Chapitre 5 : Les nombres complexes
1. Introduction - Définition
1.1. Introduction : De la création d’outils au profit des physiciens 1.2. Définition du nombre i
1.3. L’ensembleCdes nombres complexes 1.4. Egalité de deux complexes
2. Opérations algébriques dansC
2.1. Addition - Opposé d’un nombre complexe 2.2. Multiplication
Exercices : 32 `a36,40,43,50à53
2.4. Conjugué et module d’un complexe - Opérations 2.5. Inverse d’un complexe non nul.
Exercices : 54,55,59,38,39,60,65
3. Interprétation géométrique d’un nombre complexe 3.1. Le plan complexe
3.2. Interprétation géométrique de la somme et du conjugué 3.3. Module d’un nombre complexe
3.4. Argument d’un nombre complexe non nul 3.5. Forme trigonométrique d’un nombre complexe 3.6. Détermination de la forme trigo
Exercices : 67,68,70,72,75 4. Propriétés géométriques
4.1.Propriétés évidentes de module et argument 4.2. Module et argument d’un produit
4.3. Applications géométriques 4.4. Formule de Moivre 5. Exponentielle complexe
5.1. La notationeiθ
5.2. Forme exponentielle d’un complexe 5.3. Utilité de cette forme
Exercices : 93,94,95,101,103
6.Racine carrée complexe d’un nombre réel
7. Résolution d’une équation du second degré dans C Exercices : 105,107,110,113
8. Applications aux transformations géométriques A faire plus tard 8.1. Equations de courbes dans le plan complexe
8.2. Caractérisation complexe d’une translation 8.3. Caractérisation complexe d’une homothétie 8.4. Caractérisation complexe d’une rotation Exercices : 118,121,123,130.
L’essentiel du cours
1. Définition
i2=−1etz=x+iy,(x;y)∈R2
xest la partie réelle deznotéeRe(z) ;y est la partie imaginaire dez notéeIm(z) z=x+iy z0=x0+iy0 alorsz=z0 ⇔
½ x=x0 y=y0 2. Opérations
On considère les complexesz=x+iy z0 =x0+iy0 alors z+z0= (x+x0) +i(y+y0)
zz0=xx0−yy0+ (xy0+x0y)i
3. Conjugué : siz=x+iy c’est le complexez=x−iy 4. Module :c’est le réel positif noté|z|=p
x2+y2 donc|z|=√ zz Alors, 1
z = z zz = z
|z|2
5. Interprétation géométrique
M(z)
O Re
Im
y
x u
v
z=x+iy est l’affixe (féminin) deM et à l’inverse,M est l’image dez.
De plusOM =|z|etθ=³
−
→u ,−−→
OM´
est l’argument dez notéArg(z).
Si on note ρ=|z|on a alorsz=ρ(cos(θ) +isin(θ))forme trigo dez.
6. Affixe d’un vecteur : siA(a)etB(b),alors le complexeb−aest l’affixe du vecteur−−→AB.
7. Propriétés :
N|zz0|=|z| |z0|etArg(zz0) =Arg(z) +Arg(z0) N¯¯¯¯
1 z
¯¯
¯¯= 1
|z| etArg(1
z) =−Arg(z) N|zn|=|z|n etArg(zn) =nArg(z)
En notanteiθ= cos(θ) +isin(θ)il vientz=ρeiθ forme exponentielle dez etzn=ρneniθ Les propriétés ci-dessus sont "prises en charge" par les propriétés de l’exponentielle.
Mais attention, N|z+z0|≤|z|+|z0|
8. Nouvelle interprétation graphique : siA(a),B(b)etC(c) Arg
µc−a b−a
¶
=³−−→AB,−→AC´
(attention à "l’inversion" : le numérateur représente le second vecteur.) 9. Equation du second degré :
Un équation du second degréax2+bx+c= 0a toujours deux solutions dansC 4Si le discriminant est positif ou nul, elles sont réelles (bien connu)
4Si le discriminant est négatif les solutions sont complexes conjuguées.
z1=−b+i√
−∆
2a etz2= −b−i√
−∆ 2a 10. Courbes dans le plan complexe :
¥z=a,(a∈R)est l’équation d’une droite parallèle à(Oy)
¥z=ai,(a∈R)est l’équation d’une droite parallèle à(Ox)
¥Arg(z) =θ,(θ∈R)est l’équation d’une demi-droite passant parO (et faisant un angleθavec(Ox))
¥|z|=a,(a∈R+)est l’équation d’un cercle de centreOet de rayona.
¥|z−ω|=a,(a∈R+, etω∈C)est l’équation d’un cercle de centreΩ(ω)et de rayona.
11. Transformations géométriques :
¥t:z7→t(z) =z+a,(a∈C)est la translation de vecteur−→A d’affixea.
¥t:z7→z0 tel quez0−ω=k(z−ω),(k∈R, ω∈C)est l’homothétie de centreΩ(ω)et de rapportk.
¥t:z7→z0 tel quez0−ω=eiα(z−ω),(α∈R, ω∈C)est la rotation de centreΩ(ω)et d’angleα.
