CM-Diapos-C2

L

1 - C

& L

2 C

2.

N

C

Julie Scholler - Bureau B246

Janvier-février 2020

I. Introduction

• x + 2 = 8 et x + 8 = 2

• 2x = 6 et 6x = 2

• x² = 4 et x² = 2

• x² − 1 = 0 et x² + 1 = 0

Crédit : Dimensions par Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez

I. Introduction

Idée de Jean-Robert Argand - 1806

Crédit : Dimensions par Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez

I. Introduction

Renaissance

Défi de résolution d’équation du troisième degré

x³ + px +q = 0 Formule de Cardan

Tartaglia 1535 - Cardan 1545

x₀ = ³ v u u t−q

2 − s

q²

4 + p³ 27 + ³

v u u t−q

2 + s

q²

4 + p³ 27 Pas de sens si q²

4 + p³ 27 < 0

Pour tous réels p et q, la courbe de la fonction f : x 7→ x³ +px +q coupe l’axe des abscisses.

∃x ∈ R, f (x) = 0

I. Introduction

Bombelli

x³ −15x − 4 = 0 4 est une solution de cette équation.

Application de la formule de Cardan x₀ = ³

q

2− 11√

−1 + ³ q

2 + 11√

−1 p−1 ?

En posant √

−1² = −1, on a

2− √

−1³ = 2−11√

−1 et 2 + √

−1³ = 2 + 11√

−1 Cela donne x₀ = 4 qui est bien une solution de x³ −15x −4 = 0.

I. Introduction

Consolidation aux XVIII^e et XIX^e siècle

• Euler

• Gauss

• Jean Robert Argand

• l’abbé Bué

II. Construction des nombres complexes

Construction des nombres complexes

On considère un nombre imaginaire, noté i, tel que i² = −1.

Nombre complexe

nombre de la forme z = a +ib où a et b sont deux réels

• a + ib : forme algébrique du nombre complexe z

• L’ensemble des nombres complexes est noté C.

• i ∈/ R

• Soit x ∈ R. On a x = x + i ×0 donc R ⊂ C

II. Construction des nombres complexes

Représentation graphique

Interprétation géométrique de la forme algébrique

On associe à tout nombre complexe z = a + ib le point M de coordonnées (a,b).

Le nombre complexe z est l’affixe du point M.

Le point M de coordonnées (4,2) a pour affixe 4 + 2i.

1 2 3 4

1 2 3

0

M(4,2) +

II. Construction des nombres complexes

Parties réelle et imaginaire

Soit z un nombre complexe de forme algébrique a +ib.

• Le réel a est appelé la partie réelle de z et est noté Re(z).

• Le réel b est appelé la partie imaginaire de z et est noté Im(z).

Ainsi, z = Re(z) +iIm(z).

~ e₁ e~₂

O

M(z) +

Re(z) Im(z)

• Re(z) ∈ R et Im(z) ∈ R

• z ∈ R ⇔ Im(z) = 0

• Si Re(z) = 0, alors on dit que z est imaginaire pur.

II. Construction des nombres complexes

Toutes les opérations classiques sur les nombres réels peuvent être faites avec des nombres complexes.

• addition

• soustraction

• multiplication

• division par un nombre différent de 0

II. Construction des nombres complexes

Conjugaison d’un nombre complexe

Conjugué de z = a + ib

le nombre complexe z = a − ib = Re(z)− iIm(z)

O

M(z) +

M⁰(z) +

Re(z) Im(z)

−Im(z)

II. Construction des nombres complexes

Conjugaison et opérations élémentaires

Involution z = z

Compatibilité avec l’addition z +z⁰ = z +z⁰ Compatibilité avec la multiplication zz⁰ = z z⁰

Compatibilité avec la division

z z⁰

= z

z⁰ si z⁰ 6= 0 Compatibilité avec les puissances entières (zⁿ) = zⁿ si n ∈ N

ou si n ∈ Z^?− et z 6= 0

III. Résolution des équations du second degré à coefficients réels

Résolution d’équations du second degré à coefficients réels

Soit a un réel non nul. Soient b et c des réels.

On considère l’équation

ax² + bx +c = 0 Son discriminant ∆ = b² −4ac est réel.

1. Si ∆ > 0, alors l’équation admet deux solutions réelles distinctes : −b + √

∆

2a et −b − √

∆ 2a .

2. Si ∆ = 0, alors l’équation admet une unique solution réelle :

−b 2a .

3. Si ∆ < 0, alors l’équation admet deux solutions complexes conjuguées non réelles : −b + i√

−∆

2a et −b − i√

−∆

2a .

III. Résolution des équations du second degré à coefficients réels

Équation polynomiale de degré supérieur strictement à 2 x³ − 3x² + 4x −2 = 0

Racines d’un polynôme de degré n

Tout polynôme de degré n à coefficients dans R (ou C) admet n racines distinctes ou confondues dans C.

Remarque

(x − z)(x + z) = x² − (z +z)x + zz z + z ∈ R et zz ∈ R

IV. Module d’un nombre complexe

Module du nombre complexe z le réel |z| = ^pa² +b²

M(z) +

p a² +b²

b a

• ∀z ∈ C, |z| ∈ R

• La notation du module est compatible avec la valeur absolue des nombres réels.

• D’après le théorème de Pythagore, le module d’un nombre complexe z est la distance OM de l’origine O du repère au point M d’affixe z.

IV. Module d’un nombre complexe

Compatibilité du module avec produit, quotient et conjugaison

Soient z₁ et z₂ deux nombres complexes.

Alors les propriétés suivantes sont vérifiées.

Compatibilité avec la multiplication |z₁z₂| = |z₁|·|z₂| Compatibilité avec la division

z₁ z₂

= |z₁|

|z₂| si z₂ 6= 0 Compatibilité avec la conjugaison |z| = |z|

IV. Module d’un nombre complexe

Pour tous réels x et y, les nombres complexes

z = x + iy, z = x −iy, −z = −x + iy, −z = −x − iy ont le même module :

q

x² + y².

+z

|z| iIm(z)

Re(z) +z

−z+

−z+

V. Nombres complexes et trigonométrie

Ensemble des nombres de module 1

Soit z un nombre complexe tel que |z| = 1.

O

z

cos(θ) sin(θ)

On a z = cos(θ) +i sin(θ) avec

(Re (z) = cos(θ) Im (z) = sin(θ) On pose f : θ 7→ cos(θ) + isin(θ).

Soient θ et ϕ deux réels. Que vaut f (θ)× f(ϕ) ?

V. Nombres complexes et trigonométrie

Ensemble des nombres de module 1

Pour tout réel θ, on note e^iθ le nombre complexe e^iθ = cos(θ) +i sin(θ)

O cos(θ) e^iθ sin(θ)

Ree^iθ = cos(θ) et Ime^iθ = sin(θ)

V. Nombres complexes et trigonométrie

Identité d’Euler

e ^{i π} + 1 = 0

« Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty. »

Bertrand Russel

V. Nombres complexes et trigonométrie

On note U l’ensemble des nombres complexes de module 1.

Propriétés

Soient θ et ϕ deux réels. Les propriétés suivantes sont vérifiées.

• Le produit de deux éléments de U est dans U e^iθe^iϕ = e^i(θ+ϕ)

• Le conjugué d’un élément de U est dans U : e^iθ = e^−iθ

• L’inverse d’un élément de U est dans U : e^iθ−1 = e^−iθ = e^iθ

• Le quotient de deux éléments de U est dans U e^iθ

e^iϕ = e^i(θ−ϕ)

Ces propriétés justifient l’emploi de l’exponentielle.

V. Nombres complexes et trigonométrie

Argument d’un nombre complexe z non nul tout réel θ tel que z = |z|e^iθ

Argument principal d’un nombre complexe z non nul l’unique réel θ dans ]− π, π] tel que z = |z|e^iθ

on le note arg(z)

~ e₁ e~₂

O

θ = arg(z)

|z|

M(z)

Pour z = a + ib ∈ C^∗, θ = arg(z) vérifie











cos(θ) = a

|z| sin(θ) = b

|z|

V. Nombres complexes et trigonométrie

Forme trigonométrique de z

une écriture de la forme z = |z|cos(θ) +i sin(θ)

Forme exponentielle de z

une écriture sous la forme z = |z|e^iθ

V. Nombres complexes et trigonométrie

Lieu géométrique

Visualiser dans el plan R² l’ensemble des points dont l’affixe est dans les ensembles suivants

• E₁ = {z ∈ C, |z| 6 2}

• E₂ = {z ∈ C, 1 6 |z| 6 2}

• E₃ =

z ∈ C, arg(z) = π 2

• E₄ =

z ∈ C, |arg(z)| = π 4

• E₅ =

z ∈ C, 0 6 arg(z) 6 π 2

• E₆ = {z ∈ C, |z| = 3 et 0 6 arg(z) 6 π}