M6. Exercices. Bilan énergétique des systèmes étendus.

¤ PCSI ¤

M6. Exercices. Bilan énergétique des systèmes étendus.

M6.1. Etude d'un embrayage.

M6.2. Manège tournant.

M6.3. Chaîne au bord d’une table.

On considère un axeOxorienté verticalement vers le bas d’origine placée à la surface de la table et on désigne parxl’extrémité de la partie pendante. Tous les points de la chaîne sont animés de la même vitesse

dx x

dt   et par suite : 1 2 c 2

E  mx

La chaîne étant homogène, la masse de la partie pendante est :

' x

m m

 l

Le centre de masse de la partie pendante est enx/2. En prenant la référence de l’énergie potentielle enx= 0 et tenant compte du fait que l’axeOxest dirigé vers le bas, l’énergie potentielle de la chaîne est :

2

' 2

p

E m gx mg x

    l

L’énoncé assure de la conservation de l’énergie mécanique de cette chaîne et se traduit par la relation : 1 2

2mx ² 2

mg x Cste

 l 

Cela donne après dérivation par rapport au temps et simplification par x : x g x

 l



La solution de cette équation qui est l’équation du mouvement s’écrit :

g g

t t

l l

x Ae Be^

Soit en prenant comme conditions initiales xaetx0 ch g

x a t

l

 

  

D’où :

ch g l

l a

 

 

 

 