀x, y∈E, x6=y=⇒f(x)6=f(y),
ie des éléments distincts ont des images distinctes. Ce qui peut s écrire encore en prenant la contra- posée :
∀x, y∈E, f(x) =f(y) =⇒x=y.
Quelques propriétés :
a) Un morphisme de corps est nécessairement injectif.
b) f :E →F est injective ssi tout élément deF a au plus un antécédent dansE par f.
c) La composée de deux injections est une injection.
Annexe 21
d) Si la composéeg◦f est injective, alors f est injective.
e) f :E →F est injective ssi il existeh:F →E telle que h◦f = idE. 4) Surjection (ou application surjective)
Soient E, F deux ensembles et soit f :E → F une application, on dit que f est une surjection (ou application surjective) lorsquetout élément de F a au moins un antécédent par f, ce qui peut s’écrire de la manière suivante :
∀y∈F,∃x∈E, f(x) =y.
Quelques propriétés :
a) Si la composéef ◦gest surjective, alors f est surjective.
b) La composée de deux surjections est une surjection.
c) f :E →F est surjective ssi il existeh:F →E telle que f◦h= idF. 5) Bijection (ou application bijective)
Soient E, F deux ensembles et f :E → F une application, on dit que f est une bijection (ou application bijective) lorsque tout élément de F a un unique antécédent par f, ce qui peut s’écrire de la manière suivante :
∀y∈F,∃!x∈E, f(x) =y.
Dire que tout élément de F a un unique antécédent revient à dire que tout élément de F a au moins un antécédent et au plus un antécédent. Par conséquent dire quef est bijective revient à dire quef est surjective et injective. On retiendra donc :
f est bijective⇐⇒ f est surjective et injective.
Si f :E→F est une bijection, alors on peut considérer l’application qui va de F vers E et qui à tout élémentx deF associeson unique antécédent par f, cette application est appeléebijection réciproque de f, on la note f−1 :
f−1: F → E
x 7→ y défini par f(y) =x .
On peut aussi écrire (lorsquef est bijective) : ∀x∈F,∀y∈E, f−1(x) =y⇐⇒f(y) =x.
Quelques propriétés :
a) Si f :E →F etg:F →H sont deux bijections, alors la composéeg◦f est une bijection deE vers H, de plus sa bijection réciproque est :(g◦f)−1 =f−1◦g−1.
b) Si f :E →F est bijective, alors f−1◦f = idE etf◦f−1 = idF.
NDéfinition 2.12
Une involution est une application f d’un ensemble E vers lui - même telle que f ◦f = idE. Une telle application est bijective et elle est sa propre réciproque : f−1=f.
6) Notion de groupe
Un groupe est un ensemble non vide Gmuni d’une opération ∗ (ou loi de composition) qui vérifie les propriétés suivantes :
– elle doit être interne : ∀x, y∈G, x∗y∈G.
– elle doit être associative : ∀x, y, z∈G, x∗(y∗z) = (x∗y)∗z.
– elle doit posséder un élément neutre : ∃e∈G,∀x∈G, e∗x=x∗e=x. Si la loi est une addition l’élément neutre sera noté 0G et on parlera de groupe additif. Si la loi est une multiplication, l’élément neutre sera noté1G et on parlera de groupe multiplicatif. Dans le cas général l’élément neutre est souvent notéeG.
– tout élément de G doit avoir un symétrique dans G : ∀x ∈ G,∃x0 ∈ G, x∗x0 = x0∗x = eG. En notation additive, le symétrique de x est appelé opposé de x et noté −x, en notation multiplicative on l’appelle inverse de x et on le notex−1.
Lorsque toutes ces conditions sont remplies, on dit (G,∗) est un groupe. Si en plus la loi ∗ est commutative (∀x, y ∈ G, x∗y =y∗x), alors on dit que (G,∗) est un groupe abélien (ou groupe commutatif).
Quelques propriétés : Soit(G,∗) un groupe :
a) Soientx, y∈G, le symétrique dex∗y est : (x∗y)0 =y0∗x0.
b) Soienta, b∈G, l’équation a∗x=b admet comme unique solution dans G,x=a0∗b.
VII) Exercices
FExercice 2.1
Soit f : C → C définie par : ∀z ∈ C, f(z) = z+i
z−i. Montrer que f induit une bijection de C\ {i}surC\ {1}, déterminer la bijection réciproque. Déterminer la forme algébrique def(z), en déduire l’image réciproque deRet de U.
F Exercice 2.2
Déterminer les complexes ztels que : a) z,1
z et1−z aient le même module.
b) (z−i)(z−1)∈R. c) (z−i)(z−1)∈iR.
Exercices 23
FExercice 2.3
a) Soientu etv deux nombres complexes, montrer que |u|+|v|6|u+v|+|u−v|. b) Soient u et v deux nombres complexes, montrer que |u+v|2+|u−v|2 = 2(
|u|2+|v|2) (formule de parallèlogramme).
c) Soientx, y, z, tdes complexes, montrer que|x−y|×|z−t|6|x−z|×|y−t|+|x−t|×|z−y| (inégalité dePtolémée).
F Exercice 2.4
Déterminer le module et l’argument des complexes suivants : a) (
1 +i√ 3 1−i
)20
b) 1 +eiθ 1−eiθ. FExercice 2.5
a) Soit zun complexe tel que|1 +z|< 1
2, montrer que|1 +z2|>1.
b) Soit zun complexe de module 1tel que |1 +z|<1, montrer que |1 +z2|>1.
c) Soientz1 etz2 deux complexes de même module supérieur à1, montrer que|z1+z2|>1 ou |z21+z22|>1.
F Exercice 2.6
Résoudre dansC les équations suivantes : a) z+ 3
z+i = 1 +i b) (1 +i)z+ (z−i)z= 2i c) z(z−i) = 1 +i 1−i
d) z2 =−z2 e)8z2=z f)8z2 =z−1
g)z2−(2 +iω)z+iω+ 2−ω = 0 h) z4−3iz2+ 4 = 0 i) z4 = 24i−7
j)z6= 1 +i√ 3 1−i√
3 k) z4 = 1−i
1 +i√
3 l)z=zn+1 m)z4−z3+z2−z+ 1 = 0
.
F Exercice 2.7
Résoudre dansC les équations suivantes :
a)1 + 2z+ 2z2+· · ·+ 2zn−1+zn= 0 b)
Arg(z) = −Arg(z+ 1) (2π)
|z| = 1
c)2Arg(z+i) = Arg(z) + Arg(i) (2π) d) (z+i)n= (z−i)n
.
F Exercice 2.8
a) Résoudre dansCl’équation (1−z)2n= (1 +z)2n et calculer le produit des solutionsnon nulles.
b) Soienta∈Retn∈N∗, résoudre l’équation (z+ 1)n=e2ina.
FExercice 2.9
a) Démontrer que
∑n k=1
kik−1= i−nin−(n+ 1)in+1
2 .
b) En déduire une simplification des sommes réelles :
S1 = 1−3 + 5−7 +· · ·+ (−1)p(2p+ 1) et S2 = 2−4 + 6−8 +· · ·+ (−1)p+12p.
F Exercice 2.10
Soitu=e2iπ7, S =u+u2+u4 etT =u3+u5+u6.
a) Montrer que S et T sont conjugués et que la partie imaginaire deS est positive.
b) CalculerS+T etST. En déduire S etT. FExercice 2.11
a) Calculer la somme puis le produit des racines n-ièmes de l’unité.
b) Soit εune racine n-ième de l’unité, simplifier la somme :
∑n k=1
kεk−1.
FExercice 2.12
Soitn∈N∗, calculer (1 +)n,(1 +2)n et(1 + 1)n, en déduire une simplification de
E(n 3)
∑
k=0
C3kn .
FExercice 2.13
Simplifier les sommes suivantes : a)
∑n k=0
Ckncos(x+ky) et
∑n k=0
Cknsin(x+ky) pour xet y réels.
b)
∑n k=0
cos(kx) cos(x)k et
∑n k=0
sin(kx)
cos(x)k pourx réel etcos(x)6= 0.
c)
∑n k=1
1
2kcos(kπ 3).
d)
∑n k=0
cos2(kx) et
∑n k=0
sin2(kx)
F Exercice 2.14
Déterminer dans le plan l’ensemble des points M(z) tels que les trois points A(1), M(z) et B(1 +z2) soient alignés.
F Exercice 2.15
Soient A, B et C trois points du plan d’affixes respectives a, b et c. Montrer que le triangle (A, B, C) est équilatéral direct ssia+b+c2 = 0.
F Exercice 2.16
a) SoitABCD un carré dans le plan complexe. Montrer que si AetB ont des coordonnées entières, alors il en va de même pour C etD.
b) Peut-on trouver un triangle équilatéral dont les trois sommets ont des coordonnées en- tières ?
