PCST S1 MATHEMATIQUES SESSION 2 ( 15/06/10 de 15h30 à 17H)

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PCST S1 MATHEMATIQUES SESSION 2 ( 15/06/10 de 15h30 à 17H)

Les documents et calculatrices sont interdits. Barème prévisionnel : 6 – 7 – 7 EXERCICE 1

1) Donner un développement limité à l’ordre 3 au voisinage de 0 des fonctions suivantes : ݔ ↦ ݔ݈݊(1 + ݔ) ; ݔ ↦ ݁^௦௜௡௫

2) Calculer les limites suivantes : lim_௫→଴^{୪୬(ଵା௫)ି ௫}

௫௟௡(ଵା௫) ; lim_௫→଴^௘^ೞ೔೙ೣ^{ି ଵି ௫ ି}

ೣమ మ ି ௫^య ௫௖௢௦௫ି ௦௜௡௫

EXERCICE 2

1) a) Déterminer les réels ܽ et ܾ tels que : ∀ ݐ ∈ ℝ , ^௧^మ

ଵା௧^మ = ܽ + ^௕

ଵା ௧^మ

b) En utilisant une intégration par parties, calculer : ׬ ln (1 + ݐ_଴^ଵ ^ଶ) ݀ݐ

2) Au moyen du changement de variable ݐ = 1 + ݔ^ସ , calculer l’intégrale :

׬_଴^ଵ_{(ଵା ௫}^௫^ళ_ర₎_మ ݀ݔ EXERCICE 3

1) Pour tout réel ݔ distinct de 1 résoudre l’équation différentielle du premier ordre : ݕ^ᇱ + (1 − ݔ)ݕ = 0

2) a) En déduire, pour tout réel ݔ distinct de 1, la résolution de l’équation différentielle du premier ordre :

ݕ^ᇱ + (1 − ݔ)ݕ = ^௫௘

ೣమ మ ష ೣ

௫^మ ା ଵ (E)

b) Déterminer la solution de (E) vérifiant : ݕ(0) = 0.

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3) Résoudre l’équation différentielle du second ordre : ݕ" + ݕ′ − 2ݕ = ݁^௫− ݔ − 1

On cherchera une solution particulière du type ܲ(ݔ)݁^௫ + ܳ(ݔ) avec ܲ, ܳ deux polynômes.