CHAPITRE 3 Les vecteurs

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CHAPITRE 3 – Les vecteurs

A) Vecteurs

1) Définition et exemples a) Définition

Soient deux points A et B. On appelle vecteur AB "la flèche" allant de A à B.

Plus précisément, ce qui caractérisera ce vecteur, c'est sa longueur (la longueur AB), sa direction (la droite (AB)), et son sens (de A vers B).

On peut donc dire qu'un vecteur est défini par un réel (sa longueur), une droite (sa direction) et un sens.

Il en résulte immédiatement que deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont même direction, même sens et même longueur.

Un vecteur u peut donc être représenté à partir de n'importe quel point A du plan, le point B étant alors le point situé sur la parallèle en B à la direction de u , à une distance égale à la longueur de

u et du côté indiqué par le sens de u . b) Exemples

Soit A, B, C et D des points du plan :

Tracer les vecteursAB,BC,DC , et donner leurs caractéristiques.

Modèle : DE , qui a pour longueur DE, pour direction (DE) et pour sens "de D à E".

c) Vecteurs particuliers

- Le vecteur nul 0 , qui est le seul vecteur ayant une longueur égale à zéro.

En effet, ayant une longueur nulle, il ne peut avoir ni sens ni direction.

- Le vecteur opposé à AB a même direction, même longueur et sens contraire que AB . C'est donc le vecteur BA.

On note BA=−AB.

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d) Parallélogrammes

Soient A et D deux points distincts (c'est-à-dire que AD ≠ 0), et soient B et C tels que AB=DC≠0 .

Alors, ABCD est un parallélogramme. (démontrez-le !) La réciproque est vraie aussi :

Si ABCD est un parallélogramme, alors AB=DC. (démontrez-le !) En résumé :

ABCD parallélogramme <=>AB=DC<=>AC=DB (<=> veut dire "équivaut à")

2) Coordonnées d'un vecteur a) Définition

Plaçons nous dans un repère (O, I, J) quelconque.

Soit un vecteur u et traçons un vecteur égal à u à partir de l'origine O.

Si l'on appelle M l'extrémité de ce vecteur, les coordonnées de u seront par définition celles de ce point M.

Exemple :

b) Calcul des coordonnées d'un vecteur

Soit le vecteur AB , avec A(x1 ; y1) et B(x2 ; y2).

Les coordonnées de AB seront x2 - x1 et y2 - y1, soit AB (x2 - x1 ; y2 – y1).

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En effet :

Soit M le point tel que OM=AB : le quadrilatère OMBA est un parallélogramme (voir le 1d). Le milieu de [AM] est donc égal au milieu de [OB], ce qui s'écrit, en appelant x et y les coordonnées de M :

x₁x

2 =0x₂

2 donc xx₁=x₂d ' où x=x₂– x₁ , et y₁y

2 =0y₂

2 donc yy₁=y₂d ' où y=y₂– y₁ , CQFD.

c) Longueur d'un vecteur

Dans un repère orthonormé, on peut utiliser la formule de la longueur du segment [AB] pour

calculer la longueur du vecteur AB (notée || AB ||), soit, avec les mêmes notations que ci-dessus :

|| AB || = AB =



^^x2– x₁²y₂– y₁²=



^x²^^y² ^.

3) Addition et soustraction a) Définition 1

La somme de deux vecteurs u etv, notée uv, se définit ainsi : Soit A un point, on trace AB=u puisBC=v et AC sera égal à uv.

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L'égalité ABBC=AC est appelée la relation de Chasles.

Remarque :

Soient u etv deux vecteurs différents non nuls et de direction différente.

Soit A un point, soit B tel queAB=u, D tel que AD=v et C tel que AC=uv.

ABCD est un parallélogramme, car puisque AB=u et AC=uv, on aura BC=v=AD ! b) Définition 2

La différence u –v de deux vecteurs est la somme de u et de l'opposé de v.

u –v=u−v.

En particulier, u –u=0 car ABBA=AA (relation de Chasles) et AA=0 car AA est de longueur nulle.

c) Propriétés

soit u (a ; b) et v (c ; d), on aura u + v = w (a + c ; b + d).

Pour additionner deux vecteurs on additionne leurs coordonnées.

De même, u - v = d (a - c ; b – d).

Pour soustraire deux vecteurs on soustrait leurs coordonnées.

d) Règles de calcul . u−v=u –v

. uv w=uv w

. u –v w=u –v –w . u –v –w= u –vw

B) Produit d'un vecteur par un réel

1) Définition

Soit u un vecteur et k un réel.

Le produit ku de u par k est un vecteur de même direction que u, de longueur |k| fois la longueur

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En particulier, k0 = 0 et 0u = 0 quelque soit k et u.

u i

v j

u=3v i=−2j 2) Propriété

Si on a u (a ; b), on aura : k u (ka ; kb).

3) Règles de calcul

Soit k un réel et u un vecteur.

a) ku=0 si et seulement si k=0 ou u=0 b) kuv=ku kv

c) kl u=kulu d) klu=klu e) 1 × u=u 4) Exemples a) 2AB –AB

3 =2–1

3AB=5 3AB . b) 3AB3BC=3ABBC=3AC.

c) AM

5 =0 équivaut à AM=0 équivaut à A=M d) 5×2AB

5 =2AB

e) AB –4AB=5–4AB=1AB=AB f) x2 i=xi2i

g) 32CD2DA=6CA h) 5AB4BC=AB4AC

C) Colinéarité de deux vecteurs

1) Définition

Deux vecteurs u et v sont colinéaires s'ils ont la même direction.

Si u=AB et v=CD , cela veut dire que (AB) // (CD).

Théorème :

u et v colinéaires équivaut à "il existe un réel k non nul tel que u=kv "

On peut aussi écrire, en abrégé :

u etv colinéaires <=> ∃k∈ℝ^* | u=kv

(∃ signifie "il existe", ∈ veut dire "appartient à", R^* signifie l'ensemble des réels sauf 0, et | veut dire

"tel que")

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Démonstration :

- Sens réciproque <= : si u=kv , par définition du produit par un réel, u et v auront la même direction, donc seront colinéaires.

- Sens direct => : Si u et v sont colinéaires, soit A un point : On trace le vecteur AB=u et le vecteur AC=v .

u et v sont colinéaires, donc (AB) // (AC) or ces droites ont A en commun donc (AB) = (AC) et A, B et C sont colinéaires sur la droite (AB).

Premier cas :

B A C

A est entre B et C. Soit ^k⁼^AB AC On aura AB=−kAC , en effet :

- ÂB⁼_ACÂB^×ÂC

- AB et AC sont de sens opposés - AB et AC ont même direction (AB).

- (-k) est donc la solution.

Deuxième cas :

A B C

On aura AB=kAC , car - ÂB⁼_ACÂB^×ÂC

- AB et AC ont même sens et même direction : k est donc la solution.

2) Parallélisme et colinéarité Théorèmes :

a) (AB) // (CD) <=> Il existe k réel non nul tel que AB=kCD b) A, B et C alignés <=> Il existe k réel non nul tel que AB=kAC Démonstration

a) (AB) // (CD) <=> AB et CD colinéaires <=> AB=kCD b) A, B et C alignés <=> AB et AC colinéaires <=> AB=kAC 3) Colinéarité et coordonnées

a) Théorème :

Deux vecteurs non nuls u (x ; y) et v (x' ; y') sont colinéaires si et seulement si : xy' – x'y = 0

Démonstration :

u et v sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k # 0 tel que u=kv , ce qui équivaut à "x = k x' et y = k y'".

- Sens direct :

Si x' = 0, on aura x = 0, d'où xy' – x'y = 0.

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Sinon, on aura k=x

x^' d'où y=x

x^' y ' donc yx' = xy' et xy' – x'y = 0.

- Sens réciproque :

Si x' = 0, on aura xy' = 0. Or v étant non nul, y' ne peut être égal à zéro aussi. Donc on aura x = 0.

Les deux vecteurs sont alors parallèles à l'axe des ordonnées, donc colinéaires.

Sinon, on aura x ' y=xy ' d'où y=x

x^'y ' et comme on a bien évidemment x= x

x^' x ' , on a bien

u=kv en posant ^k⁼ ^x

x^' , d'où la colinéarité ! b) Exemple :

Parmi les vecteurs suivants, trouver ceux qui sont colinéaires :

u₁3;5 u₂6;9 u₃1;3 u₄1,5;2,5 u₅−5;−15 u₆−6;−10

D) Exercice : vecteurs orthogonaux

Soit deux vecteurs AB et AC de directions perpendiculaires (on dit alors que ces vecteurs sont orthogonaux), de coordonnées respectives (x ; y) et (x' ; y').

1) Exprimer le vecteur BC en fonction de AB et de AC . 2) Calculer les coordonnées de BC .

3) Calculer les carrés des longueurs AB, AC et BC.

4) Écrire la relation de Pythagore dans le triangle ABC.

5) En déduire la condition nécessaire et suffisante pour que ces deux vecteurs soient orthogonaux.