Introduction ` a la m´ ecanique des fluides.
P. Ribi`ere
Coll`ege Stanislas
Ann´ee Scolaire 2017/2018
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Introduction `a la m´ecanique des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 1 / 33
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Introduction `a la m´ecanique des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 2 / 33
1 Etude des fluides.
2 Conservation de la mati`ere.
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Etude des fluides. D´efinition d’un fluide.
Plan
1 Etude des fluides.
D´efinition d’un fluide.
M´ecanique des fluides.
Description Lagrangienne et Eul´erienne.
2 Conservation de la mati`ere.
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Etude des fluides. D´efinition d’un fluide.
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Etude des fluides. D´efinition d’un fluide.
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Etude des fluides. D´efinition d’un fluide.
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Etude des fluides. M´ecanique des fluides.
Plan
1 Etude des fluides.
D´efinition d’un fluide.
M´ecanique des fluides.
Description Lagrangienne et Eul´erienne.
2 Conservation de la mati`ere.
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Etude des fluides. M´ecanique des fluides.
La m´ecanique des fluides est une branche de lam´ecanique des milieux continus.
Etude `a l’´echellem´esoscopique 0,1µm.
Echelle grande devant l’´echelle microscopique (taille mol´ecules et libre parcours moyen l∗)⇒ grandeurs thermodynamiques telles P, T sont d´efinies.
Echelle petite devant l’´echelle macroscopique (”notre” taille, au mieux le mm)⇒grandeurs d´efinies ”localement” : P(M), T(M).
D´efinition d’uneparticule de fluide: ´el´ement de volume de taille m´esoscopique 0,1µm3, centr´e en M et sur lequel sont d´efinies P(M), T(M).
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Etude des fluides. M´ecanique des fluides.
La m´ecanique des fluides est une branche de lam´ecanique des milieux continus.
Etude `a l’´echellem´esoscopique 0,1µm.
Echelle grande devant l’´echelle microscopique (taille mol´ecules et libre parcours moyen l∗)⇒ grandeurs thermodynamiques telles P, T sont d´efinies.
Echelle petite devant l’´echelle macroscopique (”notre” taille, au mieux le mm)⇒grandeurs d´efinies ”localement” : P(M), T(M).
D´efinition d’uneparticule de fluide: ´el´ement de volume de taille m´esoscopique 0,1µm3, centr´e en M et sur lequel sont d´efinies P(M), T(M).
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Introduction `a la m´ecanique des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 9 / 33
Etude des fluides. M´ecanique des fluides.
La m´ecanique des fluides est une branche de lam´ecanique des milieux continus.
Etude `a l’´echellem´esoscopique 0,1µm.
Echelle grande devant l’´echelle microscopique (taille mol´ecules et libre parcours moyen l∗)⇒ grandeurs thermodynamiques telles P, T sont d´efinies.
Echelle petite devant l’´echelle macroscopique (”notre” taille, au mieux le mm)⇒grandeurs d´efinies ”localement” : P(M), T(M).
D´efinition d’uneparticule de fluide: ´el´ement de volume de taille m´esoscopique 0,1µm3, centr´e en M et sur lequel sont d´efinies P(M), T(M).
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Introduction `a la m´ecanique des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 9 / 33
Etude des fluides. M´ecanique des fluides.
D´efinition d’uneparticule de fluide: ´el´ement de volume de taille m´esoscopique 0,1µm3, centr´e en M et sur lequel sont d´efinies P(M,t), T(M,t).
La vitesse est aussi d´efinie sur la particule de fluide.
~
v(M,t) =< ~vi >i∈dτ
Cette vitesse d´ecrit le mouvement d’ensemble du fluide.
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Etude des fluides. Description Lagrangienne et Eul´erienne.
Plan
1 Etude des fluides.
D´efinition d’un fluide.
M´ecanique des fluides.
Description Lagrangienne et Eul´erienne.
2 Conservation de la mati`ere.
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Introduction `a la m´ecanique des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 11 / 33
Etude des fluides. Description Lagrangienne et Eul´erienne.
Description Lagrangienne, point de vue m´ecanique usuel :
Un observateur ”d´ecoupe” `a t=0 le fluide, nommer chacune des particules ”M0” de fluides `a t=0 puis ”suit” leur mouvement.
D´efinition de~vM0(t)∀M0et dela trajectoiredes particules de fluides (au sens m´ecanique usuel).
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Introduction `a la m´ecanique des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 12 / 33
Etude des fluides. Description Lagrangienne et Eul´erienne.
Description Lagrangienne, point de vue m´ecanique usuel :
Un observateur ”d´ecoupe” `a t=0 le fluide, nommer chacune des particules ”M0” de fluides `a t=0 puis ”suit” leur mouvement.
D´efinition de~vM0(t)∀M0et dela trajectoiredes particules de fluides (au sens m´ecanique usuel).
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Introduction `a la m´ecanique des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 12 / 33
Etude des fluides. Description Lagrangienne et Eul´erienne.
Description Lagrangienne, point de vue m´ecanique usuel :
Un observateur ”d´ecoupe” `a t=0 le fluide, nommer chacune des particules ”M0” de fluides `a t=0 puis ”suit” leur mouvement.
D´efinition de~vM0(t)∀M0et dela trajectoiredes particules de fluides (au sens m´ecanique usuel).
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Introduction `a la m´ecanique des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 12 / 33
Etude des fluides. Description Lagrangienne et Eul´erienne.
Description Eul´erienne :
Un observateur ”d´ecoupe”, pour chaque instant t, le fluide selon un quadrillagefixe, puis regarde le mouvement de la particule qui passe en M `a l’instant t
D´efinition de~v(M,t) et des lignes de champs de vitesse (ligne tangente `a la vitesse en tout point).
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Introduction `a la m´ecanique des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 13 / 33
Etude des fluides. Description Lagrangienne et Eul´erienne.
Description Eul´erienne :
Un observateur ”d´ecoupe”, pour chaque instant t, le fluide selon un quadrillagefixe, puis regarde le mouvement de la particule qui passe en M `a l’instant t
D´efinition de~v(M,t) et des lignes de champs de vitesse (ligne tangente `a la vitesse en tout point).
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Introduction `a la m´ecanique des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 13 / 33
Etude des fluides. Description Lagrangienne et Eul´erienne.
Description Eul´erienne :
Un observateur ”d´ecoupe”, pour chaque instant t, le fluide selon un quadrillagefixe, puis regarde le mouvement de la particule qui passe en M `a l’instant t
D´efinition de~v(M,t) et des lignes de champs de vitesse (ligne tangente `a la vitesse en tout point).
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Introduction `a la m´ecanique des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 13 / 33
Etude des fluides. Description Lagrangienne et Eul´erienne.
La description Eul´erienne est plus adapt´ee `a l’´etude des milieux continus.
Figure–Description Eul´erienne d’un ´ecoulement de fluide autour d’un obstacle.
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Introduction `a la m´ecanique des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 14 / 33
Etude des fluides. Description Lagrangienne et Eul´erienne.
La description Eul´erienne est plus adapt´ee `a l’´etude des milieux continus.
Figure–Description Eul´erienne d’un ´ecoulement de fluide autour d’un obstacle (aile).
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Introduction `a la m´ecanique des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 15 / 33
Etude des fluides. Description Lagrangienne et Eul´erienne.
La description Eul´erienne est plus adapt´ee `a l’´etude des milieux continus.
Figure–Description Eul´erienne d’un ´ecoulement de fluide dans un canal (maison).
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Etude des fluides. Description Lagrangienne et Eul´erienne.
Champ (de vitesse) stationnaire.
Le champ (de vitesse) est dit stationnaire si la vitesse ne d´epend pas du temps.
Figure–Description Eul´erienne d’un ´ecoulement de fluide autour d’un obstacle `at=t1.
Figure–Description Eul´erienne d’un ´ecoulement de fluide autour d’un obstacle `at=t2.
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Introduction `a la m´ecanique des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 17 / 33
Etude des fluides. Description Lagrangienne et Eul´erienne.
Champ (de vitesse) stationnaire.
Le champ (de vitesse) est dit stationnaire si la vitesse ne d´epend pas du temps.
Figure–Description Eul´erienne d’un ´ecoulement de fluide autour d’un obstacle `at=t1.
Figure–Description Eul´erienne d’un ´ecoulement de fluide autour d’un obstacle `at=t2.
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Introduction `a la m´ecanique des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 17 / 33
Etude des fluides. Description Lagrangienne et Eul´erienne.
Champ (de vitesse) stationnaire.
Le champ (de vitesse) est dit stationnaire si la vitesse ne d´epend pas du temps.
En r´egime stationnaire, trajectoires et lignes de courant sont confondues.
Mˆeme dans ce cas, la vitesse n’est pas pour autant uniforme et l’acc´el´eration de la particule de fluide ne sera donc pas nul mˆeme pour un champ de vitesse stationnaire.
En r´egime non stationnaire, trajectoires et lignes de courant n’ont pas de lien imm´ediat.
Figure–Description Eul´erienne d’un ´ecoulement (mar´ee) non stationnaire de fluide autour d’un obstacle
`at=t1
Figure–Description Eul´erienne d’un ´ecoulement (mar´ee) non stationnaire de fluide autour d’un obstacle
` at=t2
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Introduction `a la m´ecanique des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 18 / 33
Etude des fluides. Description Lagrangienne et Eul´erienne.
Champ (de vitesse) stationnaire.
Le champ (de vitesse) est dit stationnaire si la vitesse ne d´epend pas du temps.
En r´egime stationnaire, trajectoires et lignes de courant sont confondues.
Mˆeme dans ce cas, la vitesse n’est pas pour autant uniforme et l’acc´el´eration de la particule de fluide ne sera donc pas nul mˆeme pour un champ de vitesse stationnaire.
En r´egime non stationnaire, trajectoires et lignes de courant n’ont pas de lien imm´ediat.
Figure–Description Eul´erienne d’un ´ecoulement (mar´ee) non stationnaire de fluide autour d’un obstacle
` at=t1
Figure–Description Eul´erienne d’un ´ecoulement (mar´ee) non stationnaire de fluide autour d’un obstacle
` at=t2
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Introduction `a la m´ecanique des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 18 / 33
Conservation de la mati`ere. D´ebit massique.
Plan
1 Etude des fluides.
2 Conservation de la mati`ere.
D´ebit massique.
D´ebit volumique.
Equation locale de conservation de la mati`ere.
Conservation du d´ebit massique.
Conservation du d´ebit volumique.
Exemple d’application : la tuy`ere.
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Introduction `a la m´ecanique des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 19 / 33
Conservation de la mati`ere. D´ebit massique.
Le d´ ebit massique.
La massed2Mqui traverse une surfaced−→
S pendant l’intervalle de tempsdt est d2M=µ.−→v.d−→
S dt=−→
j(M,t).d−→ S dt avec−→
j (M,t) =µ(M,t).−→v(M,t) vecteur densit´e de courant.
dM= Z Z
µ−→v.d−→
S dt=Dm.dt
Dm= Z Z
µ−→v.d−→ S dt=dM
dt
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Introduction `a la m´ecanique des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 20 / 33
Conservation de la mati`ere. D´ebit volumique.
Plan
1 Etude des fluides.
2 Conservation de la mati`ere.
D´ebit massique.
D´ebit volumique.
Equation locale de conservation de la mati`ere.
Conservation du d´ebit massique.
Conservation du d´ebit volumique.
Exemple d’application : la tuy`ere.
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Introduction `a la m´ecanique des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 21 / 33
Conservation de la mati`ere. D´ebit volumique.
Le d´ ebit volumique.
Le volumed2V qui traverse une surfaced−→
S pendant l’intervalle de tempsdtest d2V =−→v.d−→
S dt=−→
j (M,t).d−→ S dt
dV =
Z Z −→v.d−→
S dt=Dv.dt
Dv =
Z Z −→v.d−→ S dt=dV
dt
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Introduction `a la m´ecanique des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 22 / 33
Conservation de la mati`ere. Equation locale de conservation de la mati`ere.
Plan
1 Etude des fluides.
2 Conservation de la mati`ere.
D´ebit massique.
D´ebit volumique.
Equation locale de conservation de la mati`ere.
Conservation du d´ebit massique.
Conservation du d´ebit volumique.
Exemple d’application : la tuy`ere.
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Introduction `a la m´ecanique des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 23 / 33
Conservation de la mati`ere. Equation locale de conservation de la mati`ere.
Equation locale de conservation de la mati` ere.
div(−→ j) +∂µ
∂t = 0
D´emonstration unidimensionelle.
Consid´erons un tube d’axe x et isolons par la pens´ee une tranche de longueur dx. variation de la masse interne=masse rentrant en x - masse sortante en x.
∂µSdx
∂t =j(x)S−j(x+dx)S
∂µ
∂t =−∂j
∂x
∂j
∂x+∂µ
∂t = 0
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Introduction `a la m´ecanique des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 24 / 33
Conservation de la mati`ere. Equation locale de conservation de la mati`ere.
Equation locale de conservation de la mati` ere.
div(−→ j) +∂µ
∂t = 0
D´emonstration unidimensionelle.
Consid´erons un tube d’axe x et isolons par la pens´ee une tranche de longueur dx.
variation de la masse interne=masse rentrant en x - masse sortante en x.
∂µSdx
∂t =j(x)S−j(x+dx)S
∂µ
∂t =−∂j
∂x
∂j
∂x+∂µ
∂t = 0
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Introduction `a la m´ecanique des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 24 / 33
Conservation de la mati`ere. Equation locale de conservation de la mati`ere.
Equation locale de conservation de la mati` ere.
div(−→ j) +∂µ
∂t = 0
D´emonstration g´en´erale.
Consid´erons un volume V d´elimit´e par une surface Σ. variation de la masse interne=- masse sortante `a travers Σ.
II
Σde V
−
→v.d−→ S =
ZZZ
V
div(−→ j).dτ ZZZ
V
∂µ
∂t.dτ=− II
Σde V
−
→j.d−→ S ZZZ
V
∂µ
∂t.dτ=− ZZZ
V
div(−→v).dτ div(−→
j) +∂µ
∂t = 0
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Introduction `a la m´ecanique des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 25 / 33
Conservation de la mati`ere. Equation locale de conservation de la mati`ere.
Equation locale de conservation de la mati` ere.
div(−→ j) +∂µ
∂t = 0
D´emonstration g´en´erale.
Consid´erons un volume V d´elimit´e par une surface Σ.
variation de la masse interne=- masse sortante `a travers Σ.
II
Σde V
−
→v.d−→ S =
ZZZ
V
div(−→ j).dτ ZZZ
V
∂µ
∂t.dτ=− II
Σde V
−
→j.d−→ S ZZZ
V
∂µ
∂t.dτ=− ZZZ
V
div(−→v).dτ div(−→
j) +∂µ
∂t = 0
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Introduction `a la m´ecanique des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 25 / 33
Conservation de la mati`ere. Conservation du d´ebit massique.
Plan
1 Etude des fluides.
2 Conservation de la mati`ere.
D´ebit massique.
D´ebit volumique.
Equation locale de conservation de la mati`ere.
Conservation du d´ebit massique.
Conservation du d´ebit volumique.
Exemple d’application : la tuy`ere.
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Introduction `a la m´ecanique des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 26 / 33
Conservation de la mati`ere. Conservation du d´ebit massique.
Conservation du d´ ebit massique.
Dans le cas d’un ´ecoulement stationnaire :
∂µ
∂t = 0 Donc
div(−→ j) = 0 Le vecteur−→
j est donc `a flux conservatif, le d´ebit massique se conserve en r´egime stationnaire.
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Introduction `a la m´ecanique des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 27 / 33
Conservation de la mati`ere. Conservation du d´ebit volumique.
Plan
1 Etude des fluides.
2 Conservation de la mati`ere.
D´ebit massique.
D´ebit volumique.
Equation locale de conservation de la mati`ere.
Conservation du d´ebit massique.
Conservation du d´ebit volumique.
Exemple d’application : la tuy`ere.
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Introduction `a la m´ecanique des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 28 / 33
Conservation de la mati`ere. Conservation du d´ebit volumique.
Conservation du d´ ebit volumique.
Dans le cas d’un ´ecoulement incompressible, la masse volumique ne varie pas au cours de l’´ecoulement.
Donc
div(−→v) = 0
Le vecteur−→v est donc `a flux conservatif, le d´ebit volumique se conserve en r´egime stationnaire.
D´emonstration :
div(µ.−→v) +∂µ
∂t = 0
−
→v.(−−→
gradµ) +µdiv(−→v) +∂µ
∂t = 0 µdiv(−→v) +Dµ
Dt = 0 div(−→v) =−1
µ Dµ
Dt = 0
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Introduction `a la m´ecanique des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 29 / 33
Conservation de la mati`ere. Conservation du d´ebit volumique.
Conservation du d´ ebit volumique.
Dans le cas d’un ´ecoulement incompressible, la masse volumique ne varie pas au cours de l’´ecoulement.
Donc
div(−→v) = 0
Le vecteur−→v est donc `a flux conservatif, le d´ebit volumique se conserve en r´egime stationnaire.
D´emonstration :
div(µ.−→v) +∂µ
∂t = 0
−
→v.(−−→
gradµ) +µdiv(−→v) +∂µ
∂t = 0 µdiv(−→v) +Dµ
Dt = 0 div(−→v) =−1
µ Dµ
Dt = 0
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Introduction `a la m´ecanique des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 29 / 33
Conservation de la mati`ere. Conservation du d´ebit volumique.
Conservation du d´ ebit volumique.
Dans le cas d’un ´ecoulement incompressible, la masse volumique ne varie pas au cours de l’´ecoulement.
Donc
div(−→v) = 0
Le vecteur−→v est donc `a flux conservatif, le d´ebit volumique se conserve en r´egime stationnaire.
Cons´equence : lecture de cartes de lignes de champ.
Dans un ´ecoulement incompressible, si les lignes de champs se resserrent, la vitesse augmente.
Remarque : Le mod`ele de l’´ecoulement ”incompressible”.
Les fluides sont toujours compressibles. L’eau l’est tr`es faiblement mais elle l’est. Pour preuve, les ondes sonores se d´eplacent `a vitesse finie dans l’eau.
L’air est aussi compressible (tr`es facilement).
L’id´ee est que l’´ecoulement stationnaire peut ˆetre consid´er´e comme incompressible si la vitesse du fluide reste tr`es inf´erieure `a la vitesse de propagation dans le fluide consid´er´e.
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Introduction `a la m´ecanique des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 30 / 33
Conservation de la mati`ere. Exemple d’application : la tuy`ere.
Plan
1 Etude des fluides.
2 Conservation de la mati`ere.
D´ebit massique.
D´ebit volumique.
Equation locale de conservation de la mati`ere.
Conservation du d´ebit massique.
Conservation du d´ebit volumique.
Exemple d’application : la tuy`ere.
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Introduction `a la m´ecanique des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 31 / 33
Conservation de la mati`ere. Exemple d’application : la tuy`ere.
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Introduction `a la m´ecanique des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 32 / 33
Conservation de la mati`ere. Exemple d’application : la tuy`ere.
1 Etude des fluides.
D´efinition d’un fluide.
M´ecanique des fluides.
Description Lagrangienne et Eul´erienne.
2 Conservation de la mati`ere.
D´ebit massique.
D´ebit volumique.
Equation locale de conservation de la mati`ere.
Conservation du d´ebit massique.
Conservation du d´ebit volumique.
Exemple d’application : la tuy`ere.
P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Introduction `a la m´ecanique des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 33 / 33
