Universit´e P. & M. Curie 2009-2010 Calcul vectoriel et matriciel (LM121)
Feuille d’exercices n
o7 / 7 Transformations lin´eaires de l’espace
1. Applications lin´eaires de R3 1. Pour tout r´eel a,on consid`ere les matrices
M(a) =
1 1−a (1−a)2 0 a 2a(1−a)
0 0 a2
, D(a) =
1 0 0
0 a 0
0 0 a2
, P =
1 1 1
0 −1 −2
0 0 1
(1) CalculerP2 et donner l’inverse deP.
(2) V´erifier que M(a) et D(a) sont conjugu´ees ∀a ∈ R. (On pourra calculer P D(a)P−1.)
(3) Montrer que∀(a, b)∈R2, M(a)M(b) =M(ab).
(4) En d´eduire que∀a∈R, ∀n∈N, [M(a)]n=M(an).
(5) Comment choisirc∈Rpour queM(c) =I? Montrer que sia6= 0,il existe un r´eelbtel que M(a)M(b) =I.En d´eduire l’inverse deM(a).La matrice M(0) est-elle inversible ?
2. On travaille dans R3.
Soitφ∈ L(R3). Soit (λ1, λ2, λ3)∈R3tel que : 0< λ1< λ2< λ3. Soit (x1, x2, x3)∈ (R3− {0})3.
On suppose que :
φ(x1) =λ1x1
φ(x2) =λ2x2
φ(x3) =λ3x3
(1) Montrer que :∀(i, j)∈ {1,2,3}2,aveci6=j,{xi, xj} est libre (2) La famille{x1, x2, x3} est-elle libre ?
3. Soitf ∈ L(R3) telle quef3= 0 etf26= 0 On consid´eree∈R3 tel quef2(e)6= 0
(1) Soient α, β, γ ∈ R tels que u := αe+βf(e) +γf2(e) = 0. Montrer que α=β=γ= 0 (Indication : calculerf(u) etf2(u)
(2) Montrer que la famillee, f(e), f2(e) est une base deR3 2. Op´erateurs orthogonaux
4. Appartenance `aO2(R) etO3(R). Soitθ∈R. Montrer que les matrices suivantes sont orthogonales :
R2,θ=
cosθ −sinθ sinθ cosθ
, S2,θ=
cosθ sinθ sinθ −cosθ
, R3,θ=
cosθ −sinθ 0 sinθ cosθ 0
0 0 1
S3,θ=
cosθ sinθ 0 sinθ −cosθ 0
0 0 1
, C3,θ =
cosθ −sinθ 0 sinθ cosθ 0
0 0 −1
,
1
2
5. Appartenance `aSO2(R) etSO3(R). Parmi les matrices de l’exercice pr´ec´edent, d´eterminer les rotations.
6. CNS. Soient (a, b)∈R×R∗+. SoitM =
a b b b a b b b a
. D´eterminer une condi-
tion n´ecessaire et suffisante sur le couple (a, b) pour queM soit orthogonale. Est-ce une rotation ? Pr´eciser la nature de la transformation.
7. Axe de rotation. Soitθ∈R. Soit : Rθ=
1 0 0
0 cosθ −sinθ 0 sinθ cosθ
SoitX ∈R3. Montrer que RθX+tRθX+ (1−tr(Rθ))X est invariant parRθ. SoitR une rotation deR3. D´eduire de ce qui pr´ecede que :
Y =RθX+tRθX+ (1−tr(Rθ))X
est invariant parR. Que dire deY? Cette m´ethode permet-elle de trouver l’axe de rotation d’un ´el´ement de SO3? Pourquoi ?
8. Soit la matriceA∈ M3(R) d´efinie par : A=1
4
3 1 √
6
1 3 −√
6
−√
6 √
6 2
D´eterminer la nature de A. D´eterminer l’axe de rotation de A. Soit θ l’angle de la rotation. On rappelle que la trace d’une matrice est la somme des ´el´ements diagonaux et que deux matrices conjugu´ees ont mˆeme trace. En d´eduire la valeur de cosθ.
9. Soit la matriceA∈ M3(R) d´efinie par : A= 1
9
−8 4 1
4 7 4
1 4 −8
Quelle est la nature deA? CalculertA. Conclure.
