ESTIMATION DES INCERTITUDES EN TRAVAUX PRATIQUES EN BTS TPIL

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ESTIMATION DES INCERTITUDES EN TRAVAUX PRATIQUES EN BTS TPIL

1. INTRODUCTION:

Vous allez être amené à effectuer un certain nombre de mesures lors de vos travaux pratiques. Inévitablement, votre résultat ne peut être qu'une estimation de la valeur vraie, impossible à connaître, à laquelle est associée une incertitude.

Toutefois, l’estimation des incertitudes est différente selon que la mesure est :

- directe : mesure d’une masse, d'une longueur, d'un angle, d'une position sur un vernier ou un banc

- indirecte : détermination d’une concentration à partir d’une courbe de dosage, d'un indice de réfraction ou d'une longueur d'onde à partir d'une modélisation.

L'estimation des incertitudes indirectes nécessite la connaissance des incertitudes directes ainsi que la nature de la loi qui définit le paramètre. De plus, vous comprendrez à l'usage qu'elle nécessite également une bonne connaissance du cours de mathématiques portant sur les dérivées…

Enfin, rappelons que la calculatrice n'est pas autorisée à l'examen de travaux pratiques de fin de BTS TPIL 2. LA NORME AFNOR

C’est la norme AFNOR que nous allons suivre ici. Elle est disponible sur le net.

Norme NF X 07 – 001 de décembre 1994 Vocabulaire international des termes fondamentaux et généraux de métrologie Norme NF ENV 13005 d’Août 1999 : Guide pour l’expression de l’incertitude de mesure

ESTIMATION DES INCERTITUDES SUR LES MESURES DIRECTES

3. METHODE GENERALE ET QUELQUES DEFINITIONS

Pour déterminer l’incertitude sur la mesure, le physicien suit 3 étapes : 1) chercher les sources d’incertitude à considérer ;

2) en déduire le protocole expérimental définitif ;

3) faire le traitement mathématique lié à chaque source d’incertitude et en déduire l’incertitude recherchée.

Les 2 premières étapes sont primordiales !

Le physicien (ou le chimiste) effectue la mesure en observant ce qu’il fait.

Il en déduit les sources d’incertitudes à prendre en compte. Celles-ci influencent le protocole expérimental. Le physicien peut donc maintenant réfléchir à son protocole expérimental définitif.

Une fois ce protocole exécuté, vient le calcul mathématique de l’incertitude (calcul statistique).

Pour chaque source d’incertitude, le physicien calcule ce qu’on appelle « l’incertitude-type »: elle possède la même unité que la grandeur à mesurer.

Les incertitudes-types sont des intermédiaires de calcul qui n’ont pas directement de sens pour le physicien. Mais ce dernier va « composer » les incertitudes-type pour en déduire l’incertitude qu’il recherche et que l'on nomme « incertitude élargie ».

La norme AFNOR introduit aussi la notion de mesurande G. C’est la grandeur à mesurer, mais éventuellement complétée par quelques informations importantes comme par exemple la température, la pression…

Exemple : grandeur à mesurer : longueur d’une tige métallique. Ceci est insuffisant, car cette tige se dilate avec la température. Le mesurande est la longueur de cette tige à 25 °C par exemple: il s'agit donc d'une définition plus rigoureuse.

La valeur de la mesure du mesurande G est normalement notée g. Toutefois, par souci de simplification des notations, on désigne souvent en TP le mesurande G et la valeur de sa mesure g par la même lettre.

4. DETERMINATION DES SOURCES D’INCERTITUDE SUR G

Elles peuvent être très nombreuses ! En TP le temps est limité (dans la vie professionnelle aussi) et le choix des sources d’incertitude à prendre en compte résulte d’un compromis entre les exigences sur les mesures, le temps disponible… et les contraintes financières.

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Cette liste n’est pas exhaustive mais comporte cependant les principales incertitudes de nos TP.

a) classe et tolerance d’un instrument de mesure

Si vous disposez de la notice d’un instrument de mesure, ou d’informations le concernant, vous connaissez la classe de l’instrument et sa tolérance t (notée ± t).

Exemple : tolérance d’une burette graduée de classe A, de 25 mL : ± 0,030 mL.

L’incertitude-type due à l’utilisation de cet instrument de mesure est alors donnée par :

Cette expression provient des mathématiques statistiques.

Exemple : volume v lu avec une burette de 25 mL de classe A (voir ci-dessus)

) 3

( t

G

u

_INST

= incertitude-type sur le mesurande G, due à un instrument de mesure de classe connue et de tolérance ± t

0, 030

( ) 0, 01732

3 3

B

u v = t = = mL

b) défauts de fidélité d’un instrument de mesure

Ils sont à prendre en compte si vous ne disposez pas de sa classe, donc de sa tolérance, et si cet instrument est très sensible, car alors il est peu fidèle.

) C’est le cas lorsqu’en répétant un grand nombre de fois la même mesure, on ne trouve pas le même résultat.

Protocole expérimental

Il faut donc prendre un grand nombre de mesures successives, dans les mêmes conditions (conditions de répétabilité), c’est à dire :

• réduction au minimum des variations dues à l’observateur

• même mode opératoire de mesure (donc par exemple mettre l’instrument de mesure hors tension entre chaque mesure et recommencer le réglage du zéro)

• même observateur

• même équipement de mesure, utilisé dans les mêmes conditions

• même lieu

• répétition durant une courte période de temps.

Bien réfléchir au mode opératoire de chaque mesure ! Il ne s’agit pas de plusieurs lectures. On réalise là un mesurage du mesurande G. Dresser un tableau des résultats.

Résultat du mesurage

Si les valeurs mesurées ne sont pas toutes identiques, l’instrument n’est pas fidèle. On en prend la moyenne : c’est le résultat du mesurage du mesurande G, noté g.

Incertitude-type sur G, due aux défauts de fidélité de l’instrument

G n

u

_F

( ) = σ

ⁿ⁻¹

incertitude-type sur le m défauts de fidélité de l’instrum

esurande G, due aux ent de mesure

n nombre de mesures effectuées

σ n − 1 écart type de la série des valeurs mesurées :

1

1 = ⁼ −

− n

i

σn

)

( − ²

∑

ⁿ ^gi ^g

g_i résultat de la i ^ième mesure

σ_{n − 1} peut être calculé avec le mode statistique de votre calculette en utilisant la touche σ_{n − 1}.

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c) Estimation de l’incertitude-type liée à la resolution de l'instrument:

C’est l’incertitude-type due à la lecture de l’affichage.

Si vous connaissez la classe de l’instrument, elle n’est pas à prendre en compte.

La détermination de cette composante de l’incertitude-type ne nécessite pas d’effectuer plusieurs mesures.

Soit dg la variation du mesurande G qui correspond à la variation d’une unité du dernier chiffre affiché (donc par exemple 0,1 mg pour une balance à 0,1 mg près).

La norme donne alors pour l’incertitude-type sur le mesurande G due à la lecture de l’affichage :

Cette expression provient des mathématiques statistiques.

Exemple de la balance :

12 )

( dg

g

u

_R

= incertitude-type sur le mesurande G, due à la résolution de l’instrument de mesure (c’est à dire à son affichage)

( ) 0,1

12 12

R

u m = dm = =

0, 02887

mg

d) Estimation de l’incertitude-type liee à l’étalonnage de l’instrument

L’instrument de mesure a été étalonné avec des étalons, de valeurs g étalon . Ces valeurs sont mesurées et donc connues avec une certaine incertitude, plus faible que celle souhaitée pour le mesurande G.

Exemple :dans le cas d’une balance et de la mesure d’une masse m, les étalons sont des masses marquées étalons.

Soit g étalon le résultat de la mesure de l’étalon le plus proche de g. Soit u(g étalon ) l’incertitude-type sur g étalon. Alors l’incertitude-type u_E(g) sur le mesurande G, due à l’étalonnage de l’instrument de mesure est tout simplement :

u

E

(g) = u(g

étalon

)

e) Définitions complémentaires

On classe les incertitudes-type en 2 catégories (on dit à nouveau « type ») :

• Les incertitudes-type de type A quand l’opérateur a fait toute une série de mesures.

• Les incertitudes-type de type B quand l’opérateur ne fait qu’une mesure : on imagine que la série de mesures a été faite par le constructeur (par exemple).

5. ELABORATION DU PROTOCOLE DE MESURE ET MESURES

La prise en compte des sources d’incertitude conduit le physicien à modifier son protocole de mesure.

Exemple : si l’instrument de mesure n’est pas fidèle, il faut faire un grand nombre de mesures, dans des conditions bien rigoureuses à prévoir à l’avance.

6. CALCUL MATHEMATIQUE DE L’INCERTITUDE

Il se fait en 2 temps : il faut calculer les incertitudes-type dues à chaque source d’incertitude, puis les « composer » pour en déduire l’incertitude-type sur le mesurande G. Le physicien en déduit l’incertitude recherchée.

a) Calcul des incertitudes-type dues à chaque source d’incertitude

Ce calcul dépend de la source d’incertitude considérée comme vu dans le 3.

b) Calcul de l’incertitude-type sur le mesurande

En mathématiques statistiques, ce sont les variances qui s’ajoutent. Ici, ce sont donc les incertitudes-type au carré qui s’ajoutent :

∑

= u

_j

G G

u

²

( )

²

( )

j

u (G) est l’incertitude-type sur le mesurande G ou incertitude-type composée u_j(G) est l’incertitude-type sur le mesurande G due à la source d’incertitude j.

(4)

Comme déjà dit, les incertitudes-type sont des intermédiaires de calculs: nous devons encore trouver l’incertitude au sens du physicien.

c) Calcul de l’incertitude élargie

C’est l’incertitude du physicien et on l’appelle aussi « incertitude » tout court!

La norme introduit les notions de niveau de confiance et d’intervalle de confiance en utilisant un facteur multiplicatif, ou facteur d’élargissement comme suit :

k est assimilable au coefficient de Student disponible dans la table de Student : il varie selon le nombre de mesures n et le niveau de confiance

Typiquement on utilise les niveaux de confiance 95% et 99% : on retient le plus souvent 95%...

u(G) incertitude-type composée sur G

U(G) incertitude élargie (ou incertitude) sur G k facteur d’élargissement

U(G) = k u(G)

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16

k 95%

12,7 4,3 3,18 2,78 2,57 2,45 2,37 2,31 2,26 2,2 2,16 2,13 k

99%

63,7 9,93 5,84 4,6 4,03 3,71 3,5 3,36 3,25 3,11 3,01 2,95

Ceci veut dire que, si g est le résultat de la mesure, alors la valeur vraie, qui est on le rappel inconnue, a 95 % (ou 99 %

…) de chances de se trouver dans l’intervalle de confiance :

) Dans vos travaux pratiques, sauf indications contraires, on prend k=2.

7. PRESENTATION DU RESULTAT COMPLET DE LA MESURE DU MESURANDE G a) Mise en forme:

La norme impose que ce résultat complet soit présenté sous la forme suivante :

Intervalle de confiance

g − U(G) g + U(G) g

G = ( g ± U(G) ) unité

intervalle de confiance

incertitude relative

% ) ....

( =

g G U

incertitude-type relative

k = … )table de Student

facteur d’élargissement environ 95 % niveau de confiance

u(G) = …….. unité incertitude-type

composée

% ...

) ( =

g

G

u

(5)

b) Nombre de chiffres significatifs:

• L’incertitude élargie U(G) doit comporter 2 chiffres significatifs.

Le nombre de chiffres après la virgule de g s’en déduit logiquement, à condition de prendre la même notation pour U(G) et g.

• L’incertitude relative

g G U ( )

doit aussi comporter 2 chiffres significatifs.

• L’incertitude-type u(G) et l’incertitude-type relative

g G u ( )

sont des résultats mathématiques intermédiaires qui peuvent resservir, donc ils doivent comporter 4 chiffres significatifs.

ESTIMATION DES INCERTITUDES SUR LES MESURES INDIRECTES

8. METHODE GENERALE

a) Elaboration d’un protocole et détermination de l’expression de la grandeur à mesurer en fonction des grandeurs d’entrée Soit Y un mesurande et y le résultat de la mesure: comme son nom l'indique, cette mesure indirecte ne peut pas se faire…

directement!

Exemples : mesure d’une vitesse à partir des mesures d’une longueur et d’un temps, mesure d’une concentration par un dosage donc à partir d'un volume.

Il doit exister une expression littérale du type: y = f ( x 1 , x 2 , x 3 , …)

où les x i appelées « grandeurs d’entrée » sont les grandeurs mesurables directement ou des données fournies par un constructeur ou lues dans des tables.

Remarque : On traite les données comme des grandeurs directement mesurables car elles ont été mesurées par un autre opérateur que vous, puis publiées.

b) Sélection des sources d’incertitude à prendre en compte

Ce travail est à effectuer pour chaque grandeur d’entrée mesurable. Soit X_i le mesurande correspondant, x_i est le résultat du mesurage. Se reporter à la partie précédente sur les mesures directes.

c) Détermination du protocole expérimental définitif

Attention, le travail sur les sources d’incertitude conduit souvent à revoir le protocole expérimental, donc la détermination des grandeurs d’entrée et ce tableau lui-même. C’est une étape fondamentale du travail du physicien (ou du chimiste).

Ce dernier est conduit à faire un compromis entre le degré d’exigence sur les résultats, le temps disponible pour réaliser les mesures et le coût du matériel.

d) Mesures

Mesurez successivement chaque grandeur x i mesurable directement, en appliquant la méthode du cours « incertitude sur une mesure directe ». Pour chaque grandeur d’entrée, donnez le résultat du mesurage et l’incertitude-type élargie.

Calculez aussi y à partir des résultats des mesurages.

e) Estimation de l’incertitude sur y

Il faut ensuite calculer l’incertitude-type sur y puis en déduire son incertitude élargie (c’est à dire l’incertitude que le physicien, ou le chimiste, recherche) comme déjà vu.

1) Estimation de l’incertitude-type sur y

Comme déjà vu, pour estimer l’incertitude-type u(y) sur y, il faut « composer » les incertitudes-type u( x i ) sur les grandeurs d’entrée. Pour cela, on applique le théorème de propagation des incertitudes-types :

Si y = f ( x

1

, x

2

, x

3

, …, x

n

)

alors : u x termes de corrélatio n

x y f

u

n

i

+

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

∂

= ∑ ∂

=

2 2

2

( ) ( )

(6)

Il correspond au théorème de propagation des variances en mathématiques statistiques.

Ou si on appelle

i

x

c f

∂

= ∂

il devient :

n corrélatio de

termes x

u c

y u

n

i

+

= ∑

=1 2 2

2

( ) ( )

Remarque : on peut aussi écrire

i i

i

x

y x

c f

∂

= ∂

∂

= ∂

. Ce n’est qu’une convention d’écriture.

Dans le cas où les mesures sont indépendantes (reportez-vous au paragraphe suivant), les termes de corrélation sont nuls, et :

∑

=

ⁿ

i

u x

c y

u

1 2 2

2

( ) ( )

mesures indépendantes

En posant :

u

_i

( y ) = c

_i

u ( x

_i

)

Cela s’écrit aussi :

∑

=

ⁿ

i

y

u y

u

1 2

2

( ) ( )

) Au cours de votre BTS, sauf exception, vous considèrerez les mesures comme indépendantes.

Ici intervient un travail de réflexion important du physicien : quelle est la source d’incertitude la plus importante ? Cette réflexion peut pousser le physicien à revoir encore son protocole expérimental pour améliorer ses mesures.

Mais l’incertitude-type u (y) est un intermédiaire mathématique. Il faut passer à l’incertitude élargie, qui est l’incertitude du physicien ou du chimiste.

2) Détermination de l’incertitude élargie sur y

Comme dans le cas d’une mesure directe, on multiplie par le facteur d’élargissement k :

avec k facteur d’élargissement vu plus haut.

3) Expression du résultat complet de la mesure sur y

Comme pour une mesure directe, le résultat complet comporte :

% ) ....

( =

y y U

y = ( ……. ± ….. ) unité intervalle de confiance k = …) table de Student facteur d’élargissement environ 95 % niveau de confiance

u(y) = …….. unité incertitude-type

% ...

) ( =

y y

u incertitude-type relative

incertitude relative

U (y) = k u(y)

(7)

Les règles sur les arrondis sont les mêmes.

9. MESURES INDEPENDANTES ET MESURES CORRELEES Illustrons cette notion de corrélation.

La masse et la longueur d’un objet sont des grandeurs indépendantes. Leur mesure fait appel à des instruments de mesure différents, une balance et un pied à coulisse par exemple. Les mesures de ces 2 grandeurs sont donc indépendantes.

Mais si la balance est pilotée par un ordinateur et que la mesure de la longueur se fait avec un laser piloté par le même ordinateur et le même logiciel, alors les mesures de la masse et de la longueur sont corrélées. Elles sont dans cet exemple probablement faiblement corrélées.

10. THEOREME DE PROPAGATION DES INCERTITUDES-TYPE : CAS PARTICULIERS Nous avons vu le théorème de propagation des incertitudes sous sa forme la plus générale :

n corrélatio de

termes x

x u y

u

i

i i

⎥ +

⎥ ⎦

⎢ ⎢

= ∑ ⎣∂

=1

) ( )

(

ⁿ

⎡ ∂ f ⎤

² ₂

2

Si les mesures sont indépendantes :

∑

=

⎥ ⎥

⎢ ⎦

⎢ ⎣∂

=

i

i i

x x u

y u

1

) ( )

(

ⁿ

⎡ ∂ f ⎤

₂

2 2

∑

=

ⁿ

i

i i

x y

1

α

∑

= n

i

u x

1

2

( )

α

Il existe quelques cas particuliers intéressants de ces 2 relations :

a) Cas particulier d’une somme algébrique

Si où α_i sont des constantes.

alors :

u

²

( y ) =

si les mesures sont indépendantes

et : si les mesures sont très fortement

corrélées.

∑

=

ⁿ

i

u x

y u

1

) ( )

( α

b) Cas où y est un produit ou un quotient des x_i:

Si

...

5 5 4 4 3 3

2 2 1 1

a a a

a a

x x x

x x

y β

= α

_α_et_β sont des constantes ainsi que les exposants a i

alors :

( ) ( ) ( ) ( ) ...

2

3 2 3

3 2

2 2 2

2 2

1 2 1

1 2

⎟ +

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝ + ⎛

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝ + ⎛

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

= ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

x x a u

y y u

si les mesures sont indépendantes.

(8)

Et :

( ) ( ) ( ) ( ) ...

3 3 3

2 2 2

1

+ + +

= x

x a u

x x a u

y y u

i

si les mesures sont très fortement corrélées.

Quand y est un produit ou quotient, les incertitudes relatives sont d’un grand intérêt. On peut démontrer ces relations à partir des dérivées logarithmiques.

11. CAS OU LA MESURE SE FAIT A PARTIR D’UNE EQUATION D’ETALONNAGE

Dans ce cas, l’instrument de mesure a été étalonné à l’aide d’étalons. Il en est résulté une courbe d’étalonnage, qui par modélisation fournie une équation d’étalonnage. Le théorème de propagation des incertitudes s’applique à partir de cette équation.

Exemple 1 : pour mesurer une température θ à l’aide d’un thermocouple non gradué en température, on mesure la f.e.m. E aux bornes du thermocouple à l’aide d’un voltmètre numérique. On a préalablement étalonné le thermocouple au moyen de températures caractéristiques (températures de changements d’état, θ étalon ). La courbe d’étalonnage obtenue est une droite et l’équation d’étalonnage est de la forme :

θ = a E

Pour mesurer une température, on mesure E et on en déduit θ grâce à l’équation d’étalonnage.

Exemple 2 : pour effectuer un dosage par spectrophotométrie d’une espèce colorée, par exemple Ni^{2 +}, on prépare des solutions étalon de concentrations connues c_étalon dont on mesure l’absorbance A. La courbe d’étalonnage obtenue est aussi une droite et l’équation d’étalonnage est de la forme :

c = a A

Pour doser les ions Ni^{2 +} dans une solution inconnue, on mesure l’absorbance A de cette solution et on en déduit la concentration en ions Ni^{2 +}grâce à l’équation d’étalonnage.

Les grandeurs d’entrée sont donc les grandeurs mesurées (E ou A dans les exemples ci-dessus), et les paramètres obtenus par modélisation (a dans ces exemples). Soit :

y = f ( x 1 , x 2 , x 3 , …) l’équation d’étalonnage où y est la grandeur à mesurer et les x i les grandeurs d’entrée.

Le théorème de propagation des incertitudes dans le cas de mesures indépendantes s’écrit :

∑

=

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

∂

=

ⁿ

∂

i

i i

x x u

y f u

1

2

( ) ( )

2

Cela ne suffit pas ici, car il faut prendre en compte l’incertitude sur l’étalon. On « prolonge » donc cette équation par un terme de plus :

L’étalon retenu est celui le plus proche de la mesure. Il suffit d’ajouter une ligne au tableau d’estimation des incertitudes.

) (

) ( )

(

²

1

2 2 2

étalon n

i

i i

y u x

x u y f

u +

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

∂

= ∑ ∂

=

12. ILLUSTRATION SUR UN EXEMPLE TIRE DE L'OPTIQUE:

Dans le TP sur le grossissement d'une lunette afocale, on relève des positions:

- sur le banc graduée en mm

(9)

- sur le vernier du viseur graduée en 1/10 mm

Soit x₁, la première position, repérée sur le banc, de l’objet AB, position éloignée de L, et x’₁, celle de la crémaillère du viseur visant A’B’. Faire n mesures de x’1, pour évaluer l’incertitude-type de fidélité sur x’1.

x₁= 850,0 mm

x’1 = 32,0 mm, 32,1 mm, 32,0 mm

mm 0577 , 0 :

type écart

mm 0333 , 32 ' x : moyenne valeur

1 n

1

= σ

−

=

−

Soit x2, une nouvelle position de l’objet, proche de L et repérée toujours par lecture directe sur le banc et x’2, la nouvelle position de la crémaillère du viseur, qui lui, ne s’est pas déplacé sur le banc. Faire plusieurs mesures de x’2, pour évaluer l’incertitude-type de fidélité sur x’2.

x2 = 500,0 mm

x’2 = 5,6 mm, 5,7 mm, 5,9 mm .

mm 1528 , 0 :

type écart

mm 7333 , 5 ' x : moyenne valeur

1 n

2

= σ

−

=

−

3)

Résultats :

2) 1

)

' x ' x (

x x

G ( −

=

Sachant que 1 2

−

, donner la valeur moyenne de G et son intervalle de confiance pour un niveau de confiance de 95%.

Alors le calcul s'effectuant sur les moyennes

G = 3,6480

−

= −

) 7333 , 5 0333 , 32 (

) 0 , 500 0 , 850 (

calcul d’incertitudes :

• Incertitude-type sur x’1 :

− incertitude liée à la lecture de la position sur le vernier:

u_R(x’₁) =

12 division

1

et u_R(x’₁) =

0 , 02887 mm 12

mm 1 ,

0 =

− Incertitude due au défaut de fidélité et évaluée sur n mesures (3 mesures dans notre exemple) : u_F(x’₁) =

n

n− 1

σ

et u_F(x’₁) =

0 , 0333 mm

3 mm 0577 ,

0 =

− Incertitude-type totale sur x’1 :

u(x’₁) =

u ² _R ( x ' ₁ ) + u ² _F ( x ' ₁ )

soit u(x’₁) =

0 , 02887 ² + 0 , 0333 ² = 0,04407 mm

• Incertitude-type sur x’₂:

− Incertitude liée à la lecture de la position : u_R(x’₂) =

12 division

1

et u_R(x’₂) =

0 , 02887 mm 12

mm 1 ,

0 =

− Incertitude due au défaut de fidélité et évaluée sur n mesures (3 mesures dans notre exemple) : u_F(x’₂) =

n

n− 1

σ

et u_F(x’₂) =

0 , 08822 mm

3 mm 1528 ,

0 =

− Incertitude-type totale sur x’2 :

u(x’2) =

u ² _R ( x ' ₂ ) + u ² _F ( x ' ₂ )

^soit ^u(x’2) =

0 , 02887 ² + 0 , 08822 ² = 0,09282 mm

• Incertitude-type sur x₁ : incertitude liée à la lecture de la position sur le banc:

(10)

uR(x1) =

12 division

1

et u(x1) = uR(x1) =

0 ,2887 mm

12 mm

1 =

• Incertitude-type sur x2 : incertitude liée à la lecture de la position sur le banc:

uR(x2) = et u(x2) = uR(x2) =

= 0,2887 mm 12

mm 1 12

division 1

Remarque: il n'y a pas lieu de faire le calcul pour x1 et x2 de l'incertitude due au défaut de fidélité de l'instrument puisque l'on ne fait qu'une mesure (cavalier fixe): l'écart type est nul.

• Incertitude-type sur l’indice G , u(G) :

) (x' x' u

) G (x' x' u

) G (x x u

(G) G

u

² ₂

2

2 1

2 2

1 2

2 2

2 1

2 2

1

2

⎟⎟ ⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

⎟⎟ ⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

⎟⎟ ⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

⎟⎟ ⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

= ∂

avec

) x' (x'

1 2G

1 x

G x

G

2 1 2

1

= ⋅ −

∂

= ∂

∂

donc ³ ¹

2 1

mm 5,211.10 5,7333)

(32,0333 1 2.3,6480

1 x

G x

G =

− −

⋅ −

∂ =

= ∂

∂

avec

) x' (x'

G 2

1 x'

G x'

G

2 1 2

1

= ⋅ −

∂

= ∂

∂

donc ² ¹

2 1

mm 6,935.10 5,7333)

(32,0333 3,6480 2

1 x'

G x'

G =

− −

⋅ −

∂ =

= ∂

∂

alors en appliquant le théoréme de propagation des incertitudes-types:

2 2

2 2 2

3 2

2 ( G ) 2 .( 0 , 2887 ) .( 5 , 211 . 10 ) ( 6 , 935 . 10 ) .( 0 , 04407 ) ( 6 , 935 . 10 ) .( 0 , 09282 )

u =

⁻

+

⁻

+

⁻

donc u(G) = 7,437.10 ^–3 avec 4 chiffres significatifs

• Incertitude élargie sur G :

U(G) = k.u(G) avec k, facteur d’élargissement, k = 2 pour un niveau de confiance de 95%.

Donc U(G) = 2*7,437.10^-3 soit U(G) = 1,487.10^-2 ≈ 1,5.10^-2 avec 2 chiffres significatifs

Résultat final :

Cet exemple montre la difficulté d'une analyse fine des incertitudes et confirme la nécessité pour vous de préparer avant la séance votre TP en réfléchissant particulièrement aux incertitudes indirectes (calcul des dérivées partielles).