Les suites
I- Suite majorée, minorée ou bornée
1) Définition
Soit (un) une suite numérique. On dit que :
• la suite estmajorées’il existe un réel M tel que pour toutn, on aitun≤M.
• la suite estminorées’il existe un réelmtel que pour toutn, on aitm≤un.
• la suite estbornées’il existe deux réelsmet M tels que pour toutn,m≤un≤M.
Définition
RemarqueUne suite majorée (resp. minorée) admet une infinité de majorants (resp. minorants).
Exemple
• La suite (u) définie parun=1n est bornée par 0 et 1.
• La suite (un) définie surNparun=n2est minorée par 0, par contre elle n’est pas majorée, elle n’est donc pas bornée.
• Il existe des suites non minorée et non majorée, par exempleun= (−2)n, n∈N.
2) Méthodes pour démonter qu’une suite est majorée ou minorée a) Utiliser les règles sur les inégalités.
Exemple
1) Montrer que la suite (un) définie parun=1 + sinn
1 +n2 est minorée par 0 et majorée par 2.
2) Montrer que la suite (un) définie parun=n+ 1
n+ 2 est bornée.
b) Utiliser les variations d’une fonction.
Exemple
Soitf la fonction définie sur [−1;3] et dont le tableau de variations est donnée ci-dessous
x 0 3 +∞
Variations de f
−1
−2
7
On définit la suite (un) pour toutndeN,un=f(n).
Justifier que (un) est bornée.
c) Etudier le signe deun−Mouun−m.
Exemple
Montrer que la suite (un) définie parun=2n2+ 3
n2+ 1 est minorée par 2.
d) Utiliser un raisonnement par récurrence.
Exemple
On considère la suite (un) définie pour toutndeNpar :
u0= 0
un+1=3un+ 2 un+ 4
1) A l’aide de la calculatrice, conjecturer un encadrement de la suite (un) entre deux entiers naturels consécutifs.
2) Démontrer par récurrence cette conjecture.
II- Limite de suites
1) Suite convergente
On dit qu’une suite converge vers un réell (ou admet pour limitel quand ntend vers +∞) si tout intervalle ouvert I contenantlcontient aussi tous les termes de la suite à partir d’un certain rangp.
On note lim
n→+∞un=l.
Définition
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415
l un
n
Lorsqu’elle existe, la limite d’une suite est unique Propriété
Toute suite convergente est bornée.
Propriété
Démonstration
Notonslla limite de cette suite.Soit I =]α; β[ un intervalle contenantl; d’après la définition d’une suite conver- gente, à partir d’un rangp, sin>palorsun∈I.
L’ensemble des nombresu0,u1,u2,. . .,up−1est fini donc parmi lesu0,u1,u2,. . .,up−1, il existe un minimum et un maximum ; notons lesaetb. On a donc pourn6p−1,un∈[a; b].
Posonsm= min(α; a) et M = max(β; b).
On a alors, pour toutnentier,un∈[m; M] donc toute suite convergente est bornée.
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
0 1 2 3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 αl
β
p a
b
u0,. . . ,up−1∈[a;b] up,up+1, . . .∈]α;β[
un
n
Figure1 – Démonstration : une suite convergente est bornée Exemple
La suite de terme généralun=n+11 converge donc est bornée. On a 0< un61.
RemarqueB La réciproque est fausse. Par exemple la suite de terme général un = (−1)n est bornée mais pas convergente. Il en est de même pour celle de terme généralun= cos(nπ).
2) Suite divergente
Une suite qui ne converge pas est ditedivergente.
Définition
a) Suites ayant pour limite+∞(ou−∞)
On dit qu’une suite diverge vers +∞, (ou admet pour limite+∞) si tout intervalle ouvert de type ]A ; +∞[ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rangp.
On note lim
n→+∞un= +∞.
On définit de même une suite divergente vers−∞(avecun∈]− ∞; A[ à partir d’un certain rangp)
Définition
b b b b b b b b b b b b b b b
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314
A
Toute suite croissante non majorée admet pour limite +∞. Propriété
Démonstration
Soit A>0 donné. Montrons qu’à partir d’un certain rangp, les termes de la suite appartiennent à l’intervalle ]A ; +∞[
Comme la suite n’est pas majorée, il existe un entierptel queup>A.
Comme la suite est croissante, pour toutn > p, on aun> up.
Donc, pour toutn > p, on aun> up>A alors, pour toutn > p, on a bienun>A.
Toute suite décroissante non minorée admet pour limite−∞. Propriété
b) Exemple de suite n’ayant pas de limite
On a représenté ci-dessous la suite de terme généralun= (−1)n×n2.
b b b b b b b b b
0 20 40
−20
−40
1 2 3 4 5 6 7 8
b
wn
n
(un) est divergente, elle n’a pas de limite.
3) Limites usuelles
n→lim+∞
1
n= 0 lim
n→+∞n= +∞ lim
n→+∞n2= +∞ lim
n→+∞
√n= +∞ Propriété
♥
• Si−1< q <1 alors lim
n→+∞qn= 0
• Siq >1 alors lim
n→+∞qn= +∞
• Siq≤ −1 alors la suite (qn)n≥0n’admet pas de limite.
• Siq= 1, alors (qn)n≤0est constante égale à 1
Propriété Comportement deqn,q∈R
♥
III- Opérations sur les limites
En appliquant la règle des signes :
Produit d’une suite par une constante :Soitk∈R⋆ Si lim
n→+∞un= L ∞
alors lim
n→+∞k×un= Produit de deux suites:
Si lim
n→+∞un L L,0 ∞ 0
et lim
n→+∞vn= L′ ∞ ∞ ∞
alors lim
n→+∞(un×vn) =
Somme de deux suites: Si lim
n→+∞un L L L +∞ −∞ +∞
et lim
n→+∞vn= L′ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞
alors lim
n→+∞(un+vn) = Quotient de deux suites:
Si lim
n→+∞un L L,0 L 0 ∞
et lim
n→+∞vn= L′ ,0 0+ou 0− ∞ 0 ∞ alors lim
n→+∞
un vn = Exemple
Calculer : 1) lim
n→+∞4−2×5n 2) lim
n→+∞(1−n)(1 n−3)
3) lim
n→+∞−3n2+ 2n 4) lim
n→+∞
−10 n3+ 3n+ 1
5) lim
n→+∞
n2+ 3n−1 3n2−5 6) lim
n→+∞2√ n−n
IV- Les théorèmes importants
Toute suite croissante majorée est convergente.
Théorème Important
♥
Démonstration Admis
Exemple
On considère la suite (un) définie pour toutndeNpar :
u0= 0
un+1=13un+ 2
1) Montrer queunest croissante et bornée entre 0 et 3.
2) En déduire que (un) converge 3) Déterminer la limite de (un).
Toute suite décroissante et minorée est convergente.
Théorème
♥
V- Les théorèmes de comparaison
Soit trois suites (un), (vn) et (wn) telles queun≤vn≤wn pour tout entiernà partir d’un certain rang. Si les suites (un) et (wn) convergent toutes les deux vers le même réell, alors la suite (vn) est convergente et converge versl.
Théorème Théorème des gendarmes
b b b b b b b b b b
+
+ + + + + + + + +
qp qp qp qp qp qp qp qp qp qp
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n
Figure2 – Illustration du théorème des gendarmes
Exemple
Soitula suite définie surNparun=sin(n)n .
Comme pour toutn, on a−1≤sin(n)≤1, on en déduit que−1n ≤un≤1n. Étant donnée que lim
n→+∞
−1 n = lim
n→+∞
1
n= 0, on en déduit queuconverge vers 0.
Exemple
Etudier la limite de la suite définie parun= 5−3sin(2n) 2n+ 1 .
Soit deux suites (un) et (vn) telles queun≤vnpour tout entiernà partir d’un certain rang,
• si lim
n→+∞un= +∞alors lim
n→+∞vn= +∞;
• si lim
n→+∞vn=−∞alors lim
n→+∞un=−∞.
Corollaire Corollaire du théorème des gendarmes
Exemple
Etudier la limite de la suite définie parun= 4cos(3n)−n2.
