L L L L  1;2;3   

(1)

ov 1 / 3

Résolution de systèmes par la méthode du pivot de Gauss

Sauf dans certains cas particuliers, la méthode du pivot de Gauss présentée ci- dessous, aussi appelée « méthode de résolution par combinaisons linéaires », est plus efficace que la méthode de résolution par substitution dès que le nombre d’inconnues est supérieur ou égal à 3.

Cependant, elle ne s’applique qu’aux équations du 1^er degré.

Pour limiter les risques d’erreurs de calculs, une présentation soignée et rigoureuse avec une colonne d’écriture par inconnue est recommandée.

Pour faciliter la relecture, il est indispensable de nommer les lignes et d’indiquer les opérations effectuées.

Une relecture après chaque étape est préférable à une relecture finale (en cas d’erreur, tous les calculs effectués après deviennent inutiles !)

Il est facile de s’assurer de la validité des solutions obtenues en remplaçant les inconnues par leurs valeurs dans les équations du système de départ.

Pour simplifier les calculs il est souvent judicieux de permuter l’ordre des lignes d’équations ou l’ordre des colonnes d’inconnues.

Le principe consiste à se ramener dans un premier temps à un système équivalent de « forme triangulaire » puis dans un second temps à un système équivalent de « forme diagonale ».

(1) Cas des systèmes de Cramer (admettant une solution unique)

Résolution du système (S)

3 2 1

L L L

























1 2 9 5

3 7 4 6

19 3 5 2

z y x

Ce système équivaut à :

3 3 1

2 2 1

1 1

2 5 3

L L L

L L



































97 11 43

54 16 19

19 3 5

2

z y

z y x

Puis au système triangulaire

3 3 2

2 2

1 1

19

43L L L

L L

























479 479

54 16 19

19 3 5

2

z z y

z y

x

Par L₃ on obtient z puis, en substituant dans L₁ et L₂, le système (S)

équivaut à :

3 2 1

L L L

























1

1 16 54 19

1 3 19 5

2

z y y x

Par L₂ on obtient y, puis en substituant dans L₁, le système (S) équivaut au

système diagonal :

3 2 1

L L

L

 



















 1 2

2 5 16 2

z y x

Puis à

3 2 1

L L L













 1

2 3 z y x

Vérification :

   



 































































1 2 18 15 1 2 2 9 3 5

3 7 8 18 1 7 2 4 3 6

19 3 10 6 1 3 2 5 3 2

Conclusion :

Le système (S) admet pour unique solution le triplet de nombres réels



3;2;1



(2) Cas des systèmes n’admettant aucune solution

3 2 1

L L L

























1 2 6

2

9 3 7

12 3

z y x

z y

z y x

3 3 1

2 2

1 1

2L L L

L L























23 0

9 3 7

12 3

z y

z y x

La dernière équation n’a pas de solution donc ce système n’a aucune solution.

(2)

ov 2 / 3

(3) Cas des systèmes une infinité de solutions

3 2 1

L L L

























12 2

6 2

9 3 7

6 3

z y x

z y

z y x

3 3 1

2 2

1 1

2L L L

L L























0 0

9 3 7

6 3

z y

z y x

Puisque la dernière équation est inutile, cela équivaut à :

2 1

L L















9 3 7

6 3

z y

z y x

Le nombre d’inconnues dépasse le nombre d’équations de 1, on dit que ce système possède 1 degré de liberté.

Cela signifie que la valeur d’au moins une des inconnues peut être choisie arbitrairement. Il y a donc une infinité de solutions.

Afin d’obtenir toutes les solutions, on choisit de poser y3t avec tIR.

L’utilisation du paramètre réel t permet de « différer » le choix effectif et donc de traiter toutes les solutions en même temps.

Le coefficient 3 est une astuce pour limiter l’apparition de fractions dans les calculs (cette astuce est inspirée par le coefficient de z dans L₂

Puisque t peut être choisit librement, l’équation y3t n’ajoute aucune contrainte et peut donc être ajoutée au système sans en modifier les solutions.

Après permutation de l’ordre des colonnes d’inconnues, le système (S)

équivaut donc à :

3 2 1

L L L

















t y y z

y z

x

3 9 7 3

6 3

avec tIR.

3 2 1

L L L



















t y

t z

x

3 21 9 3

9 6

avec tIR.

3 2 1

L L L

















 t y

t z

z t x

3 7 3

9 6

avec tIR

3 2 1

L L L















 t y

t z

t x

3 7 3

16 9

avec tIR

Vérification : Pour tout tIR

     

   

     













































































12 14

6 18 32 18 7

3 2 3

6 16 9 2

9 21 9 21 7 3 3 3

7

6 0 6 7 3 9 16 9 7 3 3

3 16

9

t t

t t t

t t

Conclusion :

Le système admet une infinité de solutions, ce sont les triplets de nombres réels qui peuvent s’écrire sous la forme



916t;3t;37t



avec tIR Il existe une infinité d’autres manières pour exprimer l’ensemble des solutions du système.

Dans le cas présent, l’expression des solutions correspond à l’écriture d’un système paramétrique de droite, et toutes les autres expressions des solutions correspondent à d’autres systèmes paramétriques pour la même droite (ce qui permet de vérifier que deux expressions correspondent aux mêmes solutions).

Pour un système avec 2 degrés de liberté, on obtiendrait une infinité de solution dont l’expression pourrait s’interpréter comme un système paramétrique de plan.

(3)

ov 3 / 3

(4) Exercices d’application Résoudre les systèmes suivants :

(S1)























8 6 5

2 2

10 4 3

z y x

la solution est (1 ; -1 ; 2)

(S2)









































45 12 5

4

10 12 2

3

25 2

3 7

t z

y x

t z y x

la solution est (4 ;-3 ;2 ;-1)

(S3)























5 , 2 12 2

7 4

3

c b a

une expression possible des solutions est



173t;14,52t;t



avec tIR