Etude expérimentale de l'effet laser dans des microsphères de silice dopées avec des ions neodyme

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microsphères de silice dopées avec des ions neodyme

François Treussart

To cite this version:

François Treussart. Etude expérimentale de l’effet laser dans des microsphères de silice dopées avec des ions neodyme. Physique Atomique [physics.atom-ph]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 1997. Français. �tel-00011781�

DE

L’ÉCOLE

NORMALE

SUPÉRIEURE

LABORATOIRE

KASTLER

BROSSEL

Thèse de Doctorat

de

l’Université Pierre

et

Marie Curie

_{(Paris 6)}

Spécialité:

Physique

Quantique

présenté

par

François

TREUSSART

pour obtenir le titre de

Docteur de

l’Université

Paris VI

Sujet

de la thèse:

Étude expérimentale

de

l’effet

laser dans des

microsphères

de

silice

_dopées

avec

des ions

néodyme

Soutenue

le 12

décembre

1997

devant

le

_jury

_composé

de:

M.

J.

_Zyss

_Rapporteur

M.

M.

Orrit

_Rapporteur

M.

A.

_Aspect

Mme

V.

_{Lefèvre-Seguin}

DE

L’ÉCOLE

NORMALE

SUPÉRIEURE

LABORATOIRE

KASTLER

BROSSEL

Thèse de

Doctorat

de

l’Université Pierre

et

Marie Curie

_{(Paris 6)}

Spécialité:

Physique Quantique

présenté

par

François

TREUSSART

pour

obtenir le titre de

Docteur de l’Université Paris VI

Sujet

de la

thèse:

Étude expérimentale

de

l’effet laser dans des

microsphères

de

silice

_dopées

avec

des ions

néodyme

Soutenue

le 12

décembre 1997

devant

le

_{jury composé}

de:

M.

J.

_Zyss

_Rapporteur

M.

M.

Orrit

_Rapporteur

M.

A.

_Aspect

Mme

V.

_{Lefèvre-Seguin}

Remerciements

Les travaux décrits dans ce document on été menés au Laboratoire KASTLER BROSSEL

du

_Département

de

_Physique

de l’ENS

Je remercie les directeurs successifs de ce

laboratoire,

Jacques

DUPONT-ROC

puis

Mi-chèle

_LEDUC,

de

_m’y

avoir accueilli et d’avoir veillé à mon devenir en se montrant

_toujours

disponibles

quand j’ai

sollicité leur avis et leurs conseils.

J’exprime

ma

profonde

gratitude

à

Serge

HAROCHE,

directeur de cette thèse. Il m’a

tout d’abord accordé sa

confiance,

et a fait preuve d’un enthousiasme sans cesse croissant

pour nos

"petites billes", malgré

la relative lenteur de notre progression. Les conseils très éclairés et le soutien

_quotidien

de Jean-Michel RAIMOND à _qui aucun des moindres détails

de notre

_expérience

n’a _jamais

_échapé

furent _{toujours décisifs. Je} lui suis

_{profondément}

reconnaissant de l’intérêt

_qu’il

a _toujours

_témoigné

en

s’impliquant

directement dans les

développements

aussi bien

théoriques qu’expérimentaux.

Aux côtés de

Jean-Michel,

Michel

BRUNE a

également

fait _preuve d’un

grand

intérêt pour notre

expérience.

J’ai appris à

mieux connaître l’homme timide au fil des ans et à

_apprécier

sa

personalité

très chaleureuse

J’ai eu l’immense honneur d’être encadré au

_quotidien

_par Valérie LEFÈVRE et Jean HARE Ils m’ont tous les deux initié au monde des

microsphères

de

silice,

et

appris

le métier

d’expérimentateur

Ils

_{représentèrent}

et

_{représentent}

encore _pour moi une référence pour la _pratique du métier de chercheur Mais au delà de leurs immenses

_{qualités scientifiques,}

c’est leur chaleur humaine

_qui

m’a

_{profondément}

touché et m’a rendu la tache bien

_plus

aisée alors que

j’étais

encore assez farouche Je tiens tout

particulièrement

à les remercier

pour l’aide

précieuse qu’ils

m’ont

apporté

dans la rédaction et la relecture du manuscrit. Jean est a

_l’origine

du modèle de double

sphère présenté

dans le

Chapitre

2 et c’est avec son

_généreux

concours _que ce

_chapitre

a _pu être

_rédigé

Enfin, l’expérience précieuse

de

Valéne dans le domaine

_cryogénique

nous a permis d’avancer très rapidement la dernière

étape

de cette thèse elle a d’abord fourni la base du _montage

(son

_cryostat de

thèse !)

puis m’a fait

_profiter

de ses conseils très avisés _pour le "remettre en forme"

Notre

_équipe

eut la chance d’être renforcée par de nombreux

post-docs

et visiteurs

Je remercie David WEISS et

_{plus particulièrement}

Vahid SANDOGHDAR pour avoir

_guidé

mes _premiers pas dans mon travail de thèse Je suis très admiratif devant le travail de

Laurent

COLLOT, qui

venait d’achever sa thèse dans notre

_équipe

et laissait un

dispositif

expérimental

opérationnel

et aisé

_{d’utilisation, qu’il}

n’avait malheureusement pas eu le

temps

d’exploiter complètement

J’ai eu l’immense bonheur de travailler dans la même

pièce

que Ed

HAGLEY,

en _stage

post-doctoral

_pour

plus

de deux ans dans

_l’équipe

de

Serge

HAROCHE Il

_s’agit

d’une _personne vraiment hors du commun à tout _point de vue.

À

son _contact,

j’ai

_appris le sens du travail bien fait. Il n’a

jamais

ménagé

son _{temps pour}

m’apporter

un _coup de main

quand

tout allait mal alors

_qu’il

travaillait sur une

expérience

indépendante

avec une forte pression qui pesait sur lui. Nous sommes devenus de très bons

amis, et je me souviendrais

longtemps

des moments _que nous avons

passés

ensemble au

Laboratoire bien

sûr,

et aussi souvent que

possible,

dans d’autres contextes

Une telle chance n’arrivant jamais

seule, j’ai

aussi eu l’honneur de travailler aux côtés

de Jonathan

_{KNIGHT, également}

en _stage

_{post-doctoral}

dans notre

_équipe

Sa _rigueur

expérimentale

fut pour moi un modèle Nous avons eu de nombreuses discussions sur nos

expériences

respectives. Au delà de nos recherches nous nous sommes aussi découverts une _{passion commune,} celle de la randonnée en _montagne et avons eu l’occasion de _partir

ensemble satisfaire ce

gôut

des

grandes

étendues verticales.

La chance a continué à me sourire lors de ma dernière année de

_thèse,

durant

_laquelle

j’ai

fait la connaissance de Vladimir

_ILCHENKO,

en visite dans notre

_équipe.

Il est à

_l’origine

des

_{premières expériences}

sur les

_{microsphères}

de silice à Moscou. Nous avons travaillé

ensemble à deux _reprises durant trois mois Vladimir m’a considérablement aidé dans

la _conception et la réalisation du _montage

_cryogénique

Il

_possède

une adresse hors du commun dans les

micromanipulations

_qui nous a tous laissés admiratifs Nous avons tentés de rivaliser avec lui mais en vain1Vladimir est _par ailleurs une personne très attachante

C’est à

_{Jean-François}

ROCH _{que je} dois

_plus

encore. Alors

chargé

de

recherche,

il a

rejoint

notre

_équipe

à la fin de ma thèse. C’est

ensemble,

avec

Vladimir,

_que nous avons

tiré les meilleurs résultats de

_{l’expérience}

_{cryogénique.}

Aux côtés de

_{Jean-François,}

_par

son exigence extrème,

j’ai

_appris à _soigner encore

plus

notre

_travail,

à le rendre

_plus

clair

encore. Nous avons au fil du _{temps pris}

_goût

à travailler

ensemble,

si bien

qu’il

m’a

proposé

de le suivre dans une nouvelle aventure à l’ENS Cachan et m’a ainsi fourni une

opportunité

exceptionnelle

d’être recruté _peu de _temps

_après

avoir soutenu ma thèse.

Enfin,

je

tiens à

_signaler

le

_plaisir

_que

_j’ai

eu de cotoyer Ferdmand SCHMIDT-KALLER

et

_Christophe

WUNDERLICH

_qui

faisaient leur _stage

_{post-doctoral}

sur

l’expérience

micro-onde de notre

_équipe

En

_plus

des nombreux chercheurs

_{expérimentés}

_qui m’ont

_{entouré, j’ai}

eu l’immense

bonheur d’avoir des compagnons de fortune ou d’infortune -au

_gré

de l’avancé de nos

expériences

respective- en les _personnes des thésitifs de notre _groupe. Nicolas DUBREUIL

a débuté sa thèse en même _{temps que moi.} Nous avons travaillé côte à côte

_pendant

ces

trois années et sa joie de vivre, sa bonne

humeur,

et son franc

parlé

m’ont considérablement

aidé dans mon travail et

_plus

encore dans ma vie

personnelle.

Nous avons lié alors une

amitié

_solide,

qui s’est construite _pas à _pas sur la confiance mutuelle et les confidences. C’est

_également

aux côtés de Xavier MAITRE et de Gilles NOGUES que

j’ai

eu la

chance de travailler Xavier m’a ouvert au monde du théâtre. Sa

capacité

d’écoute m’a

profondément

touché Il m’a considérablement aidé

lorsque

le moral flanchait. Je l’en

remercie du fond du

c0153urQuant

à

Gilles,

il incarne _pour moi la _{preuve que} l’on _peut être un chercheur de

_grand

calibre et conserver modestie et

_simplicité

J’ai eu aussi

beaucoup

de

_plaisir

à _{cotoyer Abdelhamid MAALI} et Jochen DREYER Bien _que nous ne nous croisions moins _souvent, nous avons

également

tissé ensemble des

liens _qui

_dépassent

le cadre réducteur de nos travaux

_respectifs.

Les

_expériences

_{que je} décris

_après

n’auraient _jamais vu le _jour sans l’assistance des services

_technique

du

_Département

de

_Physique

de l’ENS. Je remercie tout

particulière-ment André

_CLOUQUEUR,

Lionel PERENNES et Patrick

_GIRON,

_pour la réalisation des boîtiers

_{électroniques}

sur-mesure dont nous avons eu besoin Je suis aussi très

FIG 1 - Une _partie de la bande de jeunes du groupe

Électrodynamique

en cavité de

l’ENS,

pendant

le

_pôt

de thèse .

récupérer

l’hélium

Le

_personnel

du secrétariat en les personnes d’Irène

BRODSCHI,

de Catherine

ÉMO,

de

_Dominique

et de Geneviève PIARD forment des éléments cruciaux dans les _rouages d’un laboratoire Ils ont _toujours été très efficaces pour

s’occuper

des affaires qui mes

concernaient Je les en remercie vivement.

Je souhaiterais enfin remercier ma mère ainsi _que mes deux soeurs et mon

beau-père,

Table des

matières

1 Généralités sur les modes de

galerie

17

1.1 Premières

_approches

... 18

1.1 1 Modes de

_galerie

en

_{optique géométrique}

... 18

1 1.2

_Approche

ondulatoire

_{approximative}

_par l’eikonale ... 20

1.1 3

_Spectre

des modes de

_galerie

dans

_l’approche

eikonale ... 25

1 2 Le

_{problème électromagnétique}

exact ... 29

1.2 1 Position du

_problème

... 29

1 2 2 Solutions formelles exactes ... 30

1 2.3

_{L’équation}

radiale et ses solutions

approchées

... 31

1.3 Positions des résonances dans

_{l’approximation}

_{semiclassique}

... 37

1 3.1 Conditions de raccordement de la fonction radiale ... 37

132 Positions des résonances ... 37

1.4

_{Expressions approchées}

utiles des

_champs

E et B ... 41

141

_Expressions

asymptotiques des

_{harmoniques sphériques}

vectorielles . 42 1 4.2

_Expressions

_{asymptotiques pour} les

_champs

E et B ... 43

14.3

_{Champ électrique}

_pour un mode TE confiné

(n

=

1,~

=

|m|). ....

43

1 5 Facteur de

_qualité

... 45

1.6 Volume des modes ... 49

1 6 1 Ordre de

_grandeur

du volume des modes

_(n

_{= 1,~}

=

|m|)

... 49

1 6 2 Calcul

_analytique

du volume de mode ... 50

1 6 3

_{Champ électrique}

_par

_photon

... 52

2 Excitation des modes de

_galerie

57

2.1

_Principe

du

_couplage

par prisme ... 59

2.2 Modèle élémentaire :

_Fabry-Pérot

en anneau .... 59

2.2.1 Coefficient de réflexion de la cavité en anneau .... 61

2.2.2

_{Approximation}

lorentzienne ... 63

2.2.3

_Signal

détecté en réflexion: le

"dip"

... 64

2.2.4 Cas du

_couplage

par réflexion totale interne frustrée .... 65

2.3 Modèle de Schiller et

_Byer

... 68

2.4 Modèle de "double

_sphère"

... 70

2.4.1

Équations

_générales

... 71

2.4.2

_{Interprétation ...}

75

2.4.3 Définition du

_"dip"

dans le modèle "double

_sphère"

... 76

2.5

_Adaptation

du modèle à la

_géométrie

prisme-

sphère ...

77

2.5.1 Résultats

_{préliminaires}

sur le

champ

dans le _gap .... 78

2.5.2 Modification de

_{l’amplitude}

de l’onde diffusée dans le modèle "double

sphère"

... 81

2.5.3

_Expression

du

"dip"

... 82

2.5.4

_Exemple

fondamental : modes

_~=|m|

... 83

2.5.5 Influence d’un

_diaphragme

sur le

signal

détecté ... 85

2.6 Conclusion ... 88

3 Modes de

_galerie

de très

_grande

surtension 89 3.1 Fusion des microbilles de silice ... 89

3 1.1

_Préparation

de la fibre ébauche ... 90

3.1.2 La fusion par laser

CO

2

... 90

3.1.3 La fusion par microchalumeau ... 92

3.2

_Dispositif

de

_couplage

aux modes de

galerie

... 93

3.2.1 L’enceinte à vide et les micromouvements ... 93

3.2.2 Le laser fin d’excitation ... 95

3.3 Doublets de modes de très

_grande

finesse ... 98

3.3.2 Observation de doublets de très bons facteurs de

_{qualité ...}

102

3.3.3 Mesure du taux d’amortissement de

_l’énergie

dans le mode .... 103

3 4 Modèle de modes

_couplés

pour les doublets ... 104

3.4.1

_Couplage

_par rétrodiffusion

_Rayleigh

dans une microbille .... 105

3.4.2 Ordre de

_grandeur

de la levée de

_{dégénérescence}

entre modes

_couplés

110 3.4.3 Pertes par

absorption

(effet

d’une

partie

imaginaire

de

03B1)

... 111

3 5

_{Expériences complémentaires}

sur l’étude de la rétrodiffusion ... 112

3 5 1

_Analyse

du faisceau rétrodiffusé ... 112

3 5.2 Observations des battements entre modes propres ... 113

3.6 Conclusion ... 116

4 Microbilles laser à ions

_néodyme

117 41 Le milieu

_{amplificateur:}

les ions

néodyme

dans la silice ... 119

4.1.1

_Système

à 4 niveaux ... 121

4.1.2 Fluorescence de la fibre

_dopée

et _processus

_{d’élargissement}

... 123

4 2 Prédictions du modèle

_{semiclassique}

_pour le seuil laser ... 126

4.2.1 Le modèle scalaire

_{semiclassique}

... 127

4.2 2 Ordre de

_grandeur

du seuil attendu _{pour les} microbilles laser .... 132

4 3

_{Dispositif expérimental}

... 133

4.3.1 Fabrication des billes

_{dopées ...}

133

4.3.2

Description

du _{montage ...} 136

44 Mise en évidence de l’effet laser ... 138

441

_Spectres

d’émission laser ... 139

4.42 Structure "transverse" dans _{le spectre} multimode et

_ellipticité

... 141

443 Un

_exemple

de fonctionnement monomode ... 142

4 5 Observations de très faibles seuils laser ... 143

45.1 Mesure du seuils à l’émission laser et

_blocage

de la fluorescence ... 143

4.5 2

_Comparaison

de la mesure de seuil avec la

_prédiction

du modèle

semiclassique

... 145

4 6 Etudes

_{complémentaires}

sur l’influence des _{pertes ...} 146

4.6.2 Efficacité de

_couplage

par prisme à 810 et 1083 nm. Polarisation de

l’émission laser ... 149

4.7 Densité

_spectrale

de _puissance d’une raie laser ... 151

4.7.1

_Techniques

de mesures de

largeurs spectrales ...

153

4.7.2 Résultats

_{expérimentaux:}

mesure de la

_largeur

_spectrale

du microlaser155 4.8 Vers le contrôle du fonctionnement

_multi/mono

mode ... 159

4.8.1

_Quelques

méthodes de contrôle du

_régime

de fonctionnement .... 159

4.8.2

_{Expérience: changement}

de

_régime

_par

_ajout

sélectif de

_{pertes ... 165}

4.9 Conclusion ... 168

5

_Expériences

à froid: vers le microlaser sans seuil 169 5.1

_{Montage cryogénique}

... 170

5.1.1 Le _cryostat et ses

_performances

... 170

5.1.2

_{Montage cryogénique}

d’excitation des modes de

_{galerie ...}

172

5 2 Observations de très hauts facteurs de

_qualité

à froid ... 177

5.2.1 Les sources de

pollution possibles

et leur élimination ... 177

5.2.2 Observations de facteurs de

_qualité

de

10

9

dans l’He

_{superfluide ..}

178

5.2.3 Bistabilité ... 181

5 3 Fluorescence de la fibre

_dopée

à basse

_température

... 184

5.4 Microlaser à froid. _premiers résultats

_{expérimentaux}

... 187

5.41 Excitation et détection des modes laser à froid ... 188

5.4.2

_Spectre

du fonctionnement laser ... 188

5.4.3 Mesures de seuils et

_{interprétations}

... 190

5.4.4 Améliorations en cours ... 192

5 5

_Couplage

fort entre une molécule et un mode de

galerie ... 193

5.5.1 Généralités sur les molécules

_uniques

dans les matrices solides .... 194

5.5.2 Molécules _pour le

_couplage

aux modes de

galerie

... 197

5.5.3 Effet

_dispersif

d’une molécule sur un mode de

_{galerie ...}

200

5.5.4 Le

_dispositif

de

_couplage

et de collecte de la fluorescence ... 202 A

_Propriétés

des

_{harmoniques sphériques}

vectorielles 207

B Matrice de transfert d’une lame

_{diélectrique}

209 B.1

_{Symétrie par}

renversement

_{temporel ...}

209 B.2 Conservation de

l’énergie ... 211

B 3 Matrice de transfert entre deux milieux de même indice n1 =

n

2 .... 211

C

_Signaux

de

_{spectroscopie}

FM d’un mode de

_galerie

213 C 1 Schéma de

_principe

de la

_{spectroscopie}

FM ... 213 C.2 Forme

_analytique

des signaux de

spectroscopie

FM ... 215

Introduction

Il est bien

_{établi, depuis}

que Purcell en 1946

[1]

_puis

Casimir et Polder en 1948

[2],

ont

réalisé les

premières

études

_théoriques

sur le _{sujet, que} l’interaction d’un

dipôle atomique

avec le

champ

_{électromagnétique}

_peut être influencée par la

présence

d’une

paroi.

En

mo-difiant la densité des modes du

_champ,

celle-ci agit sur les

_propriétés

radiatives du

dipôle.

Le domaine de l’interaction d’un

_dipôle

_atomique avec le

champ

électromagnétique

dans une cavité ne _prit

cependant

son essor

expérimental

qu’avec

l’avènement des

techniques

de maniement d’un faible nombre d’atomes et la maîtrise des

_technologies

de fabrication des cavités de très

_grande

finesse.

En

_effet,

_{pour que} les effets de cavité sur les

_propriétés

_atomiques

soient

_observables,

il faut _que les états de l’atome et du

_champ

relaxent aussi lentement que

possible.

Le choix du

_système

_{atomique pour} les

_{premières expériences}

s’est naturellement

_porté

sur

les atomes de

_{Rydberg circulaires,}

que l’on avait appris à manipuler et à détecter un _par

un, qui

possèdent

de très

grands dipôles

et de

_grandes

durées de vie radiatives

₍

_rad

~

30

_ms)

Dans le domaine microondes des

_longueurs

d’onde

_{correspondantes,}

la mise au

point de cavités

_{supraconductrices possèdant}

de très

_grands

facteurs de

_{qualité jusqu’à}

10

9

,

permit

d’explorer

d’une _part le

_régime

de

_{couplage faible,}

dans

_lequel

les effets de cavité se manifestent essentiellement _par une modification de la structure du

_champ

et se

répercutent

sur les fluctuations du

_champ

du vide et les

_propriétés

radiatives du

_dipôle;

mais

_{également celui, plus}

riche _encore, du

_{couplage fort}

entre un atome et le

_champ

d’un seul mode de la cavité c’est le contexte d’étude de

_{l’électrodynamique}

en cavité des

systèmes simples

Dans le

_régime

de

_{couplage faible,}

l’inhibition et l’exaltation de l’émission

_spontanée

et

unes des réalisations

expérimentales remarquables

[3]

Plus fascinantes encore sont les

_explorations

du

_régime

de

_couplage

fort

_[3].

_régime

des très "bonnes

_cavités",

dans

_lequel

l’atome et le

_champ

d’un mode _peuvent

échanger

leur excitation de

_façon

cohérente et

_réversible,

et _ce, même si la cavité est initialement

vide,

donnant alors lieu aux oscillations de Rabi du

dipôle

atomique

dans le vide. Dans le

domaine des

_fréquences,

celles-ci se manifestent _par un dédoublement

spectral

du mode

de la cavité avec

lequel interagit

le

dipôle

( "Vaccuum

Rabi

splitting").

L’électrodynamique

en cavité _peut aussi servir à tester certaines manifestations de la

_mécanique

_quantique

_qui

choquent

encore notre sens commun.

Ainsi,

lorsque

deux

systèmes

quantiques

interagissent

fortement,

leurs états deviennent fortement corrélés l’un à l’autre: toute mesure sur l’un des

systèmes

influe instantanément sur l’état de

l’autre,

même s’il est en dehors de son cône de lumière. Des _paires d’atomes dites

"paires

EPR" ont

été ainsi récemment

générées

_pour la

première

fois dans le domaine de

l’électrodynamique

en cavité

[4],

dans des

expériences

ouvrant la voie à la réalisation d’états corrélés à trois

particules,

qui permettraient des tests encore

plus

sévères de la théorie _quantique. On _peut

aussi mettre à

_profit

les corrélations fortes _{qui peuvent} exister entre les états de l’atome

et celui du

_champ

dans un mode de la

cavité,

_pour réaliser _par

exemple

une mesure non

destructive

_(QND,

_Quantum

Non

_Demolition)

du nombre de

_photons

stockés dans la cavité

[3]

Dans la

_plupart

des

_expériences

que nous venons de

décrire,

la cavité _joue un rôle

prépondérant,

d’une _part

_grâce

au _temps de

stockage

très

long

des

photons

dans le

mode,

et d’autre _part

_grâce

au confinement de

l’énergie électromagnétique

dans un très faible

volume,

nécessaire _pour

_produire

des

_{champs électriques}

_par

_photon

d’une très

_grande

intensité et pouvoir se

placer

dans un

régime

de

couplage

fort

Certaines des

_expériences

du domaine microondes ont ainsi _pu être étendues au do-maine _optique

_grâce

à l’utilisation de microcavités

Fabry-Pérot

constituée de miroirs

"su-perpolis"

de très

_grande

réflectivité

_(facteur

de

_qualité

de

₁₀

₉

_).

_Ainsi,

R.

_Thompson,

G.

Rempe

et J Kimble

_[5]

ont-ils _pu observer le dédoublement

_spectral

d’un mode de la

ca-vité,

en

_présence

de

_quelques

atomes résonants Par

_ailleurs,

K An et al.

_[6],

dans

_l’équipe

de

_Feld,

ont mis en évidence un effet laser _monoatomique sur un atome en transit dans

ainsi

l’équivalent

_optique du micromaser bien connu dans le domaine des

microondes[3]

Les dimensions de confinement atteintes dans ces cavités

Fabry-Pérot.

restent

_cependant

toujours

grandes

devant la

_longueur

d’onde

_(distance

entre les miroirs de 0 5 à 1

mm)

D’autre _part, la fabrication des miroirs

"superpolis"

_requiert une

technologie

de _pointe

peu

répandue.

ce qui rend ces cavités

_Fabry-

Pérot _peu accessibles.

L’apparition

des microcavités dont les miroirs sont constitués de couches de semicon-ducteurs

_séparées

_par une distance de l’ordre de la

longueur d’onde,

_permet d’atteindre

des confinements très _importants

_{L’objectif,}

là _aussi, est de

_coupler

le milieu

_{amplificateur}

à un seul mode du

champ

[7]

Il

s’agit

soit de cavités

_Fabry

_Perot,

soit de "résonateurs

en anneaux" _ayant la forme d’un

disque. Jusqu’à présent,

les facteurs de

qualités

atteints,

essentiellement limités par la diffraction sur les bords des

_miroirs,

sont de l’ordre de 500 dans la

géométrie

cylindrique (diamètre

de 1 à 10

_03BCm),

et _peuvent atteindre

_jusqu’à

_1000,

dans les

_microdisques

_(rayon

d’environ 1

_03BCm),

mais ils restent encore insuffisants _{pour que}

soit accessible le

_régime

de

_couplage

fort avec un

dipôle

_unique.

Dans notre

_équipe,

nous avons

_opté

_pour une alternative à ces différents types de

résonateurs Il

_s’agit

de microrésonateurs

_sphériques

de

_quelques

dizaines de microns de

diamètre La lumière _{peut y} être

_piégée

_par une succession de réflexions totales internes

sous une incidence _quasiment rasante, dans des modes résonants du

_champ,

encore

qualifiés

de "modes de

_galerie"

_par référence à la _propagation

_guidée

du son le

long

des _parois des

galeries

de certains

_grands

monuments _qui suscita les

_premières

études sur le

sujet.

De cette

propagation

guidée

résulte un excellent confinement de

_l’énergie

au

_voisinage

de la surface

Ainsi dans une

sphère

de 50 _03BCm de diamètre le

plus

_petit volume de mode est de l’ordre de seulement 300

_03BCm

₃

L’intensité

maximale du

_champ

_électrique

_par

_photon

_qui en résulte

vaut environ 10

_kV/m,

et donne lieu à des

_couplages

_importants du

_champ

avec un

dipôle

atomique,

correspondant

à une

pulsation

de Rabi _par

_photon

de l’ordre de 100 MHz. Par

ailleurs,

les _{pertes peuvent} être seulement limitées _par

_{l’absorption}

résiduelle du matériau

et sont

_{généralement}

très

faibles

1

De

telles

_propriétés

font de ces

_{microrésonateurs,}

des

cavités idéales _pour les

_expériences

_{d’électrodynamique}

en cavité en

régime

de

couplage

fort,

mais aussi _pour observer des effets non linéaires mettant en _jeu un très _{petit nombre}

1 Dans des microbilles de _silice, à 810 _nm, des facteurs de qualité vallant _jusqu’à 1010 ont même été

de

_photons.

Les

_premières

études

_{détaillées,}

rendues

_{possibles grâce}

à l’avènement des sources laser

accordables,

ont

_porté

sur des

microgouttelettes

maintenues en lévitation laser

[8]

A

Ash-kin et J.-M. Dziedzic ont _pu mettre en évidence l’existence de résonances très

fines,

dans la

pression de radiation servant à léviter les

gouttelettes

[9]

Par la suite, de nombreuses

ex-périences d’optique

non linéaire ont été menées sur des

gouttelettes

en chute libre

[10][11].

L’effet laser sur des

_{gouttelettes dopées}

à la Rhodamine 6G a été observé

_puis

étudié en

détail,

dans le groupe de R.K.

Chang

[12][13]

qui s’est aussi intéressé à la diffusion Raman

stimulée

_[14]

Dans le _groupe de H Lm et A

_Campillo,

des

_expériences

similaires ont été

menées,

à la fois sur l’effet laser

[15],

et sur différents effets non linéaires exaltés _par la

présence

des modes de

_galerie.

Ainsi

_Campillo

et al. ont-ils _pu montrer que l’effet Raman stimulé _pouvait être déclenché par seulement trois

photons

du laser de pompe dans un

mode de la

_{microgouttelette}

_[16]

Dans ces

_{expériences,}

les

gouttelettes

en chute libre

présentent

l’inconvénient d’avoir une durée de vie courte et de varier de forme

_légèrement

_pendant

_l’analyse,

en raison

de

_{l’évaporation}

et des résonances

_mécaniques

_{qui prennent} facilement naissance. D’autre

part, les facteurs de

_qualité,

sont souvent limités à moins de

10

7

Les résonateurs solides

_permettent

de s’affranchir des ces

problèmes

Un travail

déjà

ancien,

mais isolé de C Garret et al

_[17],

a montré _que les modes de

galerie

de billes de 1 à 2 mm de

_diamètre,

_peuvent favoriser l’effet laser dans des billes de

_CaF

₂

_{solides, dopées}

avec des ions

Sm

2+

.

Mais c’est à V

Braginsky

et al.

_[18]

_que l’on doit l’idée

_{d’exploiter}

la

_grande

_transparence de microbilles de silice _pour réaliser des

_expériences

d’électrody-namique en

cavité,

telle

qu’une

mesure non destructive du nombre de

photons Quelques

propositions d’expériences

en

régime

de

_couplage

fort ont fait suite à ces travaux Nous

avons montré

_{qu’un "jet"}

d’atomes lents _pourrait servir à sonder le

_champ

d’un mode de

_galerie

_[19].

H Mabuchi et H J Kimble

_[20]

ont

_également

_proposé

une

configuration

de

_potentiel

lumineux _{qui pourrait permettre} de

_piéger

des atomes dans une orbite

au-tour d’un

_microbille,

_augmentant ainsi leur _{temps d’interaction} avec la cavité Toutes ces

expériences

fascinantes sont

_cependant

très délicates à réaliser.

Ce travail de thèse a essentiellement

_porté

sur l’étude de micobilles de silice

_dopées

aux ions

néodyme

Nd

3+

,

en vue de réaliser un laser fonctionnant dans un

régime

_quantique

avec un très _petit nombre d’ions. Ce

système

laser est

_déjà

connu et a fait

l’objet

d’études,

notamment par T. Baer

_qui

démontra _pour la

_première

fois le fonctionnement d’un laser

néodyme

à microbilles de silice dans des billes de gros diamètre

(~

= 5

mm)[21]

Par la

suite, Y

_Wang

et. al se sont intéressés à des billes de

_petits

diamètres

_{(30 03BCm)}

mais

de faible _transparence Notre travail a consisté à mettre à

_profit

notre bonne maîtrise du

couplage

par onde évanescente aux modes de

galerie,

et les excellents facteurs de

_qualité

que nous savons

réaliser,

_pour réaliser un microlaser à très bas seuil. Ces résultats à

tem-pérature

ambiante nous ont

_{encouragés à poursuivre}

leur étude à basse

_température

pour renforcer le

_couplage

des ions aux modes de

_galerie

et obtenir un

_régime

de fonctionnement

laser

_quantique

Dans le _premier

_chapitre

nous

_{précisons l’origine}

et la nature _{des résonances propres}

aux microrésonateurs

_sphériques,

et à

_l’origine

des modes de

_galerie.

Une

_approche

_par

l’eikonale,

nous fournit l’essentiel des ordres de

_grandeur

utiles Nous abordons

_ensuite,

dans le deuxième

_chapitre

le

_couplage

_par onde

_{évanescente,}

d’abord dans une

_approche

élémentaire de cavité en _{anneau, puis par} une modélisation

plus

réaliste.

Dans le troisième

_chapitre,

nous

_présentons

les _principaux résultats obtenus sur des

billes de silice _pures, à l’aide d’un _{montage permettant} la fabrication et l’étude des micro-billes de silice sous vide ou dans une

_{atmosphère contrôlée,}

achevé à la fin de la thèse de

Laurent Collot

_[22].

De très

_grands

facteurs de

_{qualité, supérieurs}

à

10

9

ont été mesurés

et nous avons observé _que les résonances étaient dans ce cas dédoublées. Nous

_expliquons

ce

phénomène

à l’aide d’un modèle de modes

_couplés

_par rétrodiffusion interne

La suite est consacrée à l’étude de microbilles de silice

_dopées

aux ions

_néodyme

Nd

3+

Dans le

_{quatrième chapitre}

nous

_présentons

les _principaux résultats obtenus sur le

fonc-tionnement laser de ces

microbilles,

et insistons tout

_{particulièrement}

sur les seuils

ex-trêmement bas de seulement 200 nW que nous avons mesurés Ces résultats sont bien

interprétés

dans le cadre d’un modèle

_{semiclassique.}

Pour réduire les _processus de relaxation des ions dans la matrice vitreuse nous avons

décidé

_d’opérer

à basse

_température

_pour atteindre un nouveau

régime

de fonctionnement

laser où

_{quelques photons}

et

_quelques

ions seulement _{interagissent.} Des effets de bistabilité

intéressants ont été

_observés,

_{qui pourraient} être dûs à la non-linéarité Kerr de la silice. Dans notre dernier

_chapitre,

nous décrivons le montage

_cryogénique

réalisé _pour

étu-dier des microbilles

_immergées

dans un bain d’hélium

superfluide

et les premiers résultats obtenus. Nous sommes _{parvenus à}

_reproduire

les excellents facteurs de

_qualité

de

10

9

obte-nus à

température

ambiante. Par ailleurs nous avons observé l’effet laser à 2

K,

lors d’une

expérience

très

_{préliminaire,}

et des améliorations _portant notamment sur la sensibilité de

détection sont en cours.

Enfin,

à l’issue de ce dernier

chapitre,

nous

présentons quelques

Chapitre

1

Généralités

sur

les

modes de

galerie

Les modes de

_galerie

_(en

_anglais

_Whispering

_Gallery

_Modes,

_WGM)

tiennent leur

appellation

d’une curiosité _acoustique observée initialement dans le dôme de la cathédrale Saint-Paul de Londres

À

la base de ce dôme

(dont

le diamètre est

_supérieur

à 50

_m)

se trouve une

galerie,

dans

laquelle

deux interlocuteurs _peuvent s’entendre

mutuellement,

quel

que soit leur

_éloignement

Comme Lord

_Rayleigh

l’a

_compris

le

_premier,

ce

_phénomène

résulte de la _propagation

_guidée

des ondes sonores _par réflexions successives le

long

des

parois

de la

_galerie

_[23,

_{Chap XIV,}

_§287].

Il _remarque

_également

_que

_l’énergie

_acoustique

reste confinée dans une couche d’air d’autant

plus

mince _que l’incidence est

_proche

de l’incidence rasante Par la

_suite,

_Rayleigh

eut l’intuition que les facteurs de

qualité

élevés des modes de

_galerie

devraient _pouvoir être utilisés

_[24].

Dans le domaine

_optique,

les modes de

_{galerie correspondent}

à la

_propagation

_guidée

par réflexion totale interne de la lumière dans une microbille constituée d’un milieu

diélec-trique

peu absorbant. Ils sont associés aux résonances très fines

_{qui apparaissent}

dans le

spectre de diffusion de la lumière _par une telle

bille,

_que G. Mie étudia et dont il

_publia

la solution en 1908

[25].

Dans la

_{littérature,}

le nom de Mie reste ainsi attaché à ces résonances

de

_diffusion,

mais on les trouve aussi sous le nom de

Morphology Dependent

Resonances

pour

souligner

leur

grande

sensibilité à la forme exacte de la

_{microparticule diffusante,}

à la taille et à son indice de réfraction

FIG. 1.1 -

_Propagation

d’un rayon lumineux en _optique

géométrique

_par

réflexion

totale

interne dans une microbille de silice.

Définition

des

angles complémentaires

z

et j. Cercle

intérieur en

pointillés:

_caustique intérieure.

Dans ce

_chapitre,

nous montrons _que

_{l’optique géométrique}

et

_{l’approximation}

eiko-nale _permettent de

_dégager

les

_propriétés

essentielles de ces modes

(§1.1).

Nous

présentons

ensuite les solutions des

_équations

de Maxwell

_(§1.2)

Dans les

_paragraphes

suivants nous

précisons

les

_{caractéristiques}

du _spectre des modes de

_{galerie(§1.3),}

et

_{l’expression}

du

champ électromagnétique

des modes

_(§1.4).

Nous traitons au

_§1.5

de leur facteur de

qua-lité

_Q,

et donnons au

§1.6 l’expression

du volume des

modes,

qui

_permet de déterminer

l’amplitude

du

_champ

_par

_photon

1.1

Premières

_approches

Une

_{première approche}

élémentaire _par

_{l’optique géométrique}

est

_justifiée

_par la taille des microbilles

_auxquelles

nous nous intéressons _par la _suite, de diamètres

_typiques

_compris

entre 50 et 100 _03BCm, et

_qu’il

est usuel de caractériser par le

paramètre

de

taille, x

=

203C0a/03BB,

où a

représente

le _rayon de la bille et 03BB la

longueur

d’onde.

1.1.1 Modes de

_galerie

en

optique géométrique

Les réflexions

_multiples

de la lumière dans des microrésonateurs

_{diélectriques}

donnent lieu à de fascinants

_phénomènes

naturels dont le

_plus

courant est l’arc-en-ciel. Dans le

phénomène

d’arc-en-ciel,

la lumière du soleil arrive sous forme d’onde

plane

sur la surface

d’une

_{microgouttelette d’eau,}

que nous supposons parfaitement sphérique. Un rayon

pé-nètre _par réfraction avec

_l’angle

réfracté z et se _propage ensuite _par réflexions

_multiples

avec le même

_angle

d’incidence i et en restant dans le même

_plan

comme

l’imposent

les

lois de Descartes et la

_symétrie

_sphérique.

Mais

_chaque

réflexion

_{s’accompagne}

aussi d’une

transmission _qui fait

_rapidement

décroître son intensité. Si l’on s’intéresse aux _rayons

qui

émergent après

avoir subi N réflexions internes dans la

_gouttelette,

on _peut montrer _que

la déviation accumulée _{par rapport} à la direction incidente admet un minimum pour une

certaine incidence Ce minimum de déviation donne lieu à un maximum

d’intensité,

for-mant ainsi l’une des couleurs de

_{l’arc-en-ciel,}

les autres _composantes étant décalées _{par la}

dispersion

de l’indice de réfraction de l’eau

_(voir

_par

_exemple

_[26]).

Les modes _qui nous intéressent

correspondent

en revanche à une

_propagation

guidée

de la lumière à l’intérieur de la

_sphère,

donnant lieu à des résonances et à une exaltation

de l’intensité du

_champ

dans la bille.

Pour

_piéger

un _rayon dans une microbille de silice

_homogène,

il faut

_qu’il

se _{propage à}

l’intérieur sous une incidence

supérieure

à l’incidence

critique

du

dioptre air-silice,

définie

par sin ic =

1/N

où N

_représente

l’indice de la silice

_(N

= 1.453

pour 03BB

= 810

nm).

Cela

suppose

qu’il

n’ait pas été créé de l’extérieur par une

simple

réfraction,

ou alors

qu’il

ait été

engendré

de l’intérieur par une source active

_(le

milieu

_{amplificateur}

du microlaser étudié dans le

_Chapitre

₄₎

Une fois

_piégé,

le rayon se _{propage par} une succession de

réflexions

totales conduisant à un _temps de

stockage

de

_l’énergie

infini dans la

_cavité,

si aucune

autre source de _pertes n’était

_présente

Les _rayons successivement réfléchis restent contenus

dans le même

_plan

_{d’incidence,}

et décrivent des

_{trajectoires polygonales}

_{(Figure 1.1)}

dont

l’enveloppe

forme un cercle de _{rayon r1,}

_appelée

_caustique

_{(intérieure)}

de ce

système

de

rayons

Si les _rayons

_qui

_passent au _voisinage d’un même _point à

_chaque

tour sont en

phase,

ils

interfèrent constructivement

_(dans

le sens de

l’optique

ondulatoire)

et la lumière se trouve

confinée dans ce _que nous

_appellerons

un mode de

_galerie.

Pour

_préciser

cette condition dans le cadre de

_{l’optique géométrique,}

considérons la

_trajectoire

_cyclique

la

_{plus simple,}

formée du

_polygone

fermé

_possédant

_{~ sommets,}

de

_demi-angle

au _{centre j ~}

03C0/~

_(voir

où p est un entier

_qui

doit être au moins

égal

à

~,

afin _que

chaque

coté du

polygone

ait une

_longueur

au moins

_égale

à

03BB/N,

et

_qu’il

ne soit _pas nécessaire d’avoir recours a une

description

ondulatoire. En _prenant p =

~,

cette condition de résonance

_s’exprime

en

termes du

_paramètre

de taille x ~

_203C0a/03BB

sous la forme.

l’approximation

étant

_justifiée

par le fait

que ~

est en

général grand

_pour les tailles de billes

qui nous intéressent

(pour

a = 25

03BCm et 03BB = 810

nm, par

exemple,

~ =

281).

Cette relation

approchée correspond

à la limite des incidences rasantes

_{(l’approximation sin 03C0/~ ~ 03C0/~}

revient à

_prendre

r1 ~

a).

Pour des incidences

plus faibles,

on s’attend à trouver d’autres

résonances,

de

_fréquences

_voisines,

qui seront caractérisées _par le

_degré

de

_{pénétration}

de la lumière dans la

_sphère,

c’est à dire par le rayon de la caustique r1 =

a cos j

(dans

la limite

_a/N

< _r1 <

_a)

En _{outre, les modes} de

_galerie

sont

_également

caractérisés _par la direction de

polari-sation du

_{champ électrique,}

qui

peut-être

soit normale au

_plan

d’incidence

(polarisation

"s",

modes

_TE)

soit dans le

_plan

d’incidence

_{(polarisation}

_"p",

modes

_TM)

Dans le

_{prochain paragraphe,}

nous allons

présenter

une

_{approche ondulatoire,}

fondée sur

l’eikonale,

_qui

donne une

description plus précise

des modes de

galerie,

notamment en ce _qui concerne leur structure radiale et les effets de

_{polarisation.}

1.1.2

_Approche

ondulatoire

_{approximative}

par l’eikonale

Un _{premier pas} vers une

_description

ondulatoire exacte consiste à étudier les

_propriétés

de la

_phase

du

_{champ électromagnétique,}

à

_laquelle

nous avons

déjà

fait allusion. Cette

phase S

peut être définie en tout _{point par}

où

_{l’intégrale}

est

_prise

le

_long

d’un rayon passant par les point ro et r, et où

_k

₀

_représente

le

vecteur d’onde dans le vide. Dans la limite où la

_longueur

d’onde reste courte à l’échelle des

variations de l’indice

_N(r),

on est conduit à ce _que l’on

_appelle

en

_optique

03A6 ~

_exp(iS),

on établit

_{l’équation différentielle,}

dite

_{"équation eikonale",}

à

laquelle S

obéit :

Ce _point de vue est intermédiaire entre

_l’optique

_{géométrique,}

_{qui peut} être dérivée du _principe de Fermat en ne retenant _que le _rayon d’eikonale

_extrémale,

et

_l’optique

ondulatoire fondée sur les

équations

de Maxwell. De la même

manière,

en

mécanique,

la

méthode de Hamilton-Jacobi conduit à une

description

intermédiaire entre le traitement

"géométrique"

de la

_mécanique

_classique

et le traitement ondulatoire de la

_mécanique

quantique. Elle _repose sur la résolution de

l’équation

de Hamilton-Jacobi

(stationnaire)

pour l’action

(réduite)

S

=

p dr :

où

_V(r)

est le

_potentiel

dans

_lequel

la

_particule

de masse m et

_d’énergie

E évolue. De même _que l’on _peut construire une

_description

_{semiclassique}

en

_quantifiant

l’action ainsi

obtenue,

la solution de

_{l’équation}

eikonale va nous _permettre une

description

semiclassique

des modes de

_galerie

Résolution de

_{l’équation}

de l’eikonale

Poursuivant alors notre

_{analogie mécanique,}

nous _pouvons considérer

l’impulsion

1

de

l’onde se _{propageant dans} la bille _{p =} ~S. Pour la

_propagation

d’une onde dans une bille

parfaitement sphérique,

la

_symétrie

du

_problème

conduit à la conservation du moment

cinétique

L ~ r x

~S,

au cours du mouvement En

_{particulier, l’angle}

azimutal _~ étant

une variable

_cyclique

du

_problème,

son moment

_{conjugué L}

_z

=

~S/~~,

projection

de L

sur l’axe

_polaire

(Oz),

se conserve Nous notons M cette constante du "mouvement". Le module de

_L,

donné _par L =

N,

0

k

1

r

_est lui-même _{une constante} du _mouvement.

De ces

propriétés,

nous tirons finalement les deux relations :

1 L’impulsion que nous utilisons ici est en fait un vecteur d’onde, dont la dimension est inverse de celle

de r Pour un _photon, on aurait une _{impulsion (au} sens _mécanique du _{terme) p} = k Par suite nous utilisons un moment cinétique sans dimension

FIG. 1 2 - Moment

_cinétique

L associé à un mode de

_galerie

et sa _projection M sur l’axe

polaire.

L’équation

de

_{l’eikonale,}

s’écrit en coordonnées

_sphériques.

On montre

_[27,

_Appendice

_D]

que

l’équation précédente

est

_séparable.

En posant S =

S

1

(r)

+

_S

₂

_(03B8)

+

_(~),

₃

_S

on obtient trois

_équations

dont les deux

_premières

_(équations

an-gulaires)

découlent immédiatement de

₍₁₄₎

La troisième

_(équation

_radiale)

s’écrit:

Les mouvements

_angulaires

se ramènent donc à une

précession

uniforme de _{~ et,} pour

03B8,

à une oscillation entre deux valeurs extrêmes 03B8 =

03C0/2 ±

03B1, où 03B1 ~

arccos(|M|/L)

est

_l’angle

_que fait L avec

(Oz) (voir

la

Figure

1.2)

Le mouvement radial

_{s’interprète}

également

comme une oscillation entre deux valeurs extrêmes

_(points

de

_{rebroussement),}

c’est à dire entre r1 ~

L/k

0

N,

qui n’est autre _que le _rayon de la

_caustique

_intérieure

₂

_,

_et

r =

a, à la surface de la bille où se

_produit

la réflexion totale.

Une

_période

sur chacun des

degrés

de liberté

correspond

à un

_déphasage

0394S

i

donné

2 _{L’équation (15)} conduit aussi à l’existence d’une caustique dans le milieu extérieur _(N = 1) de _rayon

r

par:

où la fonction

_f,

sur

laquelle

nous

reviendrons,

est définie par:

Prise en _compte des

déphasages

additionnels

Aux chemins

_optiques

_{précédemment}

calculés doivent être

_ajoutés

les

_déphasages

liés

aux _passages de l’onde _par les _caustiques ainsi _que ceux

_qui

_accompagnent les réflexions

totales et _que les relations

_(1.6)

ne _{prennent pas} en _compte.

À

_chaque

_{passage par} une _caustique, l’onde réfléchie _acquiert un

déphasage

de

-03C0/2

(voir

par

exemple

[28, p. 197]),

ce _qui se

produit

deux

fois,

en 03B8 =

03C0/2 ±

03B1 _pour le

mouve-ment selon 03B8, et une seule

_fois,

en _{r1 pour} l’oscillation radiale

À

_{chaque réflexion}

totale _interne,

_s’ajoute

un

déphasage dépendant

de l’état de

po-larisation linéaire P. Dans la mesure où nous considérons des

sphères

de

grand

rayon, ce

déphasage

est donné _par la

_phase

du coefficient de Fresnel

_(pour

une interface

plane)

_rp

[29, p 48]

où P

_représente

ici un _{rapport d’indices}

dépendant

de la

polarisation

linéaire de l’onde

incidente:

À

la limite de l’incidence rasante

_(z

=

03C0/2),

_ce

déphasage

est de l’ordre de _-03C0

pour les deux

_{polarisations.}

Pour une incidence

_finie,

l’écart 03C0 -

2~

P

peut être

_interprété

comme un chemin

_optique

additionnel

03B4

P

tout se _passe comme si l’on avait une réflexion totale avec annulation du

_champ

sur une

_sphère

de _rayon effectif _{~ aeff} a +

_03B4

_P

_,

avec :

Cette correction est un moyen de

prendre

en _compte, tout en restant dans

_l’approche

eikonale,

l’existence de l’onde évanescente dans le milieu

extérieur,

et la

_{pénétration}

de l’onde

_qui

en résulte Cet effet

dépend

de la

polarisation.

Il est connu sous le nom d’effet

Goos-Hänchen

_[30].

Récapitulons

les

_phases

_partielles

accumulées sur

chaque

période

en tenant _compte des

déphasages

additionnels

_{précédents :}

Conditions de retour en

_phase

et indices de

_{quantification}

Un mode de

_galerie

_correspond

à un retour en

_phase

de l’onde sur elle-même. La nature

multi-

_périodique

du "mouvement" étudié ici conduit à

quantifier séparément

chacune des

phases partielles 0394S

1

,

0394S

2

,

et

_0394S

₃

_,

en leur

_imposant

d’être des

multiples

entiers de 203C0.

Il en résulte tout d’abord la

_{quantification}

habituelle du moment

_cinétique

avec les deux

nombres entiers

_angulaire

~ et azimutal m:

Ensuite,

en définissant la "variable d’action" radiale J par

la condition de retour en

_phase

dans la direction radiale nécessite l’introduction de l’ordre

radial _n, tel _que

L’indice radial n ainsi défini

_prend

les valeurs n =

1,2,3,···,

_et

correspond

donc _au nombre

d’oscillations entre les _points extrêmes _{r1 et aeff}

À

_{polarisation donnée,}

les trois entiers

n,~

et m servent à caractériser la _positions des résonances

_auxquelles

nous les

_attacherons,

comme

indices,

_pour identifier un mode

particulier.

Précisons leurs domaines de variation

_respectifs.

Le nombre m est naturellement

com-pris

entre -~ et

_{+~, puisqu’il correspond}

à la

_projection

du moment

_cinétique

sur l’axe

(Oz)

En _{outre, compte} tenu de la condition de réflexion totale ~ sin ic

1/N,

le rayon r1 de

la _caustique est nécessairement _compris entre aeff et aeff

/N

(où

nous avons _pris en _compte

l’effet Goos- Hänchen en

_remplaçant

a _par

a

eff

)

À

l’aide de

l’équation

radiale

(1.5),

nous

retrouvons l’encadrement

_pour

_{~ qui}

se déduit

_{géométriquement}

des valeurs

possibles

_pour

r 1

où le

_paramètre

de taille effectif est défini _par xeff ~ _203C0aeff

/03BB.

Le domaine de variation de

l’indice radial n s’en déduit. En

_effet,

la condition

_(1.14)

s’écrit encore 1 <

_Nk

₀

_a

_eff

_/L

< N.

Comme la fonction

_f,

définie _par

_(1.7),

est croissante et _que

_{f(1) =}

_0,

nous obtenons _pour

l’indice

_radial,

l’encadrement suivant :

Notons _que

_d’après

la définition

_(1.12)

de

_{J, lorque}

L diminue

_{(pour x fixé),}

r1 diminue et J ne _peut

_{qu’augmenter}

Aussi, les modes de

_{plus grand}

n sont ceux

_qui

pénètrent

le

plus profondément

dans la

_sphère

À

ce

stade,

_pour se faire une idée

_{plus précise}

des

plages

de variations des nombres n

et

_~,

considérons une bille de _{50 03BCm de diamètre,} et l’un de ses modes TE à la

longueur

d’onde 03BB = 810

nm,

(N

=

1 45).

Le

paramètre

de taille effectif xeff vaut environ

193.9,

ce

qui impose

que

~ varie entre

_~

_min

= 194 _et

~

max

=

281,

_et

que par

ailleurs,

n soit

compris

entre 0 et nmax = 21 Nous constatons _{que pour} les modes

_qui

nous intéressent ~ » 1. Notre

intérêt se _portant essentiellement vers les modes bien

_confinés,

nous ne considérerons _par

ailleurs _que les

_petites

valeurs de n

1.1.3

_Spectre

des modes de

_galerie

dans

_l’approche

eikonale Positions des résonances pour une bille

_{parfaitement sphérique}

Lorsque

la

_sphère

est

_parfaite,

aucun axe de

_{quantification}

n’est à

_privilégier

et nous

n’attendons donc _pas de

_dépendance

en m, projection de L sur l’axe

(Oz),

des

fréquences

de résonances Si nous rassemblons alors les conditions de

quantification

(1.11)

et

_(1.13)