Couplage par rétrodiffusion Rayleigh dans une microbille

Notons E+ et E- les

champs

se propageant en sens contraires dans la

microsphère

et

qui,

initialement sont associés à un seul mode de

galerie dégénéré caractérisé par

les nombres

n,l,

± m Le

champ

total dans la

sphère

résulte de la

superposition

de ces deux

champs.

On s’intéresse à des solutions des

équations

de Maxwell donnant un

champ

oscil-lant à la

pulsation

03C9. Cette

pulsation apparaîtra plus

tard comme la

pulsation

du

champ

extérieur utilisé _pour exciter un mode en

régime

forcé.

Les fonctions

E+0(t)

et

E-0(t), représentent

les

enveloppes

lentement variables du

champ

à l’échelle de _temps de la

période

d’excitation

203C0/03C9.

Les fonctions

f+(r)

et

f-(r)

prennent en compte la structure

spatiale

des modes

n,l,

± m, à savoir leur

dépendance spatiale

et leur

polarisation.

Elles ne diffèrent _{que par le} facteur

e±im~,

de sorte que

f+(r)*

=

f-(r),

et satisfont les conditions d’orthonormalisation suivantes :

où V

représente

le volume du mode considéré

n,l, ±

m. Par

ailleurs,

ces fonctions satisfont

l’équation

de Helmhoitz

où 03C9n,l,m ^{est la}

pulsation

de résonance des deux modes initialement

dégénérés repérés

par

n,l,

± m. Nous _{supposerons que} le

couplage

entre modes reste suffisamment faible _pour n’entraîner aucune modification de la structure des modes.

Le

champ

total

E(r,t)

dans la

sphère

satisfait

l’équation

de

propagation

dans la

silice,

milieu

diélectrique

d’indice N.

Le second membre

représente

un terme source

produit

par les diffuseurs

considérés,

que le

champ

modifie aussi en retour. Nous _{supposons ici que} la densité de

polarisation P(r,t)

induite _par le

champ

agissant sur les

dipôles

élémentaires

placés

en rk, vaut:

où

03B1

k

représente

^{le tenseur de}

^{polarisabilité}

^{du centre diffuseur k}

responsable

du

couplage

entre modes. Cette densité de

polarisation

ne

représente

que la contribution des

dipôles

perturbant

la structure de la

silice,

considérée comme un milieu

homogène isotrope:

les

dipôles responsables

de son indice sont

déjà pris

en compte. Notons _par

ailleurs,

que

l’équa-tion _{suppose que} la

polarisation

induite

possède

à

chaque

instant sa valeur

stationnaire,

et évolue donc

rapidement

à l’échelle de temps ^{d’évolution du}

champ

dans la cavité. Cette

approximation

est

justifiée

tant que l’on excite le

dipôle

à une

fréquence éloignée

de toute résonance.

Les modes TE et TM associés aux mêmes valeurs des indices

n,~

et _m, étant bien

séparés

en

fréquence,

nous ne retiendrons _que la composante du tenseur

parallèle

au

champ

électrique

de

polarisabilité,

notée

simplement 1 03B1k,

pour le centre diffuseur k. Ceci ne

préjuge

en rien du fait _que la

polarisabilité

des centres diffuseurs individuels ne soit pas forcément

isotrope.

Faisons maintenant le

produit

scalaire de

l’équation

d’onde

(3.1)

par ^le

complexe

conju-gué

de la fonction du mode

f±*(r),

et

intégrons

sur tout

l’espace.

Nous

obtenons,

en uti-lisant la normalisation des fonctions

f±(r)

et

après simplification

du membre de

gauche :

où nous avons

posé d3r

_que l’on peut

développer :

Le

premier

terme dans

P±(t)

conduit à un

déplacement

de la

fréquence

de résonance

identique

pour les deux modes

dégénérés ±m,

et

correspond

à l’effet d’indice des centres

diffuseurs,

tandis _que le deuxième terme donne le

couplage

entre ces deux modes _par leur

recouvrement

spatial,

et va

produire

la levée de

dégénérescence

entre les modes.

Nous faisons ensuite

l’approximation

de

l’enveloppe

lentement variable

qui

consiste à

négliger 2E±0/dt2d

devant les autres termes

±02E03C9

et

-2i03C9dE±0/dt,

dans

l’expression (3.3),

qui

devient

alors,

pour le membre de

gauche :

La même

approximation

permet

également

de

simplifier

le membre de droite:

Nous obtenons finalement en reportant cette

expression

dans

(3.4):

Si nous supposons que la

pulsation

du

champ

excitateur 03C9 est voisine de la

pulsation

de résonance 03C9n,l, ^alors

03C92 - ~ n,l203C9203C9(03C9 - 03C9n,l)

et il s’ensuit :

où

k03B403C9 ~ - 03C9 2 03A3 03B12)|, (r± V|fk correspond

au

déplacement

en

fréquence

dû à l’effet d’indice des

dipôles,

et

039403C9± ~ -03C9 2 03A3 ) k(r±*).fk(r~ Vfk03B1 représente

la levée de

dégénérescence

due

au

couplage

entre les modes. Les écarts 039403C9+ et 039403C9- sont des

quantités complexes

et

sont

conjuguées

entre elles.

Écrivons

alors

039403C9±

=

|039403C9|, e±i~ où ~

est une

phase

liée à la

répartition

des diffuseurs dans le

champ

du mode. Cette

phase

n’est _pas

mesurable2,

nous l’éliminons donc dans notre

calcul,

en redéfinissant les

enveloppes

lentement variables selon

±0 ~ E e. ±i~/20±E L’expression

du module

|039403C9|,

peut en outre être

précisée:

Pour un

grand

nombre de

dipôles répartis aléatoirement,

la somme sur les contributions croisées associées à des

dipôles

localisés dans des sites _rj et rk

avec j ~ k,

s’annule et il

reste:

qui devient, après

en avoir

simplifié l’écriture,

en introduisant une

polarisabilité

moyenne

relation dans

laquelle

03C1sc

représente

la densité _moyenne de centres diffuseurs dans le mode considéré

2 On _pourrait cependant peut-être la mesurer par les techniques de cartographie, en champ proche, du

Les

équations

des modes

couplées

pour les

enveloppes (t) 0+E

et

E-0(t)

sont alors de la forme

où nous avons

posé 03C9n,l ~

03C9n,l +

03B403C9, qui

est la

pulsation

du mode renormalisée _par l’effet d’indice des

impuretés

ou des défauts. Il

s’agit

des

équations

d’évolution de deux oscil-lateurs

harmoniques,

initialement

dégénérés couplés,

dont les modes _propres d’oscillation libre

(Ein

=

0),

sont donnés _par la

superposition

linéaire des

champs propageant

et contra-propageant

03B5±(t) ~ (t) 0-(t)±E0+E

Ces modes _propres obéissent aux

équations

d’évolution

temporelles découplées:

Jusqu’à présent

nous avons délibérément omis l’atténuation du

champ

due aux pertes

intrinsèques

de la cavité ou par

couplage

à l’extérieur . Pour en tenir compte de

façon

phénoménologique,

il nous suffit

d’ajouter

un taux de pertes en 2014

(03B3A+03B3C 2)

E±0,

dans le membre de droite des

équations précédentes,

dans

lequel,

comme dans le

Chapitre II,

03B3

A

/2 représente

le taux de pertes

intrinsèque

de

l’amplitude

du

champ (par ’A’bsorption

majoritairement)

et

03B3C/2

le taux de perte dû à la

présence

d’un

coupleur

externe. Nous introduisons

également

un taux de

couplage

en entrée noté

03B3in/2.

Nous _{supposons que} le

champ

source excite le mode se propageant ^{dans la cavité dans} le sens +. Notons

Ein

le

champ

incident à la

pulsation

03C9, sur la face interne du

prisme.

Si

nous traitons

symétriquement

le

couplage

à l’entrée et à la sortie, les

équations couplées

de taux pour ^les

enveloppes

lentement variables sont finalement données _{par :}

Ainsi,

le

couplage

lève la

dégénérescence

entre les deux modes ±m et les modes _propres oscillent librement aux

pulsations

03C9± =

03C9n,l ± |039403C9|,

en l’absence de pertes. La

pulsation

03A9 associée à la levée de

dégénérescence

vaut donc:

Dans le document Etude expérimentale de l'effet laser dans des microsphères de silice dopées avec des ions neodyme (Page 108-113)