Exercices–semaines des 16 et 23 f´ evrier 2009 TD 1

ANALYSE III, 2008-2009

Exercices–semaines des 16 et 23 f´ evrier 2009 TD 1

Les r´eponses aux questions ci-dessous doivent ˆetre justifi´ees.

1. On donneϕ∈ D(R). On d´efinit ensuite la suite ϕ_m (m∈N0) par ϕ_m(x) =ϕ(x)

m

resp. ϕ_m(x) = ϕ(x/m)

m , ϕ(x) =mϕ(mx), ϕ(x) =mϕ(x/m), ϕ(x) = ϕ(mx) m

.

Examiner la convergence dansD(R) de cette suiteϕ_m.

2. Parmi les applications suivantes, quelles sont celles qui d´efinissent des distributions dansR? En d´eterminer alors le support.

ϕ∈ D(R)7→Dϕ(1) ϕ∈ D(R)7→ϕ(0) +Dϕ(1) ϕ∈ D(R)7→R1

0 ϕ(x)dx ϕ∈ D(R)7→R1

0 |ϕ(x)|dx ϕ∈ D(R)7→PN

n=0(Dⁿϕ)(0) ϕ∈ D(R)7→P+∞

n=0ϕ(n) ϕ∈ D(R)7→P+∞

n=0(Dⁿϕ)(0) ϕ∈ D(R)7→P+∞

n=0(Dⁿϕ)(n) ϕ∈ D(R)7→P+∞

n=1ϕ(¹_n) ϕ∈ D(R)7→P+∞

n=1 1 n²ϕ(_n¹) 3. On consid`ere les fonctions

fm(x) =

e^−x/m six≥0 0 six <0.

- Esquisserf₁, f₂, f₃

- Pourm fix´e, a-t-onf_m∈L¹(R)? (resp. L²(R)? la fonctionf_m d´efinit-elle une distribution?)

- La limite lim_m→+∞f_mexiste-t-elle au sens ponctuel (pp)? (resp. dansL¹(R), L²(R), au sens distribu- tion?)

4. D´eterminer la d´eriv´ee seconde de la distribution associ´ee `a la fonction |x|, x ∈R(mˆeme question pour sin(2x)χ_]0,+∞[(x), x∈R).

5. On se place dansD⁰(R). D´eterminer la distribution suivante (simplifier au maximum l’expression) e^xDδ₀+e^xδ₀+ (cosx)Dδ₀

6. On se place dansR. On pose Π(x) =

0 si|x| ≥ ¹₂

1 si|x|< ¹₂ , ρk(x) =kΠ(kx), k∈N0. Si, pour toutk,uk d´esigne la distribution dansRassoci´ee `a ρk, montrer que

k→+∞lim uk(ϕ) =δ0(ϕ), ∀ϕ∈ D(R).

7. On pose

u(ϕ) =− lim

ε→0⁺

Z

|x|≥ε

ϕ(x)

x² dx − 2ϕ(0) ε

!

, ϕ∈ D(R).

Montrer queud´efinit une distribution dansRet que, sif(x) = ln|x|, on a u=D²uf