Géométrie vectorielle
Exercice 1
ABCD est un tétraèdre. On désigne par I , J et K les milieux respectifs des arêtes [CD], [BD] et [BC]. On construit les points M , N et P définis par :
⃗AM=2⃗AI , ⃗AN=2⃗AJ et ⃗AP=2⃗AK
1. Démontrer que les quadrilatères ABPC , ACMD et ABND sont des parallélogrammes.
2. En déduire que les segments [BM], [CN] et [DP] ont le même milieu.
Exercice 2
ABCDEFGH est un cube. Soit K le point défini par : ⃗BK=2
3⃗BD+1 3⃗DE . 1. Démontrer que 3⃗AK=⃗AB+⃗AD+⃗AE .
2. Démontrer que ⃗AB+⃗AD+⃗AE=⃗AG .
3. En déduire que les points A , K et G sont alignés.
Exercice 3
ABCDEFGH est un cube. On appelle I le centre de la face BCGF . Le point M est défini par la relation ⃗MA+2⃗MI=⃗0 .
Démontrer que les points B , M et H sont alignés.
Exercice 4
Soit A , B , C trois points non alignés de l’espace. On appelle I le milieu de [BC]. Le point G est tel que : ⃗GA+⃗GB+⃗GC=⃗0 .
1. Démontrer que ⃗GB+⃗GC=2⃗GI .
2. En déduire que les points G , A et I sont alignés et que G est le centre de gravité du triangle ABC .
Exercice 5
Soit ABCD un tétraèdre. On considère les points K , L et E définis par :
⃗AK= 1
4⃗AB , ⃗AL=1
2⃗AC+1
4⃗CD et ⃗BE=3
2⃗BC+3 4⃗CD 1. Démontrer que ⃗KE=−3
4⃗AB+3
2⃗AC+3 4⃗CD . 2. Exprimer ⃗KL en fonction de ⃗AB , ⃗AC et ⃗CD . 3. En déduire que les points K , L et E sont alignés.
Exercice 6
Soit ABCDEFGH un cube. M et N sont les points définis par ⃗AM=3⃗AC et ⃗AN=3 2⃗AE . Démontrer que les points M , N et G sont alignés.
Exercice 7
Soit SABC un tétraèdre et I , J , K et L les milieux respectifs de [SA], [SB], [SC] et [BC]. 1. Démontrer que les vecteurs ⃗IJ , ⃗KL et ⃗SC ne sont pas colinéaires.
2. Démontrer que les vecteurs ⃗BJ , ⃗KL et ⃗KS sont coplanaires.
Exercice 8
Soit ABCD un tétraèdre, K le milieu de [AD] et J le milieu de [AC]. On définit E et F par :
⃗DE=3
2⃗DC et ⃗AF=⃗BE 1. Exprimer ⃗BA+⃗BD en fonction de ⃗BK .
2. Démontrer que ⃗BF−2⃗BK=3⃗KJ .
3. En déduire que les vecteurs ⃗BK , ⃗BJ et ⃗BF sont coplanaires.
4. Que peut-on dire des points B , K , J et F ? Exercice 9
ABCD est un tétraèdre. On considère les points M , N , P et Q définis pas :
⃗AM=1
2⃗AB , ⃗AN=3
4⃗AC , ⃗AP=−⃗AB+ 9
2⃗AC−⃗AD et ⃗AQ=1 3⃗AD .
1. Exprimer les vecteurs ⃗MN , ⃗MP et ⃗MQ en fonction des vecteurs ⃗AB , ⃗AC et ⃗AD . 2. Déterminer le vecteur 6⃗MN−3⃗MQ .
3. En déduire que les vecteurs ⃗MP , ⃗MN et ⃗MQ sont coplanaires.
4. Que peut-on dire des points M , N , P et Q ? Exercice 10
ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle. On considère les points I , J et K tels que :
⃗EI=1
4⃗EH , ⃗GJ=3
4⃗GF et ⃗AK=3 4⃗AD 1. Démontrer que ⃗IJ=⃗HG .
2. Démontrer que les plans (AIJ) et (GHK) sont parallèles.
Exercice 11
ABCD est un tétraèdre. Soit le point I , milieu de [BC]. Le point G est le centre de gravité du triangle ABC ,
c'est-à-dire que ⃗GA+⃗GB+⃗GC=⃗0 . On considère le point K tel que :
⃗KA+⃗KB+⃗KC+⃗KD=⃗0 .
1. Démontrer que : 3⃗KG+⃗KD=⃗0 .
2. En déduire que les points K , G et D sont alignés.
3. Trouver le réel k tel que ⃗DK=k⃗DG , puis placer K sur la figure ci-contre.
Exercice 12
ABCDEFGH est un cube. On considère I le milieu de [AB] et J celui de [EH]. 1. Démontrer que ⃗IJ=⃗AE+1
2⃗BD . 2. En déduire que 2⃗IJ=⃗AE−⃗HB . 3. Pourquoi peut-on en déduire que les vecteurs ⃗AE , ⃗HB et ⃗IJ sont coplanaires ?
Exercice 13
ABCDEFGH est un cube. Les points I et J sont tels que : ⃗DI=1
3⃗DC et ⃗BJ=2 3⃗BC . 1. Exprimer chacun des vecteurs ⃗HI , ⃗EG et ⃗GJ en fonction des vecteurs ⃗AB , ⃗AD et ⃗AE . 2. Déterminer deux réels x et y tels que ⃗HI=x⃗EG+y⃗GJ .
3. Que peut-on en déduire pour la droite (HI) et le plan (EGJ) ? Exercice 14
Soit les points A(−1 ;3 ;4), B(7 ;6 ;1) et C(0 ;2 ;−5) de l'espace.
Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
Exercice 15
Soit les points A(−2;−1 ;6), B(1 ;3;5) et C(13;19 ;1) de l'espace.
Démontrer que les points A , B et C sont alignés.
Exercice 16
On considère les points A(−1 ;−4 ;5), B(2 ;0 ;3), C(−8;−11 ;8) et D(−4 ;−15 ;12) de l'espace.
1. Déterminer les coordonnées du point M défini par ⃗CM= 1 4⃗CD . 2. En déduire que les points A , B et M sont alignés.
Exercice 17
Soit les points A(9 ;27 ;−11), B(1 ;−5 ;1), C(−2 ;3 ;4), D(−14;−1 ;22) et G(1 ;−1; 4) de l'espace.
1. Déterminer les coordonnées des points K et L tels que ⃗BA=4⃗BL et ⃗CK=−1 2⃗CD . 2. En déduire que les points G , K et L sont alignés.
Exercice 18
On considère le tétraèdre ABCD avec A(1; 2; 3), B(4;−5 ;6), C(0 ;0 ;3) et D(7 ;8 ;−9). On note I le milieu de [AB] et J le milieu de [CD].
1. Déterminer les coordonnées des points E et F tels que IACE et IBDF soient des parallélogrammes.
2. Montrer que J est le milieu de [EF]. Exercice 19
On considère les points A(0 ;0 ;3), B(0 ;0 ;0), C(2 ;3 ;−1) et D(−1;5 ;1) de l'espace.
1. Déterminer les coordonnées du point G défini par ⃗AG= 1
12⃗AB+1
4⃗AC+1 2⃗AD . 2. Déterminer les coordonnées du point I tel que ⃗AB=3⃗AI et du point K milieu de [CI]. 3. Montrer que G est le milieu de [DK].
Exercice 20
1. On considère les points A(1; 2; 3), B(3 ;2 ;6), C(1; 4 ;2) et D(−1; 4 ;−1). Démontrer que les points A , B , C et D sont coplanaires.
2. On considère les points A(−4 ;5;−1), B(−1;5 ;−4), C(−2 ;12; 4) et D(4;12 ;−2). Démontrer que les points A , B , C et D sont coplanaires.
Exercice 21
Soit A(1; 2; 4), B(3 ;1; 3) et C(2 ;6 ;5) trois points de l'espace.
1. Démontrer que A , B et C ne sont pas alignés.
2. Déterminer le réel x pour que le point D(x;−2 ;2) appartienne au plan (ABC). Exercice 22
1. On donne les points A(1;−1 ;2), B(0 ;5 ;3), C(4 ;−19 ;−1). Ces points sont-il alignés ? 2. On donne les points A(3; 2 ;2), B(−1;−4 ;4), C(1; 0 ;1) et D(3 ;3 ;1).
Les droites (AB) et (CD) sont-elle parallèles ?
3. La droite d est dirigée par ⃗u(2 ;−1; 3) et la droite d ′ est dirigée par ⃗v(−4 ; 2;−6). Quel théorème vous permet d’affirmer que ces deux droites sont parallèles ?
Exercice 23
On donne les points A(3; 0; 4), B(2 ;3 ;1), C(−1; 2; 3) et D(0 ;−1 ;6).
Justifier que ces quatre points sont coplanaires puis déterminer la nature du quadrilatère ABCD . Exercice 24
On donne les points A(0 ;1; 3), B(
√
2 ;0 ; 2) et C(√
2 ;2 ; 2). Quelle est la nature de ABC ? Exercice 25Soit A(1; 2; 5), B(4; 6; 4), et C(6 ;2 ;6) trois points de l'espace.
Calculer les longueurs AB et AC . En déduire la nature du triangle ABC . Exercice 26
1. On donne les points A(5;1 ;3), B(5 ;−3;−1), C(1; 1;−1) et D(1 ;−3;3). Démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier, c’est à dire que toutes ses faces sont des triangles équilatéraux.
2. On considère les points A(3; 2 ;1), B(10 ;6 ;−1), C(9 ;8;−9) et D(2 ; 4 ;−7). Démontrer que le quadrilatère ABCD est un losange.
3. On donne les points A(2 ;3 ;−1), B(2 ;8 ;−1), C(7 ;3 ;−1) et D(2 ;−1 ;2). Démontrer que les points B , C et D sont sur une même sphère de centre A . Exercice 27
Soit ⃗u(1;1 ;0), ⃗v(0 ;1 ;1) et ⃗w(2 ;3 ;4) trois vecteurs de l'espace.
1. Démontrer que les vecteurs ⃗u , ⃗v et ⃗w ne sont pas coplanaires.
2. Déterminer l'expression de ⃗z(4 ;2 ;1) en fonction des vecteurs ⃗u, ⃗v et ⃗w. Exercice 28
Soit ⃗u(−2; 3;1), ⃗v(1 ;0 ;3) et ⃗w(1; 2 ;−1) trois vecteurs de l'espace.
1. Démontrer que les vecteurs ⃗u , ⃗v et ⃗w ne sont pas coplanaires.
2. Déterminer l'expression de ⃗z(1 ;7 ;2) en fonction des vecteurs ⃗u, ⃗v et ⃗w . Exercice 29
Soit P un plan et A et B deux points de l'espace.
On appelle P plan médiateur de [AB] le plan dont les points sont équidistants de A et de B . Le plan P est ainsi perpendiculaire au segment [AB] en son milieu.
On donne les points A(5; 2 ;−1) et B(3 ;−1;1). Indiquer parmi les points suivants ceux qui appartiennent au plan médiateur de [AB] :
1. C(−2 ;5; 2) 2. D(1 ;1;3) 3. E(3; 2;1)
Exercice 30
Dans un repère
(
O;i⃗,⃗j,⃗k)
de l’espace, on donne les points A(5; 0; 0), B(2 ;−1 ;1), C(10 ;1;−2) et D(3 ;2 ;1). On définit I le milieu du segment [BC], L le point tel que 3⃗AL=⃗AD et G le centre de gravité du triangle BCD .1. Démontrer que les vecteurs (⃗AB,⃗AC,⃗AD) forment une base de l’espace.
2. Dans le repère (A ;⃗AB ,⃗AC,⃗AD), démontrer que les droites (AI) et (GL) sont parallèles.
Exercice 31
ABCD est un tétraèdre. I et J sont les milieux respectifs des arêtes [BC] et [AD]. G est le centre de gravité du triangle BCD . On pose :
⃗u=⃗AB+⃗AC+⃗AD
On se propose de démontrer de deux façons que les vecteurs ⃗u, ⃗IJ et ⃗DG sont coplanaires.
Première méthode :
1. a. Exprimez le vecteur ⃗IJ en fonction des vecteurs ⃗AB , ⃗AC et ⃗AD . b. Exprimez le vecteur ⃗DG en fonction des vecteurs ⃗AB , ⃗AC et ⃗AD . 2. En déduire deux nombres réels a et b tels que ⃗u=a⃗IJ+b⃗DG . Conclure.
Deuxième méthode : On munit l’espace du repère (A ;⃗AB,⃗AC,⃗AD). 1. a. Déterminez les coordonnées des points I , J et G dans ce repère.
b. En déduire les coordonnées des vecteurs ⃗u, ⃗IJ et ⃗DG . 2. Conclure.
Exercice 32
Soit d la droite passant par le point A(2 ;7 ;−1) et de vecteur directeur ⃗u(1; 2;−2). 1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite d .
2. Déterminer le point d'ordonnée 3 de la droite d . Exercice 33
Donner une représentation paramétrique de la droite (AB) dans les cas suivants : 1. A(1; 2; 3) et B(−1;3 ; 4) 2. A(0 ;0 ;1) et B(1 ;2 ;0) 3. A(2 ;3 ;−2) et B(2 ;1 ;11) 4. A(1; 0; 0) et B(0 ;0 ;3) Exercice 34
La droite Δ a pour représentation paramétrique :
{
x=y=−2z=1−54++t , t3tt ∈ℝ1. a. Déterminer le point I de Δ de paramètre 0.
b. Déterminer un vecteur ⃗u directeur de Δ. c. Justifier qu’il existe un point de Δ d’abscisse 5.
2. La droite ∆ passe-t-elle par le point A
(
−10 ; 163 ;−14 3)
.Exercice 35
Soit les points A(1; 2;−3), B(5 ;2 ;3) et C(−1; 4 ;7) de l'espace. On appelle d la droite passant par le point A et parallèle à (BC). Déterminer une représentation paramétrique de la droite d .
Exercice 36
Soit d la droite de représentation paramétrique :
d:
{
xyz=1−5=4+3=−2+t , ttt ∈ℝ 1. Le point A(−2;−4 ;13) appartient-il à la droite d ?2. Soit les points B(1 ;4 ; 2) et C(−11;0 ; 22). La droite (BC) est-elle parallèle à la droite d ? 3. Écrire une représentation paramétrique de la droite (BC).
Exercice 37
Soit d la droite de représentation paramétrique :
d:
{
x=1−2y=5z=3t , t t∈ℝ 1. Le point A(3;5 ;3) appartient-il à la droite d ?2. Soit les points B(2 ;3 ;5) et C(10 ;−17;5). La droite (BC) est-elle parallèle à la droite d ? 3. Écrire une représentation paramétrique de la droite (BC).
Exercice 38
On donne les droites d et d ′ de représentations paramétriques suivantes : d:
{
x=6−3y=−7+z=−1+tt2t , t∈ℝet d ':
{
xyz=−5+2=−3+k=−3, k k∈ℝDémontrer que ces droites sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.
Exercice 39
On donne les droites d et d ′ de représentations paramétriques suivantes : d:
{
x=1+y=2+z=1−644ttt , t∈ℝet d ':
{
xyz=−6+2=15+=8−k ,k k k∈ℝDémontrer que ces droites sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.
Exercice 40
On considère la droite d passant par le point A(0 ;2 ;3) et de vecteur directeur ⃗u(1;1 ;1) et la droite d ' passant par les points B(2 ;0 ;−1) et C(4 ;−2; 2).
Étudier la position relative de ces deux droites.
Exercice 41
On donne les droites d et d ′ de représentations paramétriques suivantes : d:
{
x=1+4y=−1+t , t∈ℝtz=2−t
et d ':
{
xyz=−2+3=2=3+kk , k k∈ℝDémontrer que ces droites ne sont pas coplanaires.
Indication : Démontrer que les droites ne sont pas parallèles, puis qu'elles n'ont pas de point commun, en résolvant un système de trois équations à deux inconnues t et k .
Exercice 42
Soit les points A(1;1 ;1), B(2 ;3 ; 4) et C(4 ;5 ;6) de l'espace.
1. Justifier que les points A , B et C ne sont pas alignés.
2. Écrire une représentation paramétrique du plan (ABC). Exercice 43
On donne les points A(2 ;1; 0), B(0 ;1 ;1) et C(0 ;3 ;2) de l'espace.
1. Démontrer que les points A , B et C ne sont pas alignés.
2. Vérifier que les vecteurs ⃗AB , ⃗AC et ⃗k ne sont pas coplanaires.
3. La droite passant par O dirigée par ⃗k coupe le plan (ABC) au point E . Calculer les coordonnées de E .
Exercice 44
1. Démontrer que les trois points A(−1 ;2 ;5), B(1 ;0 ;−2) et C(0 ;2 ;−3) définissent un plan.
2. Déterminer une représentation paramétrique de ce plan.
3. a. Prouver que les plans (ABC) et (O;i⃗,⃗j) ne sont pas parallèles.
b. En déduire une représentation paramétrique de la droite Δ, intersection de ces deux plans.
Exercice 45
Soit
(
O;i⃗,⃗j,⃗k)
un repère de l'espace et les points A(2 ;−5; 4), B(4; 2 ;−1) et C(8; 1;0). 1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite d passant par C et parallèle à (AB). 2. Déterminer le point d'intersection entre d et le plan P passant par A et dirigé par les vecteurs⃗j et ⃗k . Exercice 46
Soit P le plan et d la droite de représentations paramétriques respectives suivantes : P :
{
x=3+ty=−1+z=t+t '2t ' , (t ;t ')∈ℝ2et d:
{
x=1+y=−5+z=−5+2k3k , kk ∈ℝ 1. Le point A de paramètre 0 de d appartient-il à P ?2. Démontrer que d et P sont sécants.
Exercice 47
Soit P le plan et d la droite de représentations paramétriques respectives suivantes : P :
{
x=t−t 'y=1+t ' ,z=4−t (t ;t ')∈ℝ2 et d:{
x=2y=3z=3+2−kk , kk ∈ℝ1. Le point A de paramètre 0 de d appartient-il à P ? 2. Démontrer que d et P sont sécants.
Exercice 48
Soit
(
O;i⃗,⃗j,⃗k)
un repère de l'espace et les points A(−1 ;3 ;2) et B(2 ;1 ;−2). Déterminer l'intersection de la droite (AB) avec le plan passant par O et dirigé par les vecteurs ⃗i et ⃗j.Exercice 49
Soit P le plan et Δ la droite de représentations paramétriques respectives suivantes : P :
{
x=ty=1+t ' ,z=4−t−t ' (t ;t ')∈ℝ2 et d:{
x=2−ky=3z=3+2k , kk ∈ℝ1. Démontrer que Δ coupe P .
2. On appelle S le point d'intersection de Δ et P . Déterminer les coordonnées du point S . Exercice 50
L’espace est rapporté à un repère
(
O;i⃗,⃗j,⃗k)
. On note d1 la droite passant par les points A(1;−2;−1) et B(3 ;−5;−2).1. Démontrer qu’une représentation paramétrique de d1 est : d1:
{
x=1+y=−2−3t , t2t ∈ℝz=−1−t 2. d2 est la droite de représentation paramétrique :
d2:
{
x=y=−1+z=−s2−s 2s , s∈ℝDémontrer que les droites d1 et d2 ne sont pas coplanaires.
3. On considère le plan P passant par le point C(0 ;−3 ;0) et dirigé par les vecteurs ⃗u(1;−4 ;0) et
⃗v(0 ;−5 ;1).
a. Démontrer que le plan P contient la droite d1.
b. Démontrer que le plan P et la droite d2 se coupent en un point D dont on déterminera les coordonnées.
Problèmes
Problème 1 ...Intersection...
On considère un cube ABCDEFCH donné ci-après.
On note M le milieu du segment [EH], N celui de [FC] et P le point tel que ⃗HP=1 4⃗HG . Partie A : Section du cube par le plan (MNP)
1. Justifier que les droites (MP) et (FG) sont sécantes en un point L . Construire le point L . 2. On admet que les droites (NL) et (CG) sont sécantes et on note T leur point d’intersection.
On admet que les droites (NL) et (BF) sont sécantes et on note Q leur point d’intersection.
a. Construire les points T et Q en laissant apparents les traits de construction.
b. Construire l’intersection des plans (MNP) et (ABF).
3. En déduire une construction de la section du cube par le plan (MNP). Partie B
L’espace est rapporté au repère (A ;⃗AB,⃗AD ,⃗AE).
1. Donner les coordonnées des points M , N et P dans ce repère.
2. Déterminer les coordonnées du point L .
Problème 2 ...Vrai ou faux...
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Soit
(
O;i⃗,⃗j,⃗k)
un repère de l'espace et les points A(1; 2; 5), B(−1;6 ; 4) et C(7 ;−10; 8). Proposition 1 : Les points A , B et C définissent un plan.Proposition 2 : Une représentation paramétrique de la droite (AC) est
{
x=y=−3z=−3232t−5t+14t+2, t∈ℝ Problème 3 ...Une histoire de pyramide...On considère la pyramide régulière SABCD de sommet S constituée de la base carrée ABCD et de triangles équilatéraux représentée ci-dessous.
Le point O est le centre de la base ABCD avec OB=1 .
On rappelle que le segment [SO] est la hauteur de la pyramide et que toutes les arêtes ont la même longueur.
1. Justifier que le repère (O;⃗OB,⃗OC,⃗OS) est orthonormé.
Dans la suite de l’exercice, on se place dans le repère (O;⃗OB,⃗OC,⃗OS). 2. On définit le point K par la relation ⃗SK=1
3⃗SD .
a. Déterminer les coordonnées du point K et on note I le milieu du segment [SO]. b. En déduire que les points B , I et K sont alignés.
c. On note L le point d’intersection de l’arête [SA] avec le plan (BCI). Justifier que les droites (AD) et (KL) sont parallèles.
d. Déterminer les coordonnées du point L .
