CC3 DE MATHEMATIQUES PCST L1 S2 Vendredi 12 Avril 2013

CC3 DE MATHEMATIQUES PCST L1 S2

Vendredi 12 Avril 2013 (durée: 1 heure)

Documents et calculatrice interdits. Soigner la présentation et la rédaction.

Exercice 1

Soit la matrice carrée d'ordre 3 définie par

























1 1 1

1 1 3

3 1 2 A

1) a) Déterminer la matrice B4AA² puis la matrice C AB.

b) En déduire que la matrice A est inversible et donner sa matrice inverse A^1. 2) Soit le système linéaire des 3 équations à 3 inconnues donné par:



























3 2 3

1 3 2

) (

z y x

z y x

z y x S

a) En posant

















 z y x

X , donner un équivalent matriciel du système (S ).

b) Soient les plans P1 , P2 et P3 d'équations cartésiennes respectives : 2xy3z1 , 3x yz 2 et xyz3 . Déterminer P₁ P₂ P₃ .

Exercice 2

























0 1 1

1 3 3

2 1 2 P

En utilisant la comatrice de P , montrer que sa matrice inverse est :





















 

3 1 0

4 2 1

5 2 1

P 1

2) On considère la matrice :





























4 2 1

9 5 3

2 0 1 M

a) Calculer les valeurs propres de M.

b) Déterminer les vecteurs propres de M. En déduire que P est une matrice de passage.

c) Calculer la matrice DP^1MP. Pouvait-on prévoir le résultat ?.

d) En déduire l'expression de M⁴² .