4 Microbilles laser à ions néodyme 117
4.2.1 Le modèle scalaire semiclassique
Dans le
modèle,
lechamp électrique
est traité comme une variable scalaireclassique
etobéit aux
équations
deMaxwell,
tandis que le milieuamplificateur,
considéré comme unsystème
quantique à deux niveaux, notés|1
> et|2
>, est décrit par une matrice densité p, dont lespopulations
et cohérences obéissent alors auxéquations
de Blochoptiques.
Ils’agit
d’une bonne approximation dusystème
à 4 niveaux formé par les ionsNd3+,
danslequel
le niveausupérieur
de la transition laser est alimenté par un taux de pompage effectifR,
en passant éventuellement par des niveaux
plus
hauts enénergie,
et où le niveau inférieurSous l’effet du
champ, chaque atome2du
milieuamplificateur
sepolarise.
L’utilisa-tion de la matrice densité revient à effectuer une moyennestatistique
qui conduit à lapolarisation
P Cettepolarisation
se comporte à son tour comme un terme source dans leséquations
de Maxwell Les conditions d’oscillation(seuil
etfréquence d’émission)
laser découlent alors de l’auto-cohérence dusystème
deséquations
de Maxwell et deBloch,
cepourquoi
ce modèle estqualifié
de Maxwell-Bloch.Sur le Schéma
4.5,
nous avonsreporté
les différents taux de relaxation. 03B31représente
le taux de relaxation du niveau du
bas,
, 203B3 le taux de relaxation du niveausupérieur
verstous les chemins autres que le niveau du
bas,
verslequel
il se désexcite avec le taux03B3’2,
endehors du mode laser de la cavité
auquel
nous nous intéressons. Nous introduisons alors le tauxdans
lequel le premier
termereprésente
le taux de relaxation de tous les processus de"type
T
1
",
et le deuxième termecorrespond
au taux de relaxation dû àl’élargissement homogène
de la transition(par couplage
auxphonons,
dans le cas des ionsnéodyme),
processus de"type T2" (voir
le§4 1.2)
Seuil et inversion de
population
au seuilL’opérateur
hamiltonien du modèlesemiclassique
est donné par =0
+|e|.E(r,t),
où
0 ~ E1|1><1|
+|2><2|, représente 2E
l’hamiltonien dusystème atomique; E1
etE2
sontles
énergies
des niveaux 1 et2,
et sont telles que- 2E E1 = 012703C90,
03C90 étant lapulsation
de la transition considéréePour
simplifier,
considérons unchamp électrique spatialement uniforme
On noteA(t),
l’enveloppe
lentement variable duchamp,
etEo
~N03BD, 203BB0 203B503C9
l’amplitude
maximale duchamp
laser parphoton
dans le mode de la cavité depulsation
03C903BB et de volume V.L’am-plitude
duchamp électrique
est alors notéeoù u
représente
le vecteur unitaire portant lechamp électrique.
L’élément de matrice dudipôle atomique
est donné pard12 ~ -|e| <1||2>.
Lecouplage
de cedipôle
auchamp
est alors caractérisé par lapulsation
de Rabi03A9R ~ 2 d12.E .
Le
champ
crée sur le milieuamplificateur
unepolarisation
moyenneP,
et on définit lasusceptibilité complexe ~ ~ ~’
+i~"
par:La partie imaginaire
~"
< 0 va être associée au gain, et lapartie
réelle à ladispersion.
Lapolarisation
P est en outre reliée à la cohérence 03C112 selon P =nd1203C121,
où nreprésente
la densité d’atomes dans le milieuamplificateur.
Les éléments de matrice de la matrice densité
(populations
etcohérences),
satisfont leséquations
de Bloch[74, Chap 5]
dansl’approximation
de l’onde tournante:où nous avons
posé
03B4 ~ 03C9-03C90, pour le désaccord à la résonanceatomique,
et Rreprésente
le taux de pompage du niveau|2
>,proportionnel
à l’intensité du laser de pompe.L’amplitude
A duchamp électrique
est déduite del’équation
d’onde dans un milieudiélectrique
d’indice Noù 03B3cav
correspond
au taux de pertes del’énergie électromagnétique
dans le résonateur. Dansl’approximation
del’enveloppe
lentementvariable, l’équation
d’évolution deA,
de-vient
Pour trouver le seuil d’oscillation
laser,
nous nous intéressons au taux de relaxation del’amplitude
A duchamp
et en negardant
que lapartie imaginaire,
nous trouvonsqu’à
résonance(w
= 03C90 =03C903BB)
cetteamplitude
satisfait.Le deuxième terme dans le membre de droite fait intervenir la
partie imaginaire ~"
< 0 de lasusceptibilité
etcorrespond
à un terme degain.
L’oscillation laser ne démarre quelorsque
ce taux degain
enamplitude
duchamp électrique laser, dépasse
le taux de perte, c’est à direlorsque
Dans les
systèmes
laser à 4 niveaux, le niveau du bas est trèsrapidement dépeuplé (sa
population
est doncvide, 03C1
11 ~0)
tandis que la durée de vie du niveau du haut est trèslongue.
Nous pouvons donc faire lesapproximations
03B31 » 203B3 et 03B32 »03B3’2.
Parailleurs,
dans le cas qui nous importe, 03B312 »,03B3’. 2,03B32cav03B3
Lechamp
et lespopulations
évoluent donc très lentement à l’échelle d’évolution de la cohérence 03C112. Nous nousplaçons
deplus
dans lerégime
decouplage faible
e supposant que 03A9R
« 03B312. Nous pouvons alors résoudre leséquations
de Bloch enprocédant
l’éliminationadiabatique
des cohérences. Onpeut
ainsi,
dans lerégime
stationnaire,exprimer
les cohérences en fonction de l’inversion depopulation
Le seuil
laser,
àrésonance,
peut alors être caractérisé par l’inversion depopulation:
par
3
.
où W ~ 03A92R/2 03B312
représente
le taux d’émissionspontané
dans lemode,
à résonancePar
ailleurs,
ledipôle d12
est lié au taux d’émission radiative03B3’2
de l’atome dans le milieudiélectrique,
par larelation4 03B3’2
=d
2
12
303C003B5
0
N
2
03C93 (c/N)31 .
Nous en déduisons finalementl’expression
de l’inversion depopulation
auseuil,
pour lesystème
qui nous intéresseNous avons introduit
039403BDhom ~ 03B3hom12/03C0, largeur homogène
de la transitionlaser,
et tenucompte du fait que les processus de relaxation atomique sont dominés par
l’élargissement
homogène
dans la situation qui nous intéresse3 On introduit aussi parfois la coopérativité C =
03B3, 12Rcav/2 03B32N03A9
où N représente le nombre total d’ions excités La condition de seuil prend ainsi la forme 03C122 - 03C111 ~ 1/C4 Cette expression est obtenue en supposant que le champ local est égal au champ macroscopique dans
le diélectrique Temr compte d’un facteur de correction de champ local est un problème délicat (voir par
Facteur ~
d’exaltation de l’émissionspontanée
L’une des manifestations
spectaculaires
del’électrodynamique
en cavité est l’exaltation du taux d’émissionspontanée
en milieu confiné. Pourquantifier
cetteeffet,
Purcell aintroduit un
facteur ~
défini comme le taux d’émissionspontané
dans un mode de la cavitérapporté
au taux d’émission total dans un milieuinfini5.
Dans notre cas, ce facteurvaut
Précisons que cette expression n’est valable que dans le
régime
où la relaxationatomique
domine(cas qui
nous concerne des "bonnescavités"),
maisqu’elle
peut êtregénéralisée [76]
en ~
cav V 3 03BB + 03B3bom 03BD 039403BD2= 3 403C0
Cette dernièreexpression
contient la définitionoriginale
du facteur de Purcell donnée dans le cas des "mauvaisescavités" ,
pourlesquelles
la relaxation du mode de la cavité estplus rapide
que celle de l’atome.Plus ~
estgrand
etplus
l’émission laser est concentrée dans un seul mode de laca-vité,
conduisant alors à unrégime
de fonctionnement laserinhabituel,
danslequel
les fluctuationsquantiques
jouent un rôleprépondérant À température ambiante,
le facteur de Purcell vaut environ 6 x10-3,
valeur essentiellement limitée par legrand élargissement
homogène
de la transition laser. Nous verrons dans leChapitre 5,
comment, enabais-sant la
température
à celle de l’héliumsuperfluide,
on peut augmenter ce facteurjusqu’à
des valeurs nettementsupérieures
à 1(~
= 600 si039403BDhom ~
20MHz,
parexemple),
nousplaçant
ainsi dans lerégime
de fonctionnement quantique souhaité. Dans un telrégime,
le modèlesemiclassique
que nous avons sommairement décrit dans ceparagraphe,
cessed’être valable. Il faut alors résoudre le
système d’équations
dit deHeisenberg-Langevin,
danslequel
lechamp
est traité comme une variable quantique soumises à des fluctuations données par des forces deLangevin
Les simulations de Peter Domokos[77]
ont montré que même les valeurs moyennes(population
du niveausupérieur,
et nombre dephotons
dans lemode)
sont affectées par les fluctuations5 Certains auteurs
[7]
introduisent plutôt le facteur 03B2 correspondant à la fraction du taux d’émissionspontanée dans le mode considéré rapporté au taux d’émission spontanée dans tous les modes "accessi-bles" Le régime de fonctionnement laser sans seuil, et les caractéristiques de bruit inhabituelles associées, apparaissent alors lorsque 03B2 tend vers 1, c’est à dire lorsque l’exaltation est maximale
4.2.2 Ordre de
grandeur
du seuil attendu pour les microbilles laserÉvaluons
l’inversion depopulation
au seuil pour notresystème
des ions Nd3+
dans unemicrobille de silice Dans
l’expérience
que nous décrivons au§4.4,
nous excitons le milieuamplificateur
defaçon
résonnante: le laser de pompage est mis à résonance avec un mode degalerie
de volumeVP,
que nous estimons valoirVP ~
300003BCm3
L’amplitude
duchamp électrique
laser parphoton,
pour un volume V ~ 30003BCm3
correspondant
au mode le mieuxconfiné,
vaut~ 0E 03C9 2N203B50V = 3.3 kV/m.
Pour estimerl’élément de matrice du
dipôle d12,
nous considérons le taux d’émission radiative total03B3’
2
~ 103 s-1[78],
du niveausupérieur 3/2F4
de la transition laser6.
Nous en déduisons ledipôle
de la transitiond12 ~
4 x10-32
C.m. Lapulsation
de Rabiqui
résulte ducouplage
de ce
dipôle
auchamp
d’un seulphoton
laser vaut donc= R03A9
2d12E0
= 203C0 x 450 kHz. Parailleurs,
les processus de relaxation sont dominés par la relaxation des ionscouplés
aux
phonons
de la matrice vitreuse et conduisent à unélargissement homogène 0394vhom ~
1500 GHz
[65].
Le facteur d’exaltation de l’émissionspontanée
dans le modelaser,
peutalors être déterminé dans cette
limite,
et vaut ~ ~(03BB/N) V ~ 32hom 03BD 039403BD3 403C0
2%. Le tauxd’émission stimulée au seuil s’en déduit W =
~03B3’2 ~
20s-1.
En considérant en outre le taux d’amortissement du
champ
laser dans le mode 03B3cav =203C0039403BD
cav
= 203C0 x 1.5106
= 9 4610 s-1,
nous en déduisons l’inversion depopulation
auseuil 0394N =
03B3
cav
/W
= 9.4 x106/20 ~
5 x105
ions excités au seuil d’émissionlaser,
pour le mode laser de volume V considéréÉtant
donné que le volumeVP
du mode de pompe est, dans nosexpérience,
gé-néralementplus grand
que celui du mode laser deplus
petit volumeV,
la puissance de pompe absorbée est en faitplus grande
d’un facteurVP/V
que si le recouvrementétait
parfait.
La puissance laser de pompe au seuil a donc pour expression:Pseuilpompe
=0394N x
h03BDP
x(03B32
+) 203B3’ VP/V,
soit encore,après simplification:
où
(03B32
+03B3’2) ~
2 x310
s-1correspond
au taux de relaxation total du niveausupérieur,
6 En prenant le taux d’émission total, nous surestimons un peu le dipôle associé à une seule des
transitions entre deux sous-niveaux Stark de la transition
4F3/2
~4I11/2
Cependant, compte tenu dutenant compte de tous les processus de désexcitation. Nous remarquons que le volume du mode laser
disparaît
du seuil enpuissance
de pompe, cequi
peutexpliquer pourquoi
nous n’avons pu
distinguer
différents seuils pour les différents modes lasant enrégime
multimode,
comme nous le verrons par la suite.Numériquement,
il s’ensuit une puissance de pompe absorbée pour déclancherl’émis-sion laser dans un seul mode:
Nous verrons que cette valeur de seuil est en très bon accord avec les mesures que nous
présenterons après
une brèvedescription
du montageexpérimental,
assez similaire à celui desexpériences
duChapitre
34.3 Dispositif expérimental
Dans le document
Etude expérimentale de l'effet laser dans des microsphères de silice dopées avec des ions neodyme
(Page 130-136)