M´ecanique des fluides

M´ ecanique des fluides

Mahdi Ben Jelloul

Laboratoire de Physique des Oc´eans Universit´e de Bretagne Occidentale

Licence de Sciences Physiques. Second semestre 2004–2005

Plan

1 Introduction

2 Hydrostatique

3 Cin´ematique. Conservation de la masse. Incompressibilit´e

4 Dynamique

5 Fluide parfait

6 Fluide visqueux

Cin´ ematique des fluides

1 Approximation des milieux continus

2 Euler vs. Lagrange

3 Visualisation d’un ´ecoulement

4 ´Evolution temporelle en suivant le mouvement D´eriv´ee particulaire

5 Lois de conservation

Equation de conservation locale´ Conditions aux limites cin´ematiques

Cin´ ematique des fluides

1 Approximation des milieux continus

2 Euler vs. Lagrange

3 Visualisation d’un ´ecoulement

4 ´Evolution temporelle en suivant le mouvement D´eriv´ee particulaire

5 Lois de conservation

Equation de conservation locale´ Conditions aux limites cin´ematiques

Cin´ ematique des fluides

1 Approximation des milieux continus

2 Euler vs. Lagrange

3 Visualisation d’un ´ecoulement

4 ´Evolution temporelle en suivant le mouvement D´eriv´ee particulaire

5 Lois de conservation

Equation de conservation locale´ Conditions aux limites cin´ematiques

Cin´ ematique des fluides

1 Approximation des milieux continus

2 Euler vs. Lagrange

3 Visualisation d’un ´ecoulement

4 ´Evolution temporelle en suivant le mouvement D´eriv´ee particulaire

5 Lois de conservation

Equation de conservation locale´ Conditions aux limites cin´ematiques

Cin´ ematique des fluides

1 Approximation des milieux continus

2 Euler vs. Lagrange

3 Visualisation d’un ´ecoulement

4 ´Evolution temporelle en suivant le mouvement D´eriv´ee particulaire

5 Lois de conservation

Equation de conservation locale´ Conditions aux limites cin´ematiques

Approximation des milieux continus

Echelle de la m´´ ecanique des milieux continus : microscopique <m´esoscopique <macroscopique Description en terme de champ:

valeur moyenne sur un volume ´el´ementaire (particule fluide) fonction continue de la variable d’espacer

Cas particulier du fluide :

scalaire: masse volumiqueρ(r,t), pressionp(r,t), temp´erature T(r,t),

vectoriels: vitesseu(r,t).

Approximation des milieux continus

Echelle de la m´´ ecanique des milieux continus : microscopique <m´esoscopique <macroscopique Description en terme de champ:

valeur moyenne sur un volume ´el´ementaire (particule fluide) fonction continue de la variable d’espacer

Cas particulier du fluide :

scalaire: masse volumiqueρ(r,t), pressionp(r,t), temp´erature T(r,t),

vectoriels: vitesseu(r,t).

Approximation des milieux continus

Echelle de la m´´ ecanique des milieux continus : microscopique <m´esoscopique <macroscopique Description en terme de champ:

valeur moyenne sur un volume ´el´ementaire (particule fluide) fonction continue de la variable d’espacer

Cas particulier du fluide :

scalaire: masse volumiqueρ(r,t), pressionp(r,t), temp´erature T(r,t),

vectoriels: vitesseu(r,t).

Approximation des milieux continus

Echelle de la m´´ ecanique des milieux continus : microscopique <m´esoscopique <macroscopique Description en terme de champ:

valeur moyenne sur un volume ´el´ementaire (particule fluide) fonction continue de la variable d’espacer

Cas particulier du fluide :

scalaire: masse volumiqueρ(r,t), pressionp(r,t), temp´erature T(r,t),

vectoriels: vitesseu(r,t).

Approximation des milieux continus

Echelle de la m´´ ecanique des milieux continus : microscopique <m´esoscopique <macroscopique Description en terme de champ:

valeur moyenne sur un volume ´el´ementaire (particule fluide) fonction continue de la variable d’espacer

Cas particulier du fluide :

scalaire: masse volumiqueρ(r,t), pressionp(r,t), temp´erature T(r,t),

vectoriels: vitesseu(r,t).

Approximation des milieux continus

Echelle de la m´´ ecanique des milieux continus : microscopique <m´esoscopique <macroscopique Description en terme de champ:

valeur moyenne sur un volume ´el´ementaire (particule fluide) fonction continue de la variable d’espacer

Cas particulier du fluide :

scalaire: masse volumiqueρ(r,t), pressionp(r,t), temp´erature T(r,t),

vectoriels: vitesseu(r,t).

Approximation des milieux continus

Echelle de la m´´ ecanique des milieux continus : microscopique <m´esoscopique <macroscopique Description en terme de champ:

valeur moyenne sur un volume ´el´ementaire (particule fluide) fonction continue de la variable d’espacer

Cas particulier du fluide :

scalaire: masse volumiqueρ(r,t), pressionp(r,t), temp´erature T(r,t),

vectoriels: vitesseu(r,t).

Approximation des milieux continus

Echelle de la m´´ ecanique des milieux continus : microscopique <m´esoscopique <macroscopique Description en terme de champ:

valeur moyenne sur un volume ´el´ementaire (particule fluide) fonction continue de la variable d’espacer

Cas particulier du fluide :

scalaire: masse volumiqueρ(r,t), pressionp(r,t), temp´erature T(r,t),

vectoriels: vitesseu(r,t).

Coordonn´ ee Lagrangienne vs. coordonn´ ee Eul´ erienne (1)

Lacin´ematique est l’´etude des mouvements abstraction faite des forces qui les produisent.

Rep´erer une particule fluide

r=R(r0,t),

r₀=R(r₀,t₀) coordonn´ee mat´erielle (´etiquette Lagrangienne) rcoordonn´ee spatiale `a l’instant t (description eul´erienne) La fonctionRest une fonction de l’espace et du temps dont la connaissance d´etermine parfaitement le mouvement de

particules fluides.

Coordonn´ ee Lagrangienne vs. coordonn´ ee Eul´ erienne (1)

La cin´ematique est l’´etude des mouvements abstraction faite des forces qui les produisent.

Rep´erer une particule fluide

r=R(r0,t),

r₀=R(r₀,t₀) coordonn´ee mat´erielle (´etiquette Lagrangienne) rcoordonn´ee spatiale `a l’instant t (description eul´erienne) La fonctionRest une fonction de l’espace et du temps dont la connaissance d´etermine parfaitement le mouvement de

particules fluides.

Coordonn´ ee Lagrangienne vs. coordonn´ ee Eul´ erienne (1)

La cin´ematique est l’´etude des mouvements abstraction faite des forces qui les produisent.

Rep´erer une particule fluide

r=R(r0,t),

r₀=R(r₀,t₀) coordonn´ee mat´erielle (´etiquette Lagrangienne) rcoordonn´ee spatiale `a l’instant t (description eul´erienne) La fonctionRest une fonction de l’espace et du temps dont la connaissance d´etermine parfaitement le mouvement de

particules fluides.

Coordonn´ ee Lagrangienne vs. coordonn´ ee Eul´ erienne (1)

La cin´ematique est l’´etude des mouvements abstraction faite des forces qui les produisent.

Rep´erer une particule fluide

r=R(r0,t),

r₀=R(r₀,t₀)coordonn´ee mat´erielle(´etiquette Lagrangienne) rcoordonn´ee spatiale `a l’instant t (description eul´erienne) La fonctionRest une fonction de l’espace et du temps dont la connaissance d´etermine parfaitement le mouvement de

particules fluides.

Coordonn´ ee Lagrangienne vs. coordonn´ ee Eul´ erienne (1)

La cin´ematique est l’´etude des mouvements abstraction faite des forces qui les produisent.

Rep´erer une particule fluide

r=R(r0,t),

r₀=R(r₀,t₀) coordonn´ee mat´erielle (´etiquette Lagrangienne) rcoordonn´ee spatiale`a l’instant t (description eul´erienne) La fonctionRest une fonction de l’espace et du temps dont la connaissance d´etermine parfaitement le mouvement de

particules fluides.

Coordonn´ ee Lagrangienne vs. coordonn´ ee Eul´ erienne (1)

La cin´ematique est l’´etude des mouvements abstraction faite des forces qui les produisent.

Rep´erer une particule fluide

r=R(r0,t),

r₀=R(r₀,t₀) coordonn´ee mat´erielle (´etiquette Lagrangienne) rcoordonn´ee spatiale `a l’instant t (description eul´erienne) La fonctionRest une fonction de l’espace et du temps dont la connaissance d´etermine parfaitement le mouvement de

particules fluides.

Description Lagrangienne vs. description Eul´ erienne (2)

1 Point de vue Lagrangien : c’est point de vue particulaire; la mesure de l’´evolution du param`etre se fait en suivant le mouvement. La valeur d’un param`etre est donn´e par la fonction f₀(r₀,t) qui est la valeur de celui-ci `a l’instantt pour une particule fluide se trouvant enr0 `at = 0.

2 Point de vue Eul´erien : L’´evolution du param`etre est ´etudi´e en un point fixe par la donn´ee de la fonction

f(r,t) =f(R(r₀,t),t).

Description Lagrangienne vs. description Eul´ erienne (2)

1 Point de vue Lagrangien : c’est point de vue particulaire ; la mesure de l’´evolution du param`etre se fait en suivant le mouvement. La valeur d’un param`etre est donn´e par la fonction f₀(r₀,t) qui est la valeur de celui-ci `a l’instantt pour une particule fluide se trouvant enr0 `at = 0.

2 Point de vue Eul´erien : L’´evolution du param`etre est ´etudi´e enun point fixe par la donn´ee de la fonction

f(r,t) =f(R(r₀,t),t).

Champs de vitesse

Par d´efinition, le champ de vitesse en un pointr et `a un instant t d’une particule fluide

u(r,t)≡ ∂R(r0,t)

∂t

r0=R⁻¹_t (r)

, (1)

o`u R⁻¹_t est la fonction r´eciproque de la fonction Rt d´efinie par R_t(r₀) =R(r₀,t).

La description Eul´erienne est plus facile `a l’usage, c’est celle que nous retiendrons.

Champs de vitesse

Par d´efinition, le champ de vitesse en un pointr et `a un instant t d’une particule fluide

u(r,t)≡ ∂R(r0,t)

∂t

r0=R⁻¹_t (r)

, (1)

o`u R⁻¹_t est la fonction r´eciproque de la fonction Rt d´efinie par R_t(r₀) =R(r₀,t).

La description Eul´erienne est plus facile `a l’usage, c’est celle que nous retiendrons.

Visualiser et repr´ esenter graphiquement

1 Trajectoires particulaires: Certaines particules sont marqu´ees et il est ainsi possible de suivre leurs trajectoires. C’est la courbe repr´esentative de la fonctionR(r₀,t) lorsque r₀ fix´e et seul le temps t est variable.

2 Lignes de courants: Les lignes de courant sont les courbes qui sont, pour un instant t donn´e, tangente au champ de vitesse. Ce sont les courbes int´egrales du champs de vitesse `a un instant t donn´e. Elles v´erifient donc :

dx u = dy

v = dz w

D´ eriv´ ee particulaire

une grandeur scalaire (ou vectorielle)f(r,t)

un observateur rep´er´e par :r=R(t) suivant le mouvement du fluide

Par d´efinition de la vitesse u: ^dR_dt ≡u(R(t),t).

L’´evolution en suivant le mouvement est donn´ee par la d´eriv´ee particulaire, ou d´eriv´ee Lagrangienne :

Df Dt ≡ d

dtf(R(t),t) = lim

dt→0

f(R(t+dt,t+dt))−f(R(t),t) dt

Or

f(R(t+dt,t+dt))−f(R(t),t)'f(R(t),t)+∂f

∂RdR+∂f

∂tdt−f(R(t),t)

=

∂f

∂t +dR dt

∂f

∂R

dt =

∂f

∂t +u·∇f

dt

D´ eriv´ ee particulaire

une grandeur scalaire (ou vectorielle)f(r,t)

un observateur rep´er´e par :r=R(t) suivant le mouvement du fluide

Par d´efinition de la vitesse u: ^dR_dt ≡u(R(t),t).

L’´evolution en suivant le mouvement est donn´ee par la d´eriv´ee particulaire, ou d´eriv´ee Lagrangienne :

Df Dt ≡ d

dtf(R(t),t) = lim

dt→0

f(R(t+dt,t+dt))−f(R(t),t) dt

Or

f(R(t+dt,t+dt))−f(R(t),t)'f(R(t),t)+∂f

∂RdR+∂f

∂tdt−f(R(t),t)

=

∂f

∂t +dR dt

∂f

∂R

dt =

∂f

∂t +u·∇f

dt

D´ eriv´ ee particulaire

une grandeur scalaire (ou vectorielle)f(r,t)

un observateur rep´er´e par :r=R(t) suivant le mouvement du fluide

Par d´efinition de la vitesse u: ^dR_dt ≡u(R(t),t).

L’´evolution en suivant le mouvement est donn´ee par la d´eriv´ee particulaire, ou d´eriv´ee Lagrangienne :

Df Dt ≡ d

dtf(R(t),t) = lim

dt→0

f(R(t+dt,t+dt))−f(R(t),t) dt

Or

f(R(t+dt,t+dt))−f(R(t),t)'f(R(t),t)+∂f

∂RdR+∂f

∂tdt−f(R(t),t)

= ∂f

∂t +dR dt

∂f

∂R

dt = ∂f

∂t +u·∇f

dt

D´ eriv´ ee particulaire

une grandeur scalaire (ou vectorielle)f(r,t)

un observateur rep´er´e par :r=R(t) suivant le mouvement du fluide

Par d´efinition de la vitesse u: ^dR_dt ≡u(R(t),t).

L’´evolutionen suivant le mouvementest donn´ee par lad´eriv´ee particulaire, oud´eriv´ee Lagrangienne:

Df Dt ≡ d

dtf(R(t),t) = lim

dt→0

f(R(t+dt,t+dt))−f(R(t),t) dt

Or

f(R(t+dt,t+dt))−f(R(t),t)'f(R(t),t)+∂f

∂RdR+∂f

∂tdt−f(R(t),t)

= ∂f

∂t +dR dt

∂f

∂R

dt = ∂f

∂t +u·∇f

dt

D´ eriv´ ee particulaire (2)

La d´eriv´ee en suivant le mouvement, o`u d´eriv´ee Lagrangienne est donc :

Df Dt ≡ ∂f

∂t +u·∇f

On appelle notation de Reynolds, l’usage de la d´eriv´ee temporelle sous la forme : _Dt^D .

Par exemple si on consid`ere l’abscisse x, il vient : Dx

Dt =u,

et plus g´en´eralement si consid`ere la positionr, il vient : Dr

Dt =u.

Volume de contrˆ ole

Soit un volume fixe ou en mouvement mais ouvert V d´elimit´e par une surface A. Un tel volume est ditvolume de contrˆole.

Le bilan de la grandeur extensive f(r,t) =ρ(r,t)θ(r,t) s’´etablit en deux ´etapes (en l’absence de sources).

Volume de contrˆ ole

Soit un volume fixe ou en mouvement mais ouvert V d´elimit´e par une surface A. Un tel volume est ditvolume de contrˆole.

Le bilan de la grandeur extensive f(r,t) =ρ(r,t)θ(r,t) s’´etablit en deux ´etapes (en l’absence de sources).

Volume de contrˆ ole

Soit un volume fixe ou en mouvement mais ouvert V d´elimit´e par une surface A. Un tel volume est ditvolume de contrˆole.

Le bilan de la grandeur extensive f(r,t) =ρ(r,t)θ(r,t) s’´etablit en deux ´etapes (en l’absence de sources).

Bilan d’une grandeur extensive

Variation de f =ρθ dans le volume V : Z

V

d³r lim

dt→0

ρ(r,t+dt)θ(r,t+dt)−ρ(r,t)θ(r,t)

dt =

Z

V

d³r∂(ρ θ)

∂t .

Le bilan des flux sortants :

− I

A

d²r(ρ θu)·n=− Z

V

d³r∇·(ρ θu).

Les deux quantit´es doivent ˆetre ´egales.

Bilan d’une grandeur extensive

Variation de f =ρθ dans le volume V : Z

V

d³r lim

dt→0

ρ(r,t+dt)θ(r,t+dt)−ρ(r,t)θ(r,t)

dt =

Z

V

d³r∂(ρ θ)

∂t .

Le bilan des flux sortants :

− I

A

d²r(ρ θu)·n=− Z

V

d³r∇·(ρ θu).

Les deux quantit´es doivent ˆetre ´egales.

Bilan d’une grandeur extensive

Variation de f =ρθ dans le volume V : Z

V

d³r lim

dt→0

ρ(r,t+dt)θ(r,t+dt)−ρ(r,t)θ(r,t)

dt =

Z

V

d³r∂(ρ θ)

∂t .

Le bilan des flux sortants :

− I

A

d²r(ρ θu)·n=− Z

V

d³r∇·(ρ θu).

Les deux quantit´es doivent ˆetre ´egales.

Loi de conservation

Loi de conservation (advection seule) : ∂(ρ θ)

∂t +∇·(ρ θu) = 0.

∂(ρ θ)

∂t +u·∇(ρ θ) =−(ρ θ)∇·u (θ concentration massique), Df

Dt = ∂f

∂t +u·∇f =−f ∇·u (f concentration volumique).

Loi de conservation g´en´erale : ∂(ρ θ)

∂t +∇·F_f =S_f(r,t), o`u F_f est le flux total (advec. + “diffusif”) etS(r,t) est le terme

Loi de conservation

Loi de conservation (advection seule) : ∂(ρ θ)

∂t +∇·(ρ θu) = 0.

∂(ρ θ)

∂t +u·∇(ρ θ) =−(ρ θ)∇·u (θ concentration massique), Df

Dt = ∂f

∂t +u·∇f =−f ∇·u (f concentration volumique).

Loi de conservation g´en´erale : ∂(ρ θ)

∂t +∇·F_f =S_f(r,t), o`u F_f est le flux total (advec. + “diffusif”) etS(r,t) est le terme

Loi de conservation

Loi de conservation (advection seule) : ∂(ρ θ)

∂t +∇·(ρ θu) = 0.

∂(ρ θ)

∂t +u·∇(ρ θ) =−(ρ θ)∇·u (θ concentration massique), Df

Dt = ∂f

∂t +u·∇f =−f ∇·u (f concentration volumique).

Loi de conservation g´en´erale : ∂(ρ θ)

∂t +∇·F_f =S_f(r,t), o`u F_f est leflux total (advec. + “diffusif”) etS(r,t) est le terme

Loi de conservation

Loi de conservation (advection seule) : ∂(ρ θ)

∂t +∇·(ρ θu) = 0.

∂(ρ θ)

∂t +u·∇(ρ θ) =−(ρ θ)∇·u (θ concentration massique), Df

Dt = ∂f

∂t +u·∇f =−f ∇·u (f concentration volumique).

Loi de conservation g´en´erale : ∂(ρ θ)

∂t +∇·F_f =S_f(r,t), o`u F_f est leflux total (advec. + “diffusif”) etS(r,t) est leterme

Conservation de la masse

Prenonsθ= 1, pour avoir la conservation de la masse :

∂ρ

∂t +∇·(ρu) = 0, En d´eveloppant la divergence :

1 ρ

Dρ

Dt =−∇·u.

Le taux d’accroissement de la masse volumique (pris ici en suivant le mouvement du fait que c’est un param`etre mat´eriel du fluide) est donc proportionnel `a la convergence (l’oppos´e de la divergence) du champ de vitesse.

Conservation de la masse

Prenonsθ= 1, pour avoir la conservation de la masse :

∂ρ

∂t +∇·(ρu) = 0, En d´eveloppant la divergence :

1 ρ

Dρ

Dt =−∇·u.

Le taux d’accroissement de la masse volumique (pris ici en suivant le mouvement du fait que c’est un param`etre mat´eriel du fluide) est donc proportionnel `a la convergence (l’oppos´e de la divergence) du champ de vitesse.

Conservation de la masse

Prenonsθ= 1, pour avoir la conservation de la masse :

∂ρ

∂t +∇·(ρu) = 0, En d´eveloppant la divergence :

1 ρ

Dρ

Dt =−∇·u.

Le taux d’accroissement de la masse volumique (pris ici en suivant le mouvement du fait que c’est un param`etre mat´eriel du fluide) est donc proportionnel `a la convergence (l’oppos´e de la divergence) du champ de vitesse.

Incompressibilit´ e

Un fluide est un fluide incompressible si sa masse volumique est constante dans le temps et dans l’espace.

∇·u= 0.

Un ´ecoulement est un ´ecoulement incompressible si son champ de vitesse est `a divergence nulle.

Si un fluide incompressible ob´eit n´ecessairement un `a

´

ecoulement incompressible, la r´eciproque n’est pas toujours r´ealis´ee (cas de l’atmosph`ere isotherme).

Incompressibilit´ e

Un fluide est un fluide incompressible si sa masse volumique est constante dans le temps et dans l’espace.

∇·u= 0.

Un ´ecoulement est un ´ecoulement incompressible si son champ de vitesse est `adivergence nulle.

Si un fluide incompressible ob´eit n´ecessairement un `a

´

ecoulement incompressible, la r´eciproque n’est pas toujours r´ealis´ee (cas de l’atmosph`ere isotherme).

Incompressibilit´ e

Un fluide est un fluide incompressible si sa masse volumique est constante dans le temps et dans l’espace.

∇·u= 0.

Un ´ecoulement est un ´ecoulement incompressible si son champ de vitesse est `a divergence nulle.

Si un fluide incompressible ob´eit n´ecessairement un `a

´

ecoulement incompressible, la r´eciproque n’est pas toujours r´ealis´ee (cas de l’atmosph`ere isotherme).

Loi de conservation int´ egrale

le th´eor`eme de Leibniz d

dt Z

V

d³rf

= Z

V

d³r ∂f

∂t +∇·(fu)

= Z

V

d³r ∂f

∂t +u·∇f +f ∇·u

= Z

V

d³r Df

Dt +f ∇·u

.

En utilisant l’´equation de conservation de la masse, il vient d

dt Z

V

d³rρ θ

= Z

V

d³r ρDθ Dt

Loi de conservation int´ egrale

le th´eor`eme de Leibniz d

dt Z

V

d³rf

= Z

V

d³r ∂f

∂t +∇·(fu)

= Z

V

d³r ∂f

∂t +u·∇f +f ∇·u

= Z

V

d³r Df

Dt +f ∇·u

.

En utilisant l’´equation de conservation de la masse, il vient d

dt Z

V

d³rρ θ

= Z

V

d³r ρDθ Dt

Conditions aux limites cin´ ematiques

Vitesse normale

Fronti`ere immobile :u·= 0.

Fronti`ere mobile : (u−us)·= 0.

Vitesse tangente : d´epend de la dynamique (contraintes du type viscosit´e) si elles existent sinon elles sont libres.

Conditions aux limites cin´ ematiques

Vitesse normale

Fronti`ere immobile :u·= 0.

Fronti`ere mobile : (u−us)·= 0.

Vitesse tangente : d´epend de la dynamique (contraintes du type viscosit´e) si elles existent sinon elles sont libres.

Conditions aux limites cin´ ematiques

Vitesse normale

Fronti`ere immobile :u·= 0.

Fronti`ere mobile : (u−us)·= 0.

Vitesse tangente : d´epend de la dynamique (contraintes du type viscosit´e) si elles existent sinon elles sont libres.