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A U DELÀ DU RÉEL : ^LES

NOMBRES COMPLEXES

A U DELÀ DU RÉEL : ^LES

NOMBRES COMPLEXES

D'impossibles à imaginaires, d'imaginaires à complexes.

Combien d'idées, de systèmes politiques, de théories, de procédés ont suivi ce chemin pour devenir réalité !

Denis Guedj, Le Théorème du Perroquet

1 I

La résolution des équations a toujours été une préoccupation majeure des mathématiciens, et pour cause : elle était déjà au c÷ur des problèmes de partages et d'héritages chez les anciens.

Au cours du xvi^esiècle, poursuivant les travaux de Cardan¹ sur la résolution des équations du troisième degré, Bombelli² a l'audace³ d'introduire de nouveaux objets algébriques de la forme a+b√

−1, où√

−1 est un élément imaginaire dont le carré vaut(−1), et de calculer avec eux sans comprendre alors vraiment ce qu'ils peuvent signier. À cette époque, on manipule les racines carrées d'entiers négatifs sans pour autant les considérer vraiment comme des nombres.

On constate qu'ils donnent des résultats corrects que l'on peut vérier : leur utilité incite alors les mathématiciens à tenter de leur donner un vrai statut de nombre.

En 1747, D'Alembert⁴ dénit les opérations algébriques (+,−,×,÷) sur les nombres de la forme a+b√

−1.

1. Jérôme Cardan (Gerolamo Cardano) est un mathématicien et philosophe italien, né en 1501 et mort en 1576. En 1539, il arrache à Tartaglia les formules concernant la résolution d'un certain type d'équations du troisième degré ; il les généralise et les publie sans scrupule sous le nom de formules de Cardan . Cardan est aussi astrologue. En 1552 ; il prédit au roi d'Angleterre Edouard VI qu'il aura une durée de vie supérieure à la moyenne ; il meurt l'année suivante de la tuberculose à l'âge de 16 ans ! Cardan prédit également que sa propre mort aura lieu trois jours avant de fêter ses 75 ans ; il se donne alors la mort pour ne pas se contredire. . . Cardan laissera aussi son nom à un mécanisme bien connu qu'il invente et qui permet le déplacement angulaire dans toutes les directions de deux arbres dont les axes sont concourants. . .

2. Rafaele Bombelli, ingénieur bolognais, né en 1526, mort en 1573.

3. . . . et la géniale idée !

4. Jean Le Rond D'Alembert, mathématicien et philosophe français, né en 1717, mort en 1783.

LYCÉEBLAISEPASCAL

1

S.DELOBEL M.LUITAUD

En 1777 Euler⁵les qualie de nombres imaginaires pour les distinguer des autres qui eux, à cette occasion, prennent le nom de nombres réels. En eet, le symbole√

−1utilisé par Bombelli, qui représente une quantité dont le carré est négatif ne peut pas être un nombre réel puisque le carré d'un nombre réel est toujours positif⁶!

Euler remplacera √

−1 par le symbole i, toujours utilisé de nos jours. La notation √

−1 était eectivement peu judicieuse puisque les propriétés classiques des racines carrées ne sont pas compatibles avec cette notation :

√−1×√

−1 =p

(−1)×(−1) =√ 1 = 1 n'est pas correct puisque par dénition du symbole √

−1:

√−1×√

−1 = √

−12

=−1.

La notation iévite cette ambiguïté.

C'est avec Argand⁷ en 1806 que les objets du type a+ibacquièrent le statut de nombre, et c'est Gauss⁸ en 1837 qui leur donne le nom de nombres complexes.

2 L

Suite aux travaux des mathématiciens cités précédemment, on admet qu'il existe des nombres satisfaisant à la dénition suivante :

Les nombres s'écrivant sous la forme a+ib, oùa etb sont deux nombres réels, et oùi est un nombre imaginaire dont le carré vaut (−1) sont appelés nombres complexes.

Un nombre complexe est souvent notéz. L'ensemble des nombres complexes est notéC.

Notation Dénition 1.

Tout nombre réel est un nombre complexe⁹, autrement dit :R⊂C.

L'écriture sous la formea+ibest unique, c'est-à-dire que : Sia+ib=a⁰+ib⁰, alors a=a⁰ etb=b⁰.

5. Leonhard Euler, mathématicien et physicien suisse, né en 1707, mort en 1783.

6. Penser à la règle des signes pour s'en convaincre. . .

7. Jérôme Argand, mathématicien, médecin, philosophe et astrologue italien, né en 1501, mort en 1576.

8. Carl Friedrich Gauss, mathématicien, astronome et physicien allemand, né en 1777, mort en 1855.

9. puisque tout réelapeut s'écrire sous la formea+ib, avecb= 0.

L'écriture dezsous la forme a+ibest appelée forme algébrique¹⁰de z. aest la partie réelle de z, notée Re(z).

best la partie imaginaire de z, notéeIm(z).

Un nombre complexezest réel lorsque sa partie imaginaire est nulle.

Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle est appelé imaginaire pur.

Dénition 2.

Exemple 1

z1 = 4−3i, z2=−5 etz3= 2i√

3 sont des nombres complexes.

Re(z1) = 4 etIm(z1) =−3;z2 est réel (sa partie imaginaire est nulle) ;z3 est un imaginaire pur (puisque Re(z₃) = 0).

2.2 Ajouter, soustraire, multiplier des nombres complexes

Il n'est point de bon ensemble de nombres dans lequel nous ne puissions calculer !

Munissons C de règles opératoires qui prolongent celles de R, et qui vérient les propriétés de commutativité, d'associativité, et de distributivité¹¹.

N'oublions pas non plus, que lorsqu'on calcule dans C, on ai² =−1.

Exercice 1

Prenons z= 5 + 2i etz⁰ = 3−4i.

Calculerz+z⁰,2z−3z⁰,z×z⁰ etz²−z⁰² et donner les résultats sous forme algébrique.

Exercice 2

1. Calculeri³, i⁴, i⁵, i⁶, i⁷. 2. Déterminer iⁿ suivant les valeurs den∈N.

Nous savons maintenant ajouter, soustraire et multiplier des nombres complexes.

Qu'en est-il de la division de deux nombres complexes ? Quel sens donner au quotient 5 + 2i 3−4i par exemple ? C'est ce que nous allons dénir au paragraphe 2.3.

2.3 Conjuguer pour diviser

Diviser par un nombre, c'est multiplier par son inverse. Un vieil adage souvenir du collège ? Pas seulement. C'est aussi ce chemin que nous allons suivre pour dénir la division dans C.

Exercice 3

Vérier que z= 3−4ia pour inverse¹²le nombre complexe w= 1

25(3 + 4i).

Remarquons dans cet exercice que le produit de (3−4i) par (3 + 4i) dans le calcul de z×w provoque une identité remarquable qui permet d' éliminer lesi. Cela vient du fait que seul le signe de la partie imaginaire dière : 3−4iet3 + 4isont dits conjugués.

Exercice 4

À l'aide de la remarque précédente, trouver l'inverse du nombre z= 1 + 2i.

10. Ce qui laisse entendre qu'il y aura d'autres formes... Voir un chapitre ultérieur.

11. Un ensemble de nombres muni de deux opérations et de quelques propriétés très précises (dont celles mentionnées ici) est appelé un corps.

12. Rappelons que deux nombresz etwsont inverses l'un de l'autre lorsquez×w= 1.

Pour tout z etz⁰ dansC, avecz⁰6= 0, on dénit le quotient z z⁰ par : z

z⁰ =z× 1

z⁰ (où 1

z⁰ désigne l'inverse dez⁰).

Dénition 3.

De ce qui précède se dégage la méthode suivante :

En pratique, pour diviser deux nombres complexes, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Méthode 4 (Division des nombres complexes).

On présentera les calculs ainsi : Exemple 2

5 + 2i

3−4i = (5 + 2i)×(3 + 4i) (3−4i)×(3 + 4i)

= 7 + 26i 3²+ 4²

= 7 25 +26

25i Nous savons maintenant diviser deux nombres complexes.

Exercice 5

1. Déterminer l'inverse dei.

2. ExprimerZ = 1−i

2 + 3i sous forme algébrique.

3. Résoudre dans Cl'équation 5z+ 2i= (1 +i)z−3.

On constate que la notion de conjugué joue un rôle crucial dans la division des nombres com- plexes ; elle mérite donc que l'on s'y attarde quelque peu.

2.4 Le conjugué, vu de plus près

On appelle conjugué¹³dez=a+ible nombre complexe notézet tel quez = a − i b. Dénition 5.

Remarquez l'analogie avec l'expression conjuguée vue dans les classes antérieures. . .

13. du latin conjugare composé du préxe con- ( avec ) et de jugare ( lié ), apparenté à jugum ( joug ).

Le conjugué dea+ibest en quelque sorte un nombre qui est lié , qui va de paire , avec le nombrea+ib.

Exercice 6

1. Donner le conjugué de 3 + 2i. 2. Donner le conjugué de 2i−1.

Exercice 7

Résoudre dans Cles équations suivantes d'inconnuez :

1. 2z+iz= 3 2. z²+ 2z=−1

Nous avons vu plus haut que :

Pour tout z∈C :

zz est un nombre réel.

Plus précisément :

Siz=a+ibalorszz =a²+b². Proposition 6.

Le conjugué possède d'autres propriétés :

Soit z∈C.

z+z = 2Re(z) z−z = 2iIm(z) Proposition 7.

Facile en écrivantz=a+ib.

Preuve

Ces deux relations peuvent se reformuler ainsi :

Re(z) = z+z 2 Im(z) = z−z

2i Corollaire 8.

z est réel⇔z=z zest imaginaire pur⇔z=−z

Proposition 9 (Caractérisation des nombres réels et des imaginaires purs).

Utiliser le corollaire8.

Preuve

Voici maintenant quelques propriétés de compatibilité du conjugué vis-à-vis des opérations élé- mentaires :

Soit z etz⁰ deux nombres complexes.

1. z+z⁰ =z+z⁰ 2. z×z⁰ =z×z⁰ 3. zⁿ= (z)ⁿ (n∈N^∗)

4. (z) =z 5. z

z⁰

= z

z⁰ (pour z⁰ 6= 0) Propriété 10.

1. Facile en posantz=a+ib.

2. Même chose.

3. Se prouve par une récurrence facile...

4. Évident. . .

5. a. Démontrer d'abord que le conjugué de l'inverse est l'inverse du conjugué. Pour cela, calculer 1

z

×z.

b. Démontrer ensuite quez z⁰

= z

z⁰. Astuce : revenir à la dénition z

z⁰ =z× 1 z⁰. Preuve

Exercice 8

Soit z un nombre complexe non nul quelconque.

1. Montrer que z₁ =z⁴+ (z)⁴ est un nombre réel.

2. Montrer que z2 = z−z

z+z est un imaginaire pur.

Exercice 9

Soit P(z) =z³−3z²+ 4z−12 avecz∈C.

1. Montrer que pour tout nombre complexe z, on a :P(z) =P(z). 2. a. Vérier que −2iest solution de l'équationP(z) = 0.

b. En déduire sans calcul que2iest aussi solution de cette équation.

3 R

C

On s'intéresse aux racines du trinôme ax² +bx+c, avec a, b et c trois nombres réels et bien sûr a6= 0. On a vu en classe de Première que la valeur∆ = b²−4acpermet de discriminer les diérents cas :

Si∆>0 alors le trinôme admet deux racines réelles :x₁ = −b−√

∆

2a etx₂ = −b+√

∆ 2a . Si∆ = 0alors le trinôme admet une racine réelle dite double :x0= −b

2a. Si∆<0 alors le trinôme n'a pas de racine réelle.

Cependant, forts de l'existence du nouveau corps C, nous sommes maintenant en mesure de compléter l'étude de ce dernier cas :

Si∆<0alors le trinôme possède deux racines complexes¹⁴conjuguées :

z1 = −b−ip

|∆|

2a et z2 = −b+ip

|∆|

2a . Théorème 11.

La mise sous forme canonique du trinôme donne : az²+bz+c=a

"

z+ b

2a 2

−b²−4ac 4a²

#

(a6= 0)

=a

"

z+ b

2a 2

− ∆ 4a²

#

Comme dans le cas¹⁵où∆6 0 , on cherche à faire apparaître dans les crochets une expression du type A²−B² an de pouvoir factoriser. Mais, lorsque∆est strictement négatif,√

∆n'existe pas. Ainsi, pour faire apparaître cette forme, on écrit :

az²+bz+c=a

"

z+ b

2a 2

−i²|∆|

4a²

#

d'où la forme souhaitée :

az²+bz+c=a

"

z+ b

2a 2

− ip

|∆|

2a

!2#

ce qui permet de factoriser :

az²+bz+c=a z+ b 2a −i

p|∆|

2a

! z+ b

2a+i p|∆|

2a

!

Ainsi :

az²+bz+c= 0⇔z+ b 2a −i

p|∆|

2a = 0 ouz+ b 2a+i

p|∆|

2a = 0

⇔z=−b+ip

|∆|

2a ouz= −b−ip

|∆|

2a Ce qui achève la démonstration du théorème.

Preuve

Exercice 10

Résoudre dans Cles équations suivantes : 1. z²−2z+ 26 = 0

2. z²+z+ 1 = 0 3. 2−z= 2

z Exercice 11

Pour tout nombre complexez, on pose :P(z) =z⁴−√

2z³−4√

2z−16.

1. Démontrer que l'équationP(z) = 0a deux solutions imaginaires purs que l'on déterminera.

2. Déterminer les réelsaetbtels que, pour toutz∈C, on ait :P(z) = z²+ 4

z²+az+b .

14. que l'on notera donc plutôtz1 etz2. . . 15. vu en classe de Première.

3. Résoudre dans Cl'équation P(z) = 0.

Nous venons d'étudier la résolution des équations du second degré à coecients réels. Qu'en est-il lorsque les coecients sont complexes ? La démonstration du théorème11ne convient plus en l'état puisque∆peut maintenant être un nombre complexe. Pour pouvoir factoriser, il faut donc être capable de trouver un nombre dont le carré fasse ∆, problème qui sort du cadre du programme de Terminale (on évoque le problème de √

∆ au paragraphe 4) ; c'est pourquoi nous nous limitons ici aux équations à coecients réels. Pour aller plus loin, voir cependant l'exercice second degré à coecients complexes de la che d'exercices en guise d'exemple.

4 C

C

L'un des avantages deCest d'orir des solutions à certaines équations qui n'en avaient pas dans R. Dans C, toute équation polynomiale (de degré supérieur ou égal à 1) admet au moins une solution¹⁶.

Mais tout progrès a un prix, et pour utiliser C, il faut accepter de faire quelques concessions : DansC, on perd la relation d'ordre : on ne peut pas comparer deux nombres complexes comme

on compare deux réels.

Par exemple, écrire2−3i <2 + 3iou encore5i <7in'a aucun sens.

On ne peut donc pas non plus ranger des complexes dans l'ordre croissant par exemple : z1 < z2< z3 est incorrect.

Il en découle que dans C, on ne peut pas parler de nombres positifs ou négatifs. Ecrirez 60 ouz>0 est une ineptie.

DansR, on dénit la racine carrée d'un nombreacomme étant le nombre positif dont le carré vaut a. Par exemple, la racine carrée de 4 vaut 2 ; en eet, il y a deux nombres réels dont le carré vaut 4 : (−2) et 2. On choisit celui qui est positif, et on note : √

4 = 2. Dans C, si on cherche la racine carrée de(−4)par exemple, il y a deux nombres complexes qui ont(−4) pour carré : (−2i) et 2i. Lequel choisir comme racine carrée ? Puisque la notion de nombre positif n'a pas de sens dans C, la dénition valable dans R ne peut s'étendre ici, et aucun choix ne peut être privilégié. (−4)a en fait deux racines carrés dans C (−2i et2i), mais on ne peut pas dénir de fonction racine carrée comme on le fait dans R. Ainsi, écrire √

z avecz∈Cou bien√

24−10ipar exemple est dénué de sens, mais on peut tout de même dire que 24−10i a deux racines carrées dans C qui sont 5−i et −5 +i (on vérie en eet que (5−i)² = 24−10iet(−5 +i)² = 24−10i).

16. On dit queCest algébriquement clos.