LYCÉE ALFRED KASTLER TS 2014–2015
Devoir maison no 16 – mathématiques Correction
Exercice 1
A. Une formule utile
1. On rappelle que (uv)0 =u0v+uv0. Ainsi, uv0 = (uv)0−u0v (1).
2. Puisque l’on a supposé que u, v ainsi que leurs dérivées sont continues sur I, alors les produits uv0 et u0v sont continues sur I, ainsi que (uv)0 qui est leur somme.
3. On a :
(1) uv0 = (uv)0−u0v ⇒ Z b
a
u(x)v0(x)dx= Z b
a
[(uv)0(x)−u0(x)v(x)]dx
⇒ Z b
a
u(x)v0(x)dx= Z b
a
(uv)0(x)dx− Z b
a
u0(x)v(x)dx
⇒ Z b
a
u(x)v0(x)dx= (uv)(b)−(uv)(a)− Z b
a
u0(x)v(x)dx
En effet, (uv) est évidemment une primitive de (uv)0. B. Une application guidée
On pose u(x) = lnx etv0(x) = x.
1. Ainsi, u0(x) = 1
x etv(x) = 1 2x2. 2. Par suite,
Z e
1
xlnxdx= Z e
1
v0(x)u(x)dx= (uv)(e)−(uv)(1)− Z e
1
u0(x)v(x)dx
= 1
2e2lne
− 1
212ln 1
− Z e
1
1 x
1 2x2dx
= e2 2 −
Z e
1
1 2xdx
= e2 2 −
1 4e2− 1
4 ×12
= e2+1 4
C. D’autres calculs On trouve :
1.
Z e
1
lnxdx= 1 (on pose u(x) = lnx et v0(x) = 1).
2.
Z 1
0
x2exdx= e−2(on pose u(x) =x2 et v0(x) =ex, puis u(x) = xet v0(x) =ex).
