UCP/ PCST S2 CONTRÔLE DE MATHEMATIQUES DU 23 MARS 2012 (durée 1 heure) Documents et calculatrices interdits. Présentation à soigner : souligner vos résultats
EXERCICE 1 Leseseses deuxdeuxdeuxdeux questions sont totalement indépendantesquestions sont totalement indépendantesquestions sont totalement indépendantesquestions sont totalement indépendantes ( 4 points – 15 min) 1) Soient ݑሬԦ, ݒԦ, ݓሬሬԦ trois vecteurs de l’espace vérifiant :
൝ ݑሬԦ ≠ 0ሬԦ ݑሬԦ. ݒԦ = ݑሬԦ. ݓሬሬԦ ݑሬԦ ∧ ݒԦ = ݑሬԦ ∧ ݓሬሬԦ
Que peut-on en déduire concernant les vecteurs ݒԦ et ݓሬሬԦ ?
2) Dans un repère orthonormé de l’espace soient les points ܣሺ1,3,2ሻ , ܤሺ3, −1,6ሻ, ܥሺ5,2,0ሻ , ܦሺ3,6, −4ሻ. Appartiennent-ils à un même plan ?
EXERCICE 2 (10 points – 25 min)
L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct .
1) Soient les deux plans ܲ et ܲ′ d’équation cartésienne respective : 2ݔ + 3ݕ + 5ݖ = 8 et ݔ + 4ݕ + 5ݖ = 2. a) Montrer que les deux plans sont sécants.
b) Déterminer un point ܣ et un vecteur directeur ݑሬԦ de la droite ሺ݀ሻ d’intersection.
c) Déterminer la distance du point ܤሺ0,0, −ଵଽହ ሻ à la droite ሺ݀ሻ.
2) Soit le plan ܲ" contenant les trois points ܥሺ1, 1, 0ሻ , ܦሺ4, −2, 0ሻ et ܧሺ8, 4, 1ሻ. a) Donner une équation cartésienne du plan ܲ".
b) Caractériser ܲ ∩ ܲ′ ∩ ܲ".
c) Soit ܫሺ5, −1, ଵହ ሻ. Calculer ܫܤሬሬሬሬԦ. ݑሬԦ . Retrouver le résultat du 1)c).
EXERCICE 3 (6 points – 20 min)
Soient les matrices ܯ = ൭ 0 1 −1
−3 4 −3
−1 1 0 ൱ et ܫଷ la matrice identité carrée d’ordre 3.
1) Calculer ܯଶ et ܯଷ.
2) a) Expliciter la matrice ܣ = 3ܯ − 2ܫଷ. Comparer les matrices ܣ et ܯଶ. b) Retrouver le résultat de ܯଷ en utilisant le a).
Hors barème : (Bonus +2)
3) En utilisant le 2) a) montrer que : ܫଷ =ଵଶ. ܯ × ሺ3 ܫଷ− ܯሻ.
En déduire une matrice ܯᇱvérifiant ܯ × ܯᇱ = ܫଷ. A-t-on ܯᇱ× ܯ = ܫଷ ? Que peut-on conclure ?
