DS n°06

Exercice 1 : [ 7 points]

Partie 1 : [E.C.]

1. Déterminer, en utilisant le graphique 𝑓(1); 𝑓^′(1) ; 𝑓′(0). 2. Donner l’équation de la tangente à la courbe en B et celle en C.

Partie 2 : [E.C.]

Soit 𝑓 la fonction définie par : 𝑓(𝑥) =^{𝑥²+𝑥−1}

𝑥²−𝑥+1. 1. Existe-t-il des valeurs interdites pour 𝑥 ? 2. Montrer que : 𝑓^′(𝑥) = ^{−2𝑥(𝑥−2)}

(𝑥²−𝑥+1)²

Partie 3 :

1. Dresser le tableau de variations de la fonction 𝑓 définie par la partie 2 sur [−4 ; 5].

2. Déterminer le meilleur encadrement possible de 𝑓(𝑥) lorsque 𝑥 est compris entre −4 𝑒𝑡 5.

Exercice 2 : [4 points]

Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par : 𝑓(𝑥) = 𝑥³− 𝑥² et 𝒞 sa courbe représentative dans un repère.

1. Déterminer une équation de la tangente T à 𝒞 au point d’abscisse 2.

2. Soit 𝑔 la fonction définie sur ℝ par : 𝑔(𝑥) = 𝑥³− 𝑥²− 8𝑥 + 12 a) Etudier les variations de 𝑔 sur ℝ.

b) Démontrer que : ∀𝑥 ∈ [0; +∞[ : 𝑔(𝑥) ≥ 0

3. En déduire la position relative de la courbe 𝒞 par rapport à la tangente T sur [0; +∞[.

DS n°06 – mardi 27 février – 1

S

Exercice N°1 (EC) N°2 N°3 N°4 NOTE :

Barème :

/7 /4 /4 /5 /20

Compétences ^{Acquis En cours}

d’acquisition Non acquis Lire un nombre dérivé

Déterminer l’équation d’une tangente à une courbe en un point Dériver une fonction polynôme ou quotient

Etudier les variations d’une fonction polynôme ou quotient

Déterminer les maximum et minimum locaux d’une fonction sur un intervalle donné Etudier la position relative d’une courbe par rapport à l’une de ces tangentes

Modéliser une situation par une fonction afin de résoudre un problème d’optimisation Connaitre les propriétés de trigonométrie sur les angles associés

Résoudre une équation/inéquation trigonométrique Etudier le signe d’une fonction trigonométrique

La courbe ci-contre représente une fonction 𝑓 définie sur [−4; 5].

Les droites d et d’ sont les tangentes à la courbe respectivement au point A d’abscisse 1 et au point B d’abscisse 0.

Le point C de la courbe a pour coordonnées (−1; −¹

3) et on a : 𝑓^′(−1) = −²

3.

Exercice 3: [4 points]

Un conteneur a la forme d’un parallélépipède rectangle à base carrée. Son volume est de 8 𝑚³. On veut protéger l’ensemble des parois extérieures par un produit antirouille.

On note 𝑥 la côté de la base carrée et y la hauteur du conteneur.

1. Montrer que 𝑦 = ⁸

𝑥²

2. Montrer que la surface de l’ensemble des parois extérieures est exprimée par : 𝑓(𝑥) = 2𝑥² +³²

𝑥

3. Déterminer les dimensions du conteneur qui coûtera le moins cher en produit antirouille.

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Exercice 4 : [5 points]

*** Les questions de cet exercice sont indépendantes ***

1) Résoudre dans ℝ l’équation : 3 sin(𝑥) −¹

2= −2

2) Résoudre dans ] − 𝜋; 𝜋] l’inéquation : −2 cos(𝑥) − √2 > 0

Représenter l’ensemble des solutions sur le cercle trigonométrique ci-contre.

3) Exprimer en fonction de cos(𝑥) 𝑒𝑡 sin (𝑥) les expressions suivantes : (Question à traiter directement sur le sujet)

a) sin(𝑥 + 6𝜋) = ……….

b) cos(𝜋 − 𝑥) =……….

c) sin(−𝑥) =……….

d) cos (^𝜋

2− 𝑥) =……….

4) Etudier le signe de la fonction définie sur [0; 2𝜋] par : 𝑓(𝑥) = 1 + 2cos (𝑥)

Correction DS n°06 – 1^ère S – 27 février 2018 Exercice 1 :

Partie 1 :

1. 𝑓(1) = 1 ; 𝑓^′(1) = 2 𝑒𝑡 𝑓^′(0) = 0

2. Tangente en B : 𝑦 = 𝑓^′(0)(𝑥 − 0) + 𝑓(0) = 0(𝑥 − 0) − 1 = −1 Tangente en C : 𝑦 = 𝑓^′(−1)(𝑥 + 1) + 𝑓(−1) = −²

3(𝑥 + 1) −¹

3= −²

3𝑥 −²

3−¹

3= −²

3𝑥 − 1 Partie 2 :

1. 𝑥²− 𝑥 + 1 = 0 ; Δ = (−1)²− 4 × 1 × 1 = −3 < 0 : L’équation n’admet aucune solution réelle.

Donc 𝑓 n’admet aucune valeur interdite.

2. 𝑓^′(𝑥) =^𝑢′(𝑥)𝑣(𝑥)−𝑢(𝑥)𝑣^′(𝑥) (𝑣(𝑥))²

𝑓^′(𝑥) =^{(2𝑥+1)(𝑥2}−𝑥+1)−(2𝑥−1)(𝑥²+𝑥−1) (𝑥²−𝑥+1)²

𝑓^′(𝑥) =^{2𝑥3−2𝑥2+2𝑥+𝑥2−𝑥+1−2𝑥3−2𝑥2+2𝑥+𝑥2+𝑥−1}

(𝑥²−𝑥+1)²

𝑓^′(𝑥) = ^{−2𝑥2+4𝑥}

(𝑥²−𝑥+1)² 𝑓^′(𝑥) = ^{−2𝑥(𝑥−2)}

(𝑥²−𝑥+1)² Partie 3 :

1. −2𝑥(𝑥 − 2) = 0

 −2𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 − 2 = 0

𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 2

𝑓(−4) =⁽⁻⁴⁾₍₋₄₎²₂⁻⁴⁻¹

+4+1=¹¹

21 ; 𝑓(0) = −1 ; 𝑓(2) =^2²+2−1

2²−2+1= ⁵

3 ; 𝑓(5) =^5²+5−1

5²−5+1=²⁹

21

2. 𝑓^′ s’annule en changeant de signe en 0 donc 𝑓 admet une minimum local sur [-4 ;5] 𝑚 = −1 atteint en 0.

𝑓^′ s’annule en changeant de signe en 2 donc 𝑓 admet une maximum local sur [-4 ;5] M=⁵

3 atteint en 2.

Conclusion: ∀𝑥 ∈ [−4; 5] : − 1 ≤ 𝑓(𝑥) ≤⁵

3

Exercice 2 :

1. Equation de la tangente en 2 : 𝑦 = 𝑓^′(2)(𝑥 − 2) + 𝑓(2)

Or 𝑓^′(𝑥) = 3𝑥² − 2𝑥 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑓^′(2) = 3 × 2²− 2 × 2 = 8 Et 𝑓(2) = 2³− 2²= 8 − 4 = 4 Donc 𝑦 = 8(𝑥 − 2) + 4 = 8𝑥 − 16 + 4 = 8𝑥 − 12

2.

a) 𝑔^′(𝑥) = 3𝑥² − 2𝑥 − 8

𝑔^′(𝑥) = 0 Δ = (−2)²− 4 × 3 × (−8) = 100 > 0 donc 𝑥₁=²⁻¹⁰

2×3 =⁻⁸

6 = −⁴

3 ; 𝑥₂=²⁺¹⁰

2×3 =¹²

6 = 2

Car 𝑎 = 3 > 0

𝑔 (−⁴

3) = (−⁴

3)³− (−⁴

3)²− 8 × (−⁴

3) + 12 =⁵⁰⁰

27 ; 𝑔(2) = 2³− 2²− 8 × 2 + 12 = 8 − 4 − 16 + 12 = 0 b) 𝑔′ s’annule en changeant de signe en 𝑥 = 2, donc g admet une minimum local sur [0; +∞[ : m = 0

atteint pour 𝑥 = 2.

Donc : ∀𝑥 ∈ [0; +∞[∶ 𝑔(𝑥) ≥ 0

𝑥 −4 0 2 5

Signe de −2𝑥 + − −

Signe de 𝑥 − 2 − − +

Signe de (𝑥²− 𝑥 + 1)² +

Signe de 𝑓′(𝑥) − + −

Variations de 𝑓 11/21 5/3

-1 29/21

𝑥 −∞ −4

3 2 + ∞

Signe de 𝑔′(𝑥) + − +

Variations de 𝑔 500/27

0

𝑢(𝑥) = 𝑥²+ 𝑥 − 1 𝑒𝑡 𝑢^′(𝑥) = 2𝑥 + 1 𝑣(𝑥) = 𝑥² − 𝑥 + 1 𝑒𝑡 𝑣^′(𝑥) = 2𝑥 − 1

3. 𝑓(𝑥) − 𝑦 = 𝑥³− 𝑥²− (8𝑥 − 12) = 𝑥³− 𝑥²− 8𝑥 + 12 = 𝑔(𝑥) Or d’après la question 2.b) : ∀𝑥 ∈ [0 ; +∞[∶ 𝑔(𝑥) ≥ 0

Donc ∀𝑥 ∈ [0 ; +∞[∶ 𝑓(𝑥) − 𝑦 ≥ 0 Donc ∀𝑥 ∈ [0 ; +∞[∶ 𝑓(𝑥) ≥ 𝑦

Ainsi sur [0 ; +∞[ 𝐶𝑓 est toujours au-dessus de 𝑇. Elles se croisent en 𝑥 = 2.

Exercice 3 :

1. 𝑉 = 𝐵 × ℎ = 𝑥 × 𝑥 × 𝑦 = 𝑥²𝑦 Or 𝑣 = 8 ; Donc 𝑥²𝑦 = 8 ; Donc 𝑦 = ⁸

𝑥²

2. 𝑆(𝑥) = 𝐴_{𝑏𝑎𝑠𝑒}× 2 + 𝐴_{𝑐𝑜𝑡é}× 4 = 2𝑥² + 4𝑥𝑦 = 2𝑥² + 4𝑥 × ⁸

𝑥²= 2𝑥² +³²

𝑥

3. 𝑆^′(𝑥) = 4𝑥 −³²

𝑥²=^4𝑥3−32

𝑥²

𝑆^′(𝑥) = 0  4𝑥³− 32 = 0  𝑥³ =³²

4  𝑥³= 8  𝑥 = 2

𝑥 0 2 + ∞

Signe de 4𝑥³− 32 − +

Signe de 𝑥² +

Signe de 𝑆′(𝑥) − +

Variations de 𝑆

24

𝑆^′ s’annule en changeant de signe en 𝑥 = 2, S admet donc un minimum local sur ]0; +∞[ m = 24 atteint en x=2.

On en déduit que le conteneur ayant le plus faible surface extérieure aura une surface de 24 m² pour 𝑥 = 2 Ainsi les dimensions du conteneur seront : 𝑥 = 2 et 𝑦 = ⁸

2²=⁸

4= 2 Il s’agira alors d’un cube.

Exercice 4 :

1. 3 sin(𝑥) −¹

2= −2

3 sin(𝑥) = −2 +¹

2

3 sin(𝑥) = −³

2

sin(𝑥) = −¹

2

𝑥 = −^𝜋

6[2𝜋] 𝑜𝑢 𝑥 = −^5𝜋

6 [2𝜋]

2.

3. sin(𝑥 + 6𝜋) = sin(𝑥) ; cos(𝜋 − 𝑥) = − cos(𝑥) ; sin(−𝑥) = − sin(𝑥) ; cos (^𝜋

2− 𝑥) = sin (𝑥) 4. 𝑓(𝑥) = 1 + 2 cos(𝑥)

1 + 2 cos(𝑥) > 0

 cos(𝑥) > −¹

2

 𝑥 ∈ [0;^2𝜋

3 [ ∪ ] ^4𝜋

3 ; 2𝜋]

𝑥 0 2𝜋

3 4𝜋

3 + ∞

Signe de 𝑓(𝑥) + − +

𝑆(2) = 2 × 2²+³²

2

= 8 + 16

= 24

2.

−2 cos(𝑥) − √2 > 0

−2 cos(𝑥) > √2

cos(𝑥) < −^√2

2

Donc 𝑆 =] − 𝜋; −^3𝜋

4 [ ∪ ] ^3𝜋

4 ; 𝜋]